1、函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)精心整理常州市第一中學(xué)孔祥武一? ?設(shè)計(jì)思想與理念本課的教學(xué)設(shè)計(jì)是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主 線”的原則而設(shè)計(jì)的教師在充分分析學(xué)生已有知識(shí)水平和思 維能力的基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索的情境，通過(guò)問(wèn)題串，指引探 索的途徑，通過(guò)環(huán)環(huán)相扣問(wèn)題鏈激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索欲，引 導(dǎo)學(xué)生不斷地提出新問(wèn)題，解決新問(wèn)題.、尹I I/ I* I二教材分析：1.1.?內(nèi)容分析函數(shù)f(x)的零點(diǎn), ,是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念, ,從函數(shù)值與自變 量對(duì)應(yīng)的角度看，就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)X；從方程的角度看，即 為相應(yīng)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；從函數(shù)的圖像角度看，函數(shù)的零點(diǎn)就 是函數(shù)f(x)與X軸

2、交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度，將函數(shù) 與方程，數(shù)與形有機(jī)的聯(lián)系在一起，體現(xiàn)的是函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.! j.j x * i, y | I學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可為二次函數(shù)實(shí)根分布打下基礎(chǔ)，并 為下一節(jié)內(nèi)容二分法求方程近似解提供理論支持.在講授本節(jié)內(nèi)容時(shí)更多要滲透函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的 思想方法2.2. ? ?學(xué)情分析：初學(xué)者大多不清楚為什么要研究函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)樵诖酥八?們都能用公式法直接求方程的根.教學(xué)時(shí)可通過(guò)舉例讓學(xué)生知道，- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 考察相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)研究，借助形的角度 來(lái)

3、研究數(shù)的問(wèn)題.本人執(zhí)教的班級(jí)是一中的教改班，學(xué)生層次較高，簡(jiǎn)單引用教 材上的例題學(xué)生會(huì)覺(jué)得提不起興趣，因此嘗試在立足教材的基礎(chǔ) 上提出一些有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生自主 發(fā)現(xiàn)，自我建構(gòu)知識(shí).3.?3.?教材處理本節(jié)課從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，借助對(duì)圖象 的觀察獲得二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系，并將這種 關(guān)系推廣到了一般情形體會(huì)函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.X |：/ y 對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)判斷定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特例中發(fā)現(xiàn)感悟 這一定理，在給出這個(gè)定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的 剖析，引導(dǎo)學(xué)生多畫(huà)圖，討論定理逆命題的真假，加深對(duì)定理的 理解及應(yīng)用.重點(diǎn)：函數(shù)的零

4、點(diǎn)存在性定理的理解及運(yùn)用-.i難點(diǎn)：體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系； 三教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1 1知識(shí)與技能(1) 理解函數(shù)(結(jié)合二次函數(shù))零點(diǎn)的概念.(2) 理解零點(diǎn)存在性定理的判定條件，會(huì)判斷函數(shù)在某區(qū)間上是 否存在零點(diǎn). .2.2.過(guò)程與方法- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理能夠理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，能夠結(jié)合反例找 到不間斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法.3.3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀x22x一3 = 0的根與函數(shù) 廠x22x一3之間有什么聯(lián)系？【生】：從圖象上看，方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫 坐標(biāo) 【師】：很好，方程X2-2X-3=0可看作函數(shù)y=x2-2x-3函數(shù)值為 0 0 時(shí)

5、特殊情形，函數(shù)與方程之間似乎有某種聯(lián)系，-1,3是方程x22x7=0的兩 根，那么是函數(shù) 廠X2-2X-3的什么呢？為了表述方便， 我們給它一 個(gè)名稱， 把-1,3稱為函數(shù)y=x2-2x-3的零點(diǎn).(.(板書(shū)課題) )設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)蔚吨比耄瑥膶W(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手， 通過(guò)對(duì)圖象的觀察獲得二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān) - -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意 義和價(jià)值，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)函數(shù)知識(shí)的核心作 用體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精 神.四.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1 1 情境問(wèn)題： 問(wèn)題一：函數(shù)y =x2-2X-3圖象與x軸交點(diǎn)

6、坐標(biāo)(-1(-1 , 0 0)( 3 3, 0 0):你是怎樣得到的， :令八0解出來(lái)的 問(wèn)題二：方程:2【生】：【師】yX精心整理系，給學(xué)生搭自然類比引出概念零點(diǎn)知識(shí)是陳述性知識(shí)，關(guān)鍵 不在于讓學(xué)生提出這個(gè)概念，而在于理解提出零點(diǎn)概念的作用一 溝通函數(shù)與方程的關(guān)系弓I入函數(shù)的零點(diǎn)的概念一是突出這一 轉(zhuǎn)化的思想，二是表述起來(lái)更方便.2 2 .建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題三：類似的，函數(shù)y = f(x)的零點(diǎn)又該怎樣定義？【生】：令八0，解出f(x)=O的根便是函數(shù)的零點(diǎn). .函數(shù)的零點(diǎn)：1 1、定義：一般地，我們把使函數(shù)-f(x)的值為 0 0 的實(shí)數(shù)x稱為函 數(shù)八f(x)的零點(diǎn). .【師】：函數(shù)的零點(diǎn)從本質(zhì)

