1、會計學1函數的單調性與極值理函數的單調性與極值理 f (x)0 f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴格單調增加上嚴格單調增加 (2)如果在如果在(a b)內內f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴格單調減少上嚴格單調減少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2) f(x1) =f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數f(x)在(a b)內單調增加 證明證明 只證(1) 在(a b)內任取兩點x1 x2(x10 則則f(x)在在a b上嚴格單調增加上嚴格單調增加 (2)如果在如果在(a b)內內

2、f (x)0 則f(x)在a b上嚴格單調增加 (2)如果在(a b)內f (x)0 因此函數y=x3在區間( 0及0, )內嚴格單調增加 從而函數在整個定義域( )內嚴格單調增加 第5頁/共31頁 1 設函數 y=f(x)在a b上連續 在(a b)內可導 x1 x2是 f (x)的兩個相鄰的零點 問f(x)在x1 x2上是否單調？ 討論討論結論：結論：由單調性判別法可知由單調性判別法可知f(x)在在x1 x2上一定單調。上一定單調。 2.設函數 y=f(x)在a b上連續 在(a b)內可導 x1 x2是 f (x)的兩個相鄰的零點 問f (x)在(x1 x2) 內符號如何判斷？ 結論：結

3、論：只要求出只要求出(x1 x2)內某一點的符號，即可知內某一點的符號，即可知 f (x)在在(x1 x2) 內符號內符號 3 如何把區間a b劃分成一些小區間 使函數 f(x)在每個小區間上都是單調的？ 結論：結論：解出使解出使f (x)=0的點，以這些點為分界點劃分的點，以這些點為分界點劃分a b第6頁/共31頁 例例3 確定函數f(x)=2x39x212x3的單調區間 解解 這個函數的定義域為( ) f (x)=6x218x12=6(x1)(x2) 導數為零的點為x1=1、x2=2 列表分析 函數f(x)在區間( 1和2 )內單調增加 在區間1 2上單調減少 ( 1) (1 2) (2

4、) y=2x39x212x3第7頁/共31頁 解解 函數的定義域為( ) 所以函數在0 )上單調增加 因為x0時 y0 所以函數在( 0 上單調減少 因為x0時 y0 例例5 求證當求證當x 0時時 ex 1+x求導數 f (x)=ex1列表判斷：又因 f(0)=0所以x 0時，f(x) 0 即 ex 1+x（ x 0） ( 0) (0 )+第11頁/共31頁證明證明 令)13(2)(xxxf= 則 因為當x1時 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調增加 因此當x1時 f(x)f(1)=0 即 例例6 例例 6 證明 當 x1 時 xx132 證明證明 ) 1(111)(22=xx

5、xxxxf 0)13(2xx 也就是xx132(x1) 312=xxy第12頁/共31頁0yx 定義定義 設函數f (x)在(a, b)內有定義，x0 是(a, b)內一點，若點x0存在一個鄰域，使得對此鄰域內任一點x (x x0)總有 (1) f (x) f (x0) ,則稱f (x0)為 函數f (x)的一個極小值，稱x0為函數f (x)的一個極小值點 函數極大值與極小值統稱為極值。極大值點與極小值點統稱為極值點。abACBDEFy=f(x)第13頁/共31頁 極值與最值的區別極值與最值的區別（1）最值是在一個區間上考慮，是整體的、絕對的、唯一的；而極值只就某個鄰域來考慮，是局部的、相對的

6、、不唯一的。（2）最值可取端點，極值不會取到端點。（3）一個區間上最大值一定大于或等于最小值，但極大值未必大于極小值。問題：問題： 如何求函數的極值點？如何求函數的極值點？0yxabACBDEFy=f(x)第14頁/共31頁0yx定理定理2（極值存在的必要條件）（極值存在的必要條件） 如果函數如果函數f(x)在點在點x0處有極值處有極值f (x0) ，且，且f (x0)存在，存在，則必有則必有f (x0)=0abACBDEFy=f(x) 駐點：駐點：使導數f (x)為零的點（即方程f (x0)=0的實根）稱為函數f(x)的駐點，又稱穩定點。 可導的函數可導的函數f(x)的極值點必為的極值點必為

