1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性學(xué)習(xí)要求-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷:1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義.1.函數(shù)的奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=f(x) ,那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于 y軸 對(duì)稱奇函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=-f(x) ,那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱提醒函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.2.周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都

2、有 f(x+T)=f(x) 成立,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),T為這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期.知識(shí)拓展1.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意一自變量x,(1)若f

3、(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0);(2)若f(x+a)=1f(x),則T=2a(a>0);(3)若f(x+a)=-1f(x),則T=2a(a>0).1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).()(3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.()(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一冊(cè)P84例6改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

4、()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案B3.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1,x2(-,0(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x1<0,則()A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)答案B4.已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的值是()A.-13B.13 C.12D.12答案B5.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x-1,1)時(shí),f(x

5、)=-4x2+2,-1x<0,x,0x<1,則f32=. 答案1函數(shù)的奇偶性角度一函數(shù)奇偶性的判斷典例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=3-x2+x2-3;(2)f(x)=lg(1-x2)|x-2|-2;(3)f(x)=x2+x,x<0,-x2+x,x>0.解析(1)由3-x20,x2-30,得x2=3,解得x=±3,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?3,3,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)=3-x2+x2-3=0.f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)由1-x2>0,|x-2|2得函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)

6、(0,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.x-2<0,|x-2|-2=-x,f(x)=lg(1-x2)-x.f(-x)=lg1-(-x)2x=lg(1-x2)x=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3) 顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知,對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).角度二已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值典例2已知函數(shù)f(x)=x(2x+a×2-x

7、)(xR),若f(x)是偶函數(shù),則記a=m,若f(x)是奇函數(shù),則記a=n,則m+2n=() A.0B.1C.2D.-1答案B當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),即(1+a)(2x+2-x)x=0,因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,所以a=-1,即m=-1;當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),f(-x)=-f(x),即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),即(1-a)(2x-2-x)x=0,因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.角度三利用函數(shù)的奇偶性求不等式的解集典例3(

8、2020四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)=x-x2,則不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A.(0,1) B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(0,1)D.(-1,0)(1,+)答案A當(dāng)x<0時(shí),-x>0, f(x)=-f(-x)=-x-(-x)2=x+x2,則f(x)=x-x2,x0,x+x2,x<0,(x+1)f(x)>0x+1>0,x-x2>0,x0或x+1<0,x+x2<0,x<0或-1<x<0,x+x2>0,解得0<x<1.名師點(diǎn)評(píng)1.判斷函數(shù)的奇偶性,其中

9、包括兩個(gè)必備條件:(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域;(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性時(shí),可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可解決的4個(gè)問(wèn)題:(1)求函數(shù)值:將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求函數(shù)值.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解.(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程或方程組,

10、進(jìn)而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的圖象.(2020廣東廣州一模)已知函數(shù)f(x)=2x+ln(x+a+x2)(aR)為奇函數(shù),則a=()A.-1B.0C.1D.2答案C函數(shù)f(x)=2x+ln(x+a+x2)為奇函數(shù),f(-x)+f(x)=-2x+ln-x+a+(-x)2+2x+ln(x+a+x2)=ln a=0,解得a=1.故選C.函數(shù)的周期性典例4(1)(多選題)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-3)=-f(x),當(dāng)x0,3時(shí),f(x)=x2-3x,則下列等式成立的是()A.f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)B.f(2 019

11、)+f(2 021)=f(2 020)C.2f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)D.f(2 019)=f(2 020)+f(2 021)(2)(2020四川成都一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2-f(-x),且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),當(dāng)x-1,0時(shí),f(x)=1-x2,則f2 0203=()A.109B.119C.139D.169答案(1)ABC(2)C解析(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期為6,f(2 019)=f(336×6+3)=f(3)=0,f(2 020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(2 0

12、21)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故A,B,C中的等式均成立.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)是偶函數(shù),所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(-x)=f(x+2),因?yàn)閒(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函數(shù)f(x)的周期為4,所以f2 0203=f168×4+43=f43,因?yàn)閒43=f1+13=f1-13=f23=2f-23=21-232=139,所以f2 0203=139.故選C.名師點(diǎn)評(píng)函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用(1)判斷:判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)

13、=f(x)(T0)便可得函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T.(2)應(yīng)用:根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)整體的性質(zhì),在解決具體問(wèn)題時(shí),要注意結(jié)論:若T是函數(shù)的周期,則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,則f(0)+f(1)+f(2 020)=()A.-1B.0C.1 D.2 020答案C因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),因?yàn)閒(1-x)=-f(1+x),所以f(x-1)=-f(1+x),則f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)是周期為4的