7、上來(lái)說(shuō)是什么呢？一張紙還是一支 筆啊？【生】：零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù).【師】：很好，去掉修飾語(yǔ)，實(shí)數(shù)x稱為零點(diǎn)我們不妨這么記 憶，零點(diǎn)不是點(diǎn)，海馬不是馬 2 2、 說(shuō)明：(1) 函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是個(gè)實(shí)數(shù) (2)函數(shù)的零點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根，也是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的 橫坐標(biāo). .函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題二方程的根的問(wèn)題二圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：圍繞零點(diǎn)概念的剖析，幫助學(xué)生理解零點(diǎn)的本質(zhì)，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根以及函數(shù)圖像之間的相互轉(zhuǎn)化的 思想.- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理問(wèn)題四：方程3456X2一3458X仁0有沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【生】：有，用D = 34582- 4? 34560計(jì)算，可以估算.【師】：很好，還

8、有別的做法嗎？【生】：設(shè)f(x) =3456x2-3458X 1，f(1) = -1：0，因圖像開(kāi)口向上，所 以f(x) =3456x2-3458x 1的圖像和x軸必有兩個(gè)交點(diǎn).【師】：成功的關(guān)鍵在于把方程交給了函數(shù)，從函數(shù)角度來(lái)看 問(wèn)題. .變化：在區(qū)間(1,2)上有根嗎？【生】：f(1)=-1,f (2) 0，二次函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(1,2)上有一個(gè)根.變化：在區(qū)間(0,1)上有根嗎？【生】：f一1,f(0)“，函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(0,1)上有 一個(gè)根.設(shè)計(jì)意圖：有意設(shè)計(jì)了一個(gè)不便于從代數(shù)角度求根的一元二次方程，“逼迫”學(xué)生另辟蹊徑，把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從“形”的 角度，

9、來(lái)考察二次方程在區(qū)間上是否有根，滲透函數(shù)與方程思想， 數(shù)學(xué)結(jié)合的思想. .同時(shí)讓學(xué)生感受端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，圖像連續(xù)，函 數(shù)有零點(diǎn)，這便是零點(diǎn)存在性定理的“雛形，為下面引出零點(diǎn) 存在性定理埋下伏筆. .問(wèn)題五：若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a,b 上滿f(a) f(b) 0, ,則函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a,零點(diǎn)嗎？試舉例說(shuō)明. .精心整理【生 1 1】 ： 不一定， 八丄在區(qū)間(一1,1)上滿足條件，卻沒(méi)有零點(diǎn). .x【師】： 加一個(gè)怎樣的條件就能保證上述函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上一定有零教師學(xué)生自己畫(huà)圖論證.- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)足一定有- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)？【生】：感覺(jué)只要函數(shù)y = f

10、(x)在區(qū)間a,b上連在一起，不間斷就 可以了.引出零點(diǎn)存在性定理設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題四學(xué)生感覺(jué)似乎函數(shù)在區(qū)間上端點(diǎn)函數(shù)值 異好，就有零點(diǎn)，教師適時(shí)地提出問(wèn)題五，順其自然把問(wèn)題推向 縱深，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖論證，自我探究，尋找反例，接下來(lái)定理的 引出便是自然的，水到渠成的.零點(diǎn)存在定理：一般地，若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條X |：/ y 不間斷的曲線，且f(a) f(b)：0,則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn). 問(wèn)題六( (剖析概念系列問(wèn)) )：【師】：學(xué)習(xí)了這個(gè)定理，你有哪些不明白的地方.(設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題)【生】：區(qū)間從a,b變化為(a,b)，為什么？

11、【師】：使零點(diǎn)位置更精確！第一個(gè)區(qū)間a,b能改為區(qū)間(a,b)嗎？【生】：不可以，如函數(shù)fgJKZ1)，l-1,x=1【師】何謂“有零點(diǎn)”？【生】：至少有一個(gè)零點(diǎn)精心整理【師】(能逆向嗎？)一般地，若函數(shù)八f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條不間斷的曲線，若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)，貝U f(a) f(b) 0?能舉例嗎?【生】：二次函數(shù)f(x)d_4/在區(qū)間3,4上有零點(diǎn)卻不滿足. -【師】：不間斷的單調(diào)函數(shù)y = f(x)廿/ * 在區(qū)間a,b上有f(a) f(b) cO,則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間丿(a,b)上有幾個(gè)零點(diǎn)？【生】：1 1 個(gè). .I IJJ J / /

