1、例例1 1：內外半徑分別為：內外半徑分別為 和和 的無窮長中空導的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻傳導電流體圓柱，沿軸向流有恒定均勻傳導電流 ，導體，導體的磁導率為的磁導率為 ，求磁感應強度和磁化電流。，求磁感應強度和磁化電流。1r2rfJfJ解：解：1) 1) 分析：理想條件下的磁場，軸對稱性分析：理想條件下的磁場，軸對稱性2) 2) 安培環路定理：安培環路定理：LSfdtdSDJlHLSfddSJlH3) 3) 磁場中各矢量的關系磁場中各矢量的關系: (: (各向同性非鐵磁介質各向同性非鐵磁介質) )HHHMHBrM0001HMM10MBMM4)4)1rr 0fJ0H0B5)5)0M

2、21rrrLSfddSJlH)( 2212rrJrHffJrrrH 2)(212rrrrfrJH 2)(212？HBrrrrfrJH 2)(212rJBfrrr2212 2)(BMMrJMfMrrr2212 2)(6)6)rr 2LSfddSJlH)( 22122rrJrHffJrrrH 2)(2122rrrrfrJH 2)(2122rrrrfrJH 2)(2122HBrJBfrrr22122 2)(BMM0 2)(22122rJMfMrrr7)7)體磁化電流體磁化電流LMMdIdSSjlMMjMffMMMjjHj10?8)8)面磁化電流面磁化電流a.a.12MMnM21: nb.b.1rr

3、01112rrrrMMMn, 01MrJMfMrrr22122 2)(, 011rrM0 2)(121212121rJMfMrrrrrc.c.2rr rJMfMrrr22121 2)(02MrJMfMrrrrr221221 2)(2022rrM22221221 2)(22rJnMnfMrrrrMrrrfMfMrrMrrrrrrrJrJr22122222222122 2)( 2)(2frrMrrrJ221220 2)(12 例例2. 2. 證明：證明： (1)(1)當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的斜率滿足場線的斜率滿足 (2)(2)當

4、兩種導電介質內流有恒定電流時當兩種導電介質內流有恒定電流時，分界面上電場，分界面上電場線斜率滿足線斜率滿足其中其中 1 和和 2 分別為界面兩側電場線與法線的夾角。分別為界面兩側電場線與法線的夾角。 1212tgtg1212tgtg對于電場線對于電場線 （1 1）由邊值關系，有由邊值關系，有 或寫成或寫成 ttnnEEDD1212,0221121,ttnnDDDDntntDDtgDDtg222111,即即 代入，得代入，得 2112tgtg1212tgtg兩邊相乘移項得兩邊相乘移項得（2 2）根據已知條件，流經兩導電介質的電流為恒定電流根據已知條件，流經兩導電介質的電流為恒定電流 又根據邊值關

5、系及歐姆定律，有又根據邊值關系及歐姆定律，有 nnjj21ttEE122211ttjjntntjjjj112221可得：可得：電流恒定電流恒定即即 代入，得代入，得 對于電場線對于電場線 ntntntntjjEEtgjjEEtg2222211111,2112tgtg1212tgtg 例例3. 3. 試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，上， (1)(1)在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；面； (2)(2)在穩恒電流情況下，導體內的電場線總是平行于導在穩恒電流情況下，導體內的電場線總是平行

6、于導體表面。體表面。 （1 1）在靜電情況下，導體內電場強度為零。即在靜電情況下，導體內電場強度為零。即 01E即，在介質一側的電場強度切線分量為零，電場線垂即，在介質一側的電場強度切線分量為零，電場線垂直于導體表面。直于導體表面。 根據邊值關系，有根據邊值關系，有 （2 2）在穩恒電流情況下，根據上題結果在穩恒電流情況下，根據上題結果1212tgtg1越大，越大， 越大越大dielectconductor所以所以導體內的電場線總是平行于導體表面。導體內的電場線總是平行于導體表面。012ttEE12例例4 4 平板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為平板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為 和

7、和 電容率為電容率為 和和 ，如在兩板接上電動勢為，如在兩板接上電動勢為 的電池，的電池， 求：求：1）電容器兩板上的自由電荷面密度）電容器兩板上的自由電荷面密度 2）介質分界面上的自由電荷面密度）介質分界面上的自由電荷面密度1l2l12ff若介質是漏電的，電導率分別為若介質是漏電的，電導率分別為 和和 ，當電流達，當電流達到恒定時，上述兩問題的結果如何？到恒定時，上述兩問題的結果如何？12解：解：1）分析：）分析：介質絕緣性良好介質絕緣性良好 介質中無電流介質中無電流流動流動 介質中介質中無無自由電荷運動自由電荷運動介質界面上介質界面上無無自由電荷自由電荷介質漏電介質漏電介質中有電流流過介質