14、函數(shù),易知f(1)=-f(1),所以f(1)=0,因?yàn)閒(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2 020)=505f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(0)=505×0+1=1.故選C.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度一單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用典例5(1)已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,則不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集為()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,+)D.(0,1)(2)(2020安徽馬鞍山三模)已知函數(shù)

15、f(x+2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),若f(x)在(2,+)上單調(diào)遞減,則不等式f(ln x)-f(1)<0的解集是()A.(0,1)(3,+)B.(1,3)C.(0,e)(e3,+)D.(e,e3)答案(1)B(2)C解析(1)函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),f(x)=f(|x|),由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),函數(shù)y=f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,化簡(jiǎn)得x2-1>0,解得x<-1或x>1,故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集為(-,-1)(1

16、,+).故選B.(2)因?yàn)閒(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,且f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.由f(x)在(2,+)上單調(diào)遞減可得f(x)在(-,2)上單調(diào)遞增,由f(ln x)-f(1)<0得f(ln x)<f(1),所以|ln x-2|>|2-1|=1,所以ln x<1或ln x>3,解得0<x<e或x>e3.故選C.角度二奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用典例6(多選題)(2020山東威海高三模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是偶函數(shù),則()A.f(x)是

17、偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x+3)是偶函數(shù)D.f(x)=f(x+4)答案CD因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),從而f(-x)=f(x+2).因?yàn)閒(x-1)是偶函數(shù),所以f(-x-1)=f(x-1),從而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)閒(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函數(shù).名師點(diǎn)評(píng)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的注意點(diǎn)(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合:注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖

18、象的對(duì)稱性.(2)周期性與奇偶性綜合:此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性綜合:解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化到自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.1.(2020重慶模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f34+x=f34-x,且當(dāng)x0,34時(shí),f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,則實(shí)數(shù)m的值為()A.2B.1C.0D.-1答案B由f(x)為奇函數(shù)知f34-x=fx-34,fx+34=fx-34,即fx+32=-f(x),f(x+3)=-fx+32=f(x)

19、,f(x)是周期為3的函數(shù),故f(100)=f(1)=f12=log232+m=log23,m=1.2.已知函數(shù)f(x)=21-x,x1,2x-1,x<1,若f(2x-2)f(x2-x+2),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.-2,-1B.1,+)C.RD.(-,-21,+)答案D函數(shù)f(x)=21-x,x1,2x-1,x<1,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,由圖可知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且f(x)在1,+)上是單調(diào)減函數(shù).f(2x-2)f(x2-x+2),且x2-x+2=x-122+74>1恒成立,|2x-2-1|x2-x+2-1,即|2x-3|x2-x+1,當(dāng)x3

20、2時(shí),不等式化為2x-3x2-x+1,即x2-3x+40,不等式恒成立,所以x32;當(dāng)x<32時(shí),不等式化為3-2xx2-x+1,即x2+x-20,解得x-2或x1,即x-2或1x<32.綜上,當(dāng)f(2x-2)f(x2-x+2)時(shí),實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-,-21,+).數(shù)學(xué)運(yùn)算抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用已知函數(shù)y=f(x)對(duì)任意xR都有f(x+2)=-f(x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,f(1)=4,則f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值為. 答案4解析因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象

21、關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以f(x)是R上的奇函數(shù),因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.(1)本題涉及了函數(shù)的周期性與對(duì)稱性,利用函數(shù)的周期性與對(duì)稱性求函數(shù)值,提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù):若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于

22、直線x=a+b2對(duì)稱;若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱;若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.1.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí), f(x+3)=-f(x),且當(dāng)x(0,3)時(shí),f(x)=x+1,則f(-2 017)+f(2 018)=() A.3B.2C.1D.0答案C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(-2 017)=-f(2 017),因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(

23、x)的周期為6,又當(dāng)x(0,3)時(shí),f(x)=x+1,所以f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2,f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3.故f(-2 017)+f(2 018)=-2+3=1.2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)在1,+)上單調(diào)遞減,且f(x+1)是偶函數(shù),不等式f(m+2)f(x-1)對(duì)任意的x-1,0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.-3,1 B.-4,2C.(-,-31,+)D.(-,-42,+)答案A因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,由f(x)在1,+)上單調(diào)遞

24、減得f(x)在(-,1)上單調(diào)遞增,由f(m+2)f(x-1)得|(m+2)-1|(x-1)-1|,即|m+1|x-2|對(duì)任意的x-1,0恒成立,所以|m+1|x-2|min,所以|m+1|2,解得-3m1.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(2020湖北武漢高三期末)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(3+x),f(2 020)=2,則f(1)的值是()A.-1B.-2C.1D.2答案B2.(2020北京四中模擬)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.f(x)=x3+1B.f(x)=ln1-x1+xC.f(x)=exD.f(x)=xsin x答案B3.(2020河南洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=a-2ex+1(