7、f(x)的駐點，但駐的駐點，但駐點不一定是極值點。點不一定是極值點。如：如：函數f(x) =x3 f (x) =3x2 顯然 當x=0時 f (x) =0即 x=0為f(x) 的駐點但 x=0不是f(x) 的極值點 導數不存在的點也有導數不存在的點也有可能為極值點可能為極值點 因此，所有可能為極因此，所有可能為極值點的點是方程值點的點是方程f (x0)=0的的根及導數不存在的點根及導數不存在的點第15頁/共31頁 關于極值點與駐點的關系：關于極值點與駐點的關系： （1）兩類點定義的出發點不同。）兩類點定義的出發點不同。 極值點是指函數在這一點處的函數值大于或小于該點極值點是指函數在這一點處的函

8、數值大于或小于該點鄰域內任何其它點的函數值；鄰域內任何其它點的函數值； 駐點是指導數為零的點駐點是指導數為零的點 因此極值點可以是可導點也可以是不可導點，而駐點因此極值點可以是可導點也可以是不可導點，而駐點一定是可導點。一定是可導點。 （2）極值點成為駐點的條件：若函數在區間內可導，）極值點成為駐點的條件：若函數在區間內可導，則函數的極值點一定是駐點，反之不成立；則函數的極值點一定是駐點，反之不成立； （3）駐點成為極值點的條件：若）駐點成為極值點的條件：若f (x)在駐點左右鄰域在駐點左右鄰域內符號相反，則此駐點一定為極值點內符號相反，則此駐點一定為極值點第16頁/共31頁 設函數設函數f(

9、x)在在x0點的某一鄰域點的某一鄰域(x0 , x0 )內連續，除內連續，除點點x0外，在此鄰域內可導，其導數外，在此鄰域內可導，其導數f (x)在點在點x0的左右附的左右附近保持著確定的符號，這時有三種情況：近保持著確定的符號，這時有三種情況： （1）當）當x0，當當x x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極大值；點取得極大值； （2）當）當x x0時，時， f (x) x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極小值；點取得極小值； （3） f (x)在經過在經過x0點時不改變符號，則點時不改變符號，則f(x)在在x0點不點不取極值。取極值。第17頁/共3

10、1頁 例例7 求函數f(x)=2x39x212x3的極值 解解 函數的定義域為( ) f (x)=6x218x12=6(x1)(x2) 令f (x)=0，得駐點為x1=1、x2=2 用駐點將定義域分成三個區間，列表 故函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)=2，在x=2處取得極小值f(2)=1 ( 1) (1 2) (2 ) y=2x39x212x312極大值2極小值100第18頁/共31頁例例8 求函數f(x)= (x2 1)3 1的極值 解解 函數的定義域為( ) f (x)=6x(x2 1)2 令f (x)=0，得駐點為x1=0、x2=1、 x3= 1 用駐點將定義域分成四個區間，列表

11、 ( 1) (1 ) (1 0) (0 1) 故函數f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0無極值無極值極小值0110000第19頁/共31頁 解解 函數的定義域為( ) 所以函數在0 )上單調增加 因為x0時 y0 所以函數在( 0 上單調減少 因為x0時 y0 例例 3 討論函數32xy =的單調性 例例4 332xy =(x0) 函數在 x=0 處不可導 (x0) 函數在 x=0 處不可導 32xy=故函數f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0說明說明 導數不存在的點導數不存在的點也有可能為極值點也有可能為極值點第20頁/共31頁 例例9 證明二次函數y= ax2 bx c (a0