12、【師】：變式：二次函數(shù)y =f(x)在區(qū)間a,b上有f(a) f(b)：O, ,則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上有幾個(gè)零點(diǎn)？【生】：1 1 個(gè)(這是由二次函數(shù)自身的形狀決定，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖 感受)設(shè)計(jì)意圖：在給出這個(gè)定理之后，還需要圍繞定理作一些深 入的剖析，諸如：滿足定理的條件就有零點(diǎn)，不滿足定理的條件 是否就沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)是否一定有f(a)f(b)：O，引導(dǎo) 學(xué)生多畫(huà)圖，結(jié)合我們熟悉的二次函數(shù)的零點(diǎn)討論定理逆命題的 真假，加深對(duì)定理的理解，為靈活運(yùn)用奠定基礎(chǔ)這樣達(dá)到完成 本節(jié)課的知識(shí)與技能目標(biāo)的目的，同時(shí)也突出了重點(diǎn)，3 3、典型例題：例題 1 1：求證：函數(shù)f(x)=

13、x3X21在區(qū)間(-2,-1)存在零點(diǎn).解答：f(2)f(：0, ,函數(shù)f(x)=x3x21在區(qū)間(-2,-1)上不間斷. . 強(qiáng)調(diào)：函數(shù)f(xx3x21在區(qū)間(-2,-1)上不間斷. .注重解題規(guī)范.- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理變式 1 1：求證：方程x3=4x2在區(qū)間(一2,0)上至少有兩個(gè)實(shí)根解：令f(x) =X34x2,f (-2) =-8+8-2 0,f(0)=-20,f(-1)=1A0, 又函數(shù)f(x)=x3-4x-2在區(qū)間(-2,0)上連續(xù)不間斷，f(x)=x3-4x-2在區(qū)間(-2,-1),(-1,0)上都至少有一個(gè)根，所以得證.教師點(diǎn)評(píng)：把方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象的零點(diǎn)問(wèn)題

14、 處理.設(shè)計(jì)意圖：例題 1 1 設(shè)計(jì)了一個(gè)三次函數(shù)的例子，不能像通常二 次函數(shù)那樣從代數(shù)角度直接求解函數(shù)零點(diǎn)，需要結(jié)合零點(diǎn)存在性 定理解題，屬于淺層次的模仿運(yùn)用，讓學(xué)生感悟零點(diǎn)存在性定理 是判斷函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)的又一種方法變式訓(xùn)練把問(wèn)題推向高潮，X |：/ y 首先要把方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生函數(shù)與 方程思想.當(dāng)然變式 1 1 有一定難度，可根據(jù)學(xué)生層次選擇.例題 2 2：函數(shù)f(x)=l nx x-4有零點(diǎn)的區(qū)間為(k,k 1) k Z，求k的值.分析 1 1:嘗試直接應(yīng)用定理解題.函數(shù)f(x) =1 n x x -4，f (2) = In 2 - 2：0，f (3) = In

15、3 -1 0， 函數(shù)f (x) = In x x 4在 區(qū)間(k,k 1) k Z上單調(diào)增，故k= 2分析 2 2：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.如x 4與y2F nx，觀察圖像可得零點(diǎn)在區(qū)間(1,4)當(dāng)中,至于根到底在哪個(gè)區(qū)間， 依靠圖像本省還不有精確，需要把問(wèn)題交給代數(shù)，考查(1,4)中的整x= 2時(shí)寸,=2，yl n2：1，x=3時(shí)，力=1，y2Tn3 1， - -來(lái)源網(wǎng)點(diǎn)絡(luò)- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理通過(guò)精確比較，根位于區(qū)間(2,3)要進(jìn)行細(xì)化. .糾正學(xué)生的常見(jiàn)誤區(qū)：直接f (k)，f(k+1) = (ln k + k 4)(ln( k +1) + (k+1) 4 c 0的做法

16、不對(duì)，屬于認(rèn)為有零點(diǎn)，便有端點(diǎn)值異好，若看出單調(diào)增，便可以這樣使用. .逐一檢驗(yàn)整數(shù)點(diǎn)。歸納：函數(shù)零點(diǎn)的求解與個(gè)數(shù)的判斷：(1)(代數(shù)法)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根問(wèn)題；( (能求則求) )，(2)(幾何法)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題；(3)利用零點(diǎn)存在性定理解決.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)一個(gè)入口較寬的，有一定挑戰(zhàn)性的，一題多 解的例題，讓學(xué)生正確理解零點(diǎn)存在性定理使用誤區(qū)和注意事項(xiàng)， 并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把yI J /卜數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，當(dāng)依靠形說(shuō)不清時(shí)再次把形的問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為數(shù)，感受數(shù)學(xué)解題其實(shí)就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.4 4、當(dāng)堂訓(xùn)練：(備用)LiLi1 1、 設(shè)函數(shù)