8、中有電流流過介質中介質中有有自由電荷運動自由電荷運動介質界面上介質界面上可能有可能有自由電荷自由電荷12規定指向規定指向2）電源電動勢對平板電容器的作用：）電源電動勢對平板電容器的作用：a) 提供電場提供電場b) 均勻介質中產生均勻電場均勻介質中產生均勻電場,不均勻介質中電場可能不同不均勻介質中電場可能不同3）介質）介質1和介質和介質2中電場各自均勻，但是中電場各自均勻，但是21EE2211lElE5）介質絕緣性良好時：）介質絕緣性良好時：介質界面上的邊界條件：介質界面上的邊界條件：fnnDD12介質介質1：111EDn介質介質2：222EDn方向方向:1 24）邊界條件：）邊界條件：0f01

9、122EE6）由）由3)和和5) 得得122112122121,llEllE兩介質界面上自由電荷面密度：兩介質界面上自由電荷面密度：112fnnDD導體板：導體板：介質介質1：0111EDn方向方向:導體板導體板 介質介質17）在介質）在介質1同導體板界面處應用邊界條件同導體板界面處應用邊界條件（導體等勢體（導體等勢體: ）01E11222EEDn導體板與介質導體板與介質1界面上的自由電荷密度：界面上的自由電荷密度：221111121llEDDnnf8）在介質）在介質2同導體板界面處應用邊界條件同導體板界面處應用邊界條件212 fnnDD方向方向: 介質介質2 導體板導體板？導體板：導體板：介

10、質介質2：0 222EDn（導體等勢體（導體等勢體: ）0 2E22111 EEDn導體板與介質導體板與介質2界面上的自由電荷密度：界面上的自由電荷密度：1221122122 fnnfllEDD9）介質漏電時）介質漏電時,即介質內有電流即介質內有電流,假定該電流為穩恒電流假定該電流為穩恒電流則介質中的電場滿足歐姆定律：則介質中的電場滿足歐姆定律：Ej對介質對介質1: 111Ej對介質對介質2: 222Ej穩恒電流穩恒電流21jj10）由）由3)和和9) 得：得：111Ej222Ej21jj2211lElE211221llE211212llE介質介質1中：中：211221111llEDn介質介質

11、2中：中：211212222llEDn11）在介質）在介質1同導體板界面處應用邊界條件同導體板界面處應用邊界條件112fnnDD方向方向:導體板導體板 介質介質1導體板：導體板：介質介質1：0111EDn（導體等勢體（導體等勢體: ）01E21122111222llEEDn導體板與介質導體板與介質1界面上的自由電荷密度：界面上的自由電荷密度：21122111121llEDDnnf12）在介質）在介質2同導體板界面處應用邊界條件同導體板界面處應用邊界條件212 fnnDD方向方向: 介質介質2 導體板導體板導體板：導體板：介質介質2：0 222EDn（導體等勢體（導體等勢體: ）0 2E2112

12、1222111 llEEDn導體板與介質導體板與介質2界面上的自由電荷面密度：界面上的自由電荷面密度：21121222122 llEDDnnf13）在介質）在介質1同介質同介質2界面處應用邊界條件界面處應用邊界條件fnnDD 12方向方向: 介質介質1 介質介質2介質介質1：211221111 llEDn介質介質2：211212222 llEDn介質介質1同介質同介質2界面上自由電荷面密度：界面上自由電荷面密度：2112211212 llDDnnf長度上的自由電荷隨時間的函數為長度上的自由電荷隨時間的函數為 ，板間填充電，板間填充電例例5 5內外半徑分別為內外半徑分別為 a a 和和 b b

13、的無限長圓柱形電容器，單位的無限長圓柱形電容器，單位 導率為導率為 的非磁性物質，的非磁性物質，1) 1) 證明：在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格證明：在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格相消，因此介質內部無磁場相消，因此介質內部無磁場2) 2) 求求 隨時間的衰減規律隨時間的衰減規律3) 3) 求與軸相距為求與軸相距為 的地方的能量耗散功率密度的地方的能量耗散功率密度4) 4) 求長度為求長度為 的一段介質總的能量耗散的一段介質總的能量耗散功率，并證明功率，并證明其等于這段的靜電能減少率其等于這段的靜電能減少率)(tffrl解：解：1）由電流連續性方程）由電流連續性方程0tfJ由高斯

14、定理由高斯定理fD0tDJ0tDJ0tDJconsttDJ傳導電流與位移電流在介質內處處剛好相差一個任意傳導電流與位移電流在介質內處處剛好相差一個任意常數，令該常數為常數，令該常數為0，則，則0tDJ即在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格相消即在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格相消介質內部無磁場介質內部無磁場2）由高斯定理：）由高斯定理：dltdf)(SDdltlrdDf)(2rfrteD2)(rfrteE2)(0tDJEJED0tEEte0EErfrteE2)(rfrfrrteeE22)0(00rtftereeEE200rfrteE2)(tffet0)(4) 4) 長度為長度為 的一段介質總的能量耗散的一段介