12、)的極值點為 ， 并討論它的極值 ab2 證明：證明：函數y= ax2 bx c (a0)的定義域為( ) y=2ax+b abacy442=極小(1)若a 0，則ab2當x 時，ab2當x 時，ab2故x0= 是函數的極小值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0且極小值為ab2令 y=2ax+b=0，得駐點為x0= 第21頁/共31頁abacy442=極大(2)若a 0，則ab2當x 時，ab2當x 時，ab2故x0= 是函數的極大值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0極

13、大值為：求函數求函數極值極值(第一判別法第一判別法)小結：小結： (1)確定函數的定義域確定函數的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得駐點及導數不存在的點為，解方程得駐點及導數不存在的點為分界點分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區間用分界點把定義域分成若干個開區間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個分界點左、右的符號，由在各個分界點左、右的符號，由極極值第一判別法值第一判別法可確定函數可確定函數極值極值 第22頁/共31頁)3(240P用極值第一判別法求函數 的極值 xexxf=221)( 解：解：定義域為定義域為( ) 令f (x)=0，

14、解得x1=0、x2=2列表分析xxexxexf=221)()2(21xxex=( 0)(0 2)(2 )0200極小值0極大值2e-2故函數f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)= 2e-2 第23頁/共31頁 設函數設函數f(x)在點在點x0處有二階導數且處有二階導數且f (x0)=0， f (x0)0，則，則 （1）當）當f (x0)0時，函數時，函數f(x)在在x0點取得極小值。點取得極小值。 證：證：（1）由于 f (x0) 0，故由二階導數的定義，有 0)()(lim)(0000= xxxfxfxfxx由2-4定理4，當x在x0的足夠小的鄰域內且不等

15、于x0時0)()(00 xxxfxf但f (x0)=0，所以有0)(0= f162723)(=f故當x1=0時， f (0)=0，不能用定理4來判別，由定理3：是f(x)的極小值( 0) 0(0 ) 230無極值故x1=0不是曲線的極值點23令f (x)=0，得駐點為x1=0、x2= 求二階導數： f (x)= 12x212x=12x(x1)23當x2= 時，第26頁/共31頁)3(240P解：解：令f (x)=0，解得x1=0、x2=2xxexxexf=221)()2(21xxex= 故函數f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)= 2e-2 用極值第二判別法

16、求函數 的極值 xexxf=221)() 24(21212)(22= xxeexxeexfxxxx01) 0 (= f0) 2(20 則則f(x)在在a b上嚴格單調增加上嚴格單調增加 (2)如果在如果在(a b)內內f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴格單調減少上嚴格單調減少 (1)確定函數的定義域確定函數的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程求分界點，解方程求分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區間用分界點把定義域分成若干個開區間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個開區間上的符號，在各個開區間上的符號，由單調性判別法可確定單調區間由單調

17、性判別法可確定單調區間 第28頁/共31頁 設函數設函數f(x)在在x0點的某一鄰域點的某一鄰域(x0 , x0 )內連續，除內連續，除點點x0外，在此鄰域內可導，其導數外，在此鄰域內可導，其導數f (x)在點在點x0的左右附的左右附近保持著確定的符號，這時有三種情況：近保持著確定的符號，這時有三種情況： （1）當）當x0，當當x x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極大值；點取得極大值； （2）當）當x x0時，時， f (x) x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極小值；點取得極小值； （3） f (x)在經過在經過x0點時不改變符號，則點時不改變符

18、號，則f(x)在在x0點不點不取極值。取極值。（4）極值第一判別法及步驟極值第一判別法及步驟求函數求函數極值極值(第一判別法第一判別法)步驟：步驟： (1)確定函數的定義域確定函數的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得駐點及導數不存在的點為，解方程得駐點及導數不存在的點為分界點分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區間用分界點把定義域分成若干個開區間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個分界點左、右的符號，由在各個分界點左、右的符號，由極極值第一判別法值第一判別法可確定函數可確定函數極值極值 第29頁/共31頁（5）極值第二判別法及步驟極值第二判別法及步驟 設函數設函數f(x)在點在點x0處有二階導數且處有二階導數且f (x0)=0， f (x0