1、2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準(A卷)說明：1 .評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準.選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中5分為一個檔次，不要增加其他中間檔次.一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)1.函數(shù)f(x)=5-4x+X2在(-,2)上的最小值是(C)2-xA.0B.1C.2D.3解當x0,因此f(x)-1+(4-4x+x)=六十(2-x)之2J；(2x)2-x2-x

2、2-x=2,當且僅當1=2_x時上式取等號而此方程有解x=1W(-o,2),2f因此f(x)在(3,2)上的最小值為2.2 .設A=2,4),B=xx2-ax-42424故BGA等價于x1之一2且x2a-4，解之得214240a3.3 .甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為2,乙在每局中獲勝的概率為二，33且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)之的期望E0為(B)A.241B,266C,274D,%818181243解法一依題意知，巴的所有可能值為2,4,6.設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概

3、率為(2)2+(1)2=5.3，3，9若該輪結束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對P(=6)嗎2=錄52016266故E=2-46=9818181由獨立性與互不相容性得P代=2)=p(AA)+P(AA2)=勺，9P(=4)=P(AAAP)P(AA2A3A4)P(AA2AA)P(AAA=)Pd=6)=P(AAAA)+P(AAAA4)+P(AAAA4)+P(AAAA)=4(A2d)2=16,33815,20C16266故E-=2M+4父+6父=.98181814 .若三個棱長均為整數(shù)(單位：cm)的正方體的表面積之和為564cm2,則這三個正方體的體積之和為(A)A

4、.764cm3或586cm3B.764cm3C.586cm3或564cm3D.586cm3 解 設 這 三 個 正 方 體 白 棱 長 分 別 為a,b,c,則 有6(a2+b2+c2)=564,a2+b2+c2=94,不 妨 設1EaWbEc10,從而3c22a2+b2+c2=94,c2a31.故6Ec30,b24,從而b=4或5.若b=5,22則a=5無解，若b=4,則a=14無解.此時無解.若c=7,則a2+b2=9449=45,有唯一解a=3,b=6.下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(=2)=59P(=4)=9)2081解法二依題意知，E的所有可能值為2,4,6.令人表示甲在第k局比

5、賽中獲勝，則瓦表示乙在第k局比賽中獲勝.若c=6,則a2+b2=9436=58,此時2b2a2+b2=58,b2之29.故b之6,但bEc=6,故b=6,此時a2=5836=22無解.，a=2,_|_a=3,I,、I綜上，共有兩組解b=3,或b=6,cIc=9c=7.體積為M=23+33+93=764cmi或V2=33+63+73=586cm3.xyz=0,I5 .方程組xyz+z=0,的有理數(shù)解（x,y,z）的個數(shù)為（B）xyyzxzy=0A.1B.2C.3D.4-xy=0,x_0 x解若z=0,則解得x-0或產(chǎn)一1xyy=0.y=0y=1.若z#0,則由xyz+z=0得xy=-1.由x+y

6、+z=0得z=xy.將代入xy+yz+xz+y=0得x2+y2+xy-y=0.由得x-1,代入化簡得（y-1）（y3-y-1）=0.y易知y3-y-1=0無有理數(shù)根，故y=1,由得x=-1,由得z=0,與z0矛盾,rx=T,x=0,故該方程組共有兩組有理數(shù)解y=0,或（y=1,一二0J=0.6 .設MBC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列，則解設a,b,c的公比為q,則b=aq,c=aq2,而sinAcotCcosA_sinAcosCcosAsinCsinBcotCcosBsinBcosCcosBsinCsin（AC）_sin（二-B）_sinB_b_sin（BC）sin（】 。A）

7、sinAa因此，只需求q的取值范圍.sinAcotCcosA-的取值范圍sinBcotCcosB是A（。,二）B）因a,b,c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c,因此a,b,c要構成三角形的三邊，必需且只需a+bAC且b+CAa.即有不等式組-2，即Y，2qq-10.、51.一5-1512時，f(x)當cosx=1時取最小值1-4a;(2) a2或a-2時，f(x)的最小值不能為一1,2故1a?2a1=,解得a=-2*。3,a=-2v3(舍去).229.將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有222種.解法一用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用中表示名

8、額.如|用*琳|*川*|*|表示第一、二、三個學校分別有4,18,2個名額.若把每個“率”與每個“|”都視為一個位置，由于左右兩端必須是”，故不同的2aaqaq2aqaqa1-5尾/日：q解得25-1q,51：2，451或q:二2從而上5二1:二q2分配方法相當于24+2=26個位置(兩端不在內(nèi))被2個“1”占領的一種“占位法”.“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“*”之間的23個空隙中選出2個空隙插入|，故有C23=253種.又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種.綜上知，滿足條件的分配方法共有253-31=222種.解法二設分配給3個學校