17、f(x8lXx/11，則函數(shù)g(x)=f(x)+的零點(diǎn)為. i fJ! j.j、* i答：3可以直接求根，也可以作圖像！2 2、 函數(shù)f(x)=xlgx-1有零點(diǎn)的區(qū)間為(k,k 1) k Z，則k的值為.2 2igxJ, ,轉(zhuǎn)化為熟知的圖像的交點(diǎn)，最后細(xì)化！x3 3、 方程3xlog2X=0在區(qū)間丄1內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.1 14法一、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).法二、函數(shù)單調(diào)增，用f(a) f(b) 0- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理設(shè)計(jì)意圖：爭(zhēng)對(duì)課上的重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容，當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練，變式訓(xùn)練， 課內(nèi)時(shí)間可能來(lái)不及，看情況備用5 5、 課堂小結(jié)：（引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，自我建構(gòu)）（1 1）函數(shù)的零點(diǎn)概念是什么？函

18、數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題二方程的根的問(wèn)題二圖像與x軸交點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法有哪些？（1 1）求出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根； （2 2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn) 問(wèn)題； （3 3）利用零點(diǎn)存在性定理（3 3）本節(jié)課運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想/ I（/設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生談收獲，談體驗(yàn)的過(guò)程中，教師將本節(jié)課的 內(nèi)容回顧總結(jié)，概況升華，進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把課堂 所學(xué)的知識(shí)與方法較快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)，也更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生 的歸納概括能力.6 6、 課外作業(yè)：一中配套課時(shí)訓(xùn)練第 3333 課時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)開(kāi)課反思常州市第一中學(xué)孔祥武本節(jié)課好的地方：1.以問(wèn)題串組織教學(xué)，一步步引

19、導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)概念，6 個(gè)大問(wèn)題把整節(jié)課知識(shí)點(diǎn)串了起來(lái).這樣的課堂是高效的，學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)，在探究中感悟.2.因?yàn)閷W(xué)生層次很好，（一中教改班），這節(jié)課我設(shè)計(jì)時(shí)立足放手讓學(xué)生來(lái)說(shuō)，把舞臺(tái)交給學(xué)生充分體現(xiàn)教師 為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的新課程理念許多概念的反例都是學(xué)生自己來(lái)舉的，聽(tīng)課老師都覺(jué)得學(xué)生表現(xiàn)得很讓 人吃驚這里學(xué)生的主動(dòng)性積極性得到調(diào)動(dòng)學(xué)生的大膽質(zhì)疑，大聲回答讓人佩服，這樣的課堂正是我們老- -來(lái)源網(wǎng)絡(luò)精心整理師希望看到的，這樣的學(xué)生正是我們老師希望培養(yǎng)的.3.零點(diǎn)存在性定理講的比較細(xì)致入微，嚼得有滋有味，剖析得比較透徹，是本節(jié)課的亮點(diǎn).零點(diǎn)存在性問(wèn)題本身是充分的，有局限性的.“剖析問(wèn)題(能逆

20、向嗎)一般地，若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條不 間斷的曲線，若函數(shù) 八f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)則f(a).f(b)：O?能 舉例嗎？”和變式 2 2 都在研究定理逆向方面的問(wèn)題防止學(xué)生理 解發(fā)生偏差.定理的正向，逆向剖析，讓學(xué)生對(duì)定理加深理解， 使得學(xué)生對(duì)定理理解更全面.4.本節(jié)課教態(tài)很自然， 始終面帶微笑，不慌不忙，娓娓道來(lái)，不太像自己平時(shí)嚴(yán)厲的作風(fēng)， 給人以親近的感覺(jué)， 學(xué)生似乎也被感染了，師生配合較好，還要堅(jiān)持.需要改進(jìn)的方面：1 1 給出函數(shù)零點(diǎn)定義時(shí)提出問(wèn)題：學(xué)習(xí)了零點(diǎn)定義要注意什么，X |：/ y 問(wèn)題太大，太空.可改為：學(xué)習(xí)了零點(diǎn)，你能告訴人家零點(diǎn)是什 么嗎？可能更具體一些.2.2. 零點(diǎn)不是點(diǎn)，黑馬不一定是馬說(shuō)法不準(zhǔn)確.改為零點(diǎn)不是點(diǎn)，X,jf 海馬不是馬可能較好.3.3. 零點(diǎn)存在性定理的生成亦可以設(shè)計(jì)一些活動(dòng)讓學(xué)生動(dòng)手探究， 揭示定理(1 10 0分鐘)已知函數(shù)y = f x