25、aR)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)答案A4.(多選題)(2019福建廈門模擬)下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A.f(x)=1x B.f(x)=1x2C.f(x)=-xD.f(x)=-x|x|答案CD5.(2020課標(biāo)文,12,5分)已知函數(shù)f(x)=sin x+1sinx,則()A. f(x)的最小值為2B. f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C. f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱D. f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱答案D6.(2020河南焦作一模)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x),當(dāng)x0

26、,2時(shí),f(x)=x2+x,則不等式f(x)>2的解集為()A.(2k+1,2k+3),kZB.(2k-1,2k+1),kZC.(4k+1,4k+3),kZD.(4k-1,4k+1),kZ答案C因?yàn)閒(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期為4,當(dāng)x0,2時(shí),f(x)>2的解集為(1,2,易知f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以當(dāng)x0,4時(shí),f(x)>2的解集為(1,3),所以當(dāng)xR時(shí),f(x)>2的解集為(4k+1,4k+3),kZ.7.若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí), f(x)=4x,則f-5

27、2+f(2)=. 答案-2解析f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(0)=0,又f(x)的周期為2,f(2)=0,又f-52=f-12=f12=412=-2,f-52+f(2)=-2.8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值為M,最小值為m,則M+m=. 答案2解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,設(shè)g(x)=2x+sinxx2+1,則g(-x)=-g(x),g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)m

28、ax+g(x)min=2.9.已知定義域?yàn)镽的減函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-2x.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)若對(duì)任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析(1)因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0.(2)因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=-x3-2-x.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2-x.綜上,f(x)=x3-2x,x>0,0,x=0,x3+2-x,x<0.(3)由f(t2-2t)+f(2

29、t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(t2-2t)<f(k-2t2),又因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù),所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0對(duì)任意tR恒成立.令3t2-2t-k=0,則=4+12k<0,解得k<-13.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為-,-13.B組能力拔高10.(2020課標(biāo)理,9,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)()A.是偶函數(shù),且在12,+單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在-12,12單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在-,-12單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在-,-12單調(diào)

30、遞減答案D由|2x+1|>0,|2x-1|>0xxx±12,xR,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函數(shù),排除A、C;當(dāng)x-12,12時(shí),f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),則f(x)=22x+1-21-2x=41-4x2>0,f(x)在-12,12單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)x-,-12時(shí),f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),則f(x)=-2-2x-1-21-2x=41-4x2<0,f(x)在-,-12單調(diào)遞減,D正確.11.(多選題

31、)(2020山東濰坊高三一模)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),則下列結(jié)論一定成立的是()A.g(1)=0B.g(2)=-12C.g(-x)+g(x)>0D.g(-x+1)+g(x+1)<0答案AC因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,因?yàn)間(x)=f(x-1),所以g(1)=f(0)=0,故A中結(jié)論正確;因?yàn)閒(x)為定義在R上的減函數(shù),且f(2)=-1,f(2)<f(1)<f(0),即-1<f(1)<0,所以-1<g(2)<0,故B中結(jié)論錯(cuò)誤;因?yàn)間(x)=f(x-1),所以g(

32、-x)=f(-x-1)=-f(x+1),所以g(-x)+g(x)=f(x-1)-f(x+1),因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù),所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)>0,即g(-x)+g(x)>0,故C中結(jié)論正確;因?yàn)間(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.12.(多選題)(2020山東淄博高三一模)已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),對(duì)于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=2x-1

33、,給出下列結(jié)論,其中正確的是()A.f(2)=0B.點(diǎn)(4,0)是函數(shù)y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)y=f(x)在-6,-2上單調(diào)遞增D.函數(shù)y=f(x)在-6,6上有3個(gè)零點(diǎn)答案AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(2)=-f(-2)=0,所以f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一個(gè)周期為4的奇函數(shù),因?yàn)?0,0)是f(x)的圖象的對(duì)稱中心,所以(4,0)也是函數(shù)y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故A、B正確;作出函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示,易知函數(shù)y=f(x)在-6,-2上不具有單調(diào)性,故C不正確;因?yàn)閒(2)=-f(-2)=0,且f(x)的周期為4,所以f(-6)=f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函數(shù)y=f(x)在-6,6上有7個(gè)零點(diǎn),故D不正確.故選AB.13.已知函數(shù)y=f(x)滿足f32-x=f(x),當(dāng)x34時(shí),f(x)=sin x,則函數(shù)f(x)>-12在區(qū)間0,32內(nèi)的解集為. 答案3,76