9、的名額數(shù)分別為x1,x2,x3,則每校至少有一個名額的分法數(shù)為不定方程X1+X2+X3=24.的正整數(shù)解的個數(shù)，即方程x1+x2+x3=21的非負整數(shù)解的個數(shù)，它等于3個不同元素中取21個元素的可重組合：H；1=C23=C23=253.又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種.綜上知，滿足條件的分配方法共有25331=222種.設數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn+an=L，n=1,2,川，則通項an=2nnn(n1)2nn(n1)conn-1an1=Sn1_Si二_an1_,an1n1(n1)(n2)n1n(n1)11_21-an-an-n1n(n1)

10、(n1)(n2)n(n1)令bnf+fb1=i2=2(a1=0)f(x+2)-f(x)-32、主-3-2x+632x=32x,因此有f(x+2)-f(x)=32x,故f(2008)f(2008)-f(2006)f(2006)-f(2004)Idf(2)-f(0)f(0)1003-1A10.解n2-2(n1)(n2)(n1)(n2)=an1n(n1)有*故 H 所以an=/1n(n1)設f(x)是定義在 R R 上的函數(shù)，若f(0)=2008,且對任意xwR,滿足41=3(22006-22004-HI221)-f(0)=3-4-1f(0)=22008+2007.則該小球永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁

11、的面積是72,3解如答12圖1,考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為r,作平面A1B1cl/平面ABC,與小球相切于點D,則小球球心O為正四面體P_A1BG的中心，PO_1面人81c1，垂足D為A1B1C1的中心.1_=1$&孰PD=4VO工31=4-S&BOD,3故PD=4OD=4r,從而PO=PD-OD=4r-r=3r.記此時小球與面PAB的切點為p,連接OR,則PP1=PO2-OP12f/(3r)2_/=2、.2r.考慮小球與正四面體的一個面（不妨取為PAB）相切時的情況，易知小球在面PAB上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為P1EF,如答12圖2.記正四面體的棱長為a,過p作R

12、M_LPA于M.PM=PPcosMPR=2、2r-3=；6r,2故小三角形的邊長PE=PA-2PM=a-2x/6r.解法二令g(x)=f(x)-2x,則g(x+2)-g(x)=f(x+2)-f(x)-2x-2+2x632x-632x=0,即g(x2)g(x),g(x6)_g(x),故g(x)g(x6)g(x4)g(x2)0)有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為a,求證：2cos:1二since+sin3a4a以1證f(x)的圖象與直線y=kx切，其切點為A(a,-sina),a=5分由于f(x)=-cosx,xE(n,3n)2因此cosacossina+sin3a2sin2acosa14s

13、inacosacos2a+sin2a1+tan2a1十4sinucosa4tan4?？?Hx答13圖(k0)的三個交點如答13圖所示，且在(n,3L)內(nèi)相3n明萬),所以coset=sn三，即a=tana.10分CL15分0(2一八.20分解法一由1+log2(x4+1)=log2(2x4+2),且10g2y在(0,y)上為增函數(shù)，故原不等式等價于x12+3x10+5x8+3x6+12x4+2.即x12+3x1+5x8+3x6-2x410.5分分組分解x12+x10-x8+2x10+2x82x6+4x8+4x64x4+x6+x4x2+x4+x210,(x8+2x6+4x4+x2+1)(x4+x

14、2-1)0,10分422-1-52-15所以x+x-10,(x-)(x-)0.15分22所以x2A-1丁,即x2x4+2.即-2T+Ax6+3x4+3x2+1+2x2+2=(x2+1)3+2(x2+1),xx(4)3+2(斗)(x2+1)3+2(x2+1)，-10分xx令g(t)=t3+2t,則不等式為g(4)g(x2+1),x顯然g(t)=t3+2t在 R R 上為增函數(shù)，由此上面不等式等價于40,解得心勺(入一空舍去),故原不等式解集為(3,，與1)U(559,F)-20分15.如題15圖，P是拋物線y2=2x上的動點，點B,C在y軸上，圓（x1）2+y2PBC,求APBC面積的最/、值.了解設P(Xo,y0),B(0,b),C(0,c),不妨設bc.，、,y0-b直線PB的方程：y-b=x,Xo化簡得(y0-b)x-xoy+xob=0.又圓心(1,0)到PB的距離為1,V。-b十%b|,八一=1,5分.(y0-b)2x2故(y0b)2+x；=(yb)2+2xb(y0b)+x；b2,易知x02,上式化簡得(x0-2)b2+2y0b-x0=0,同理有