1、學而思2011年秋季四年級超常123班難題匯總一直跟著孩子在學而思秋季四年級超常3班聽課，有一些有難度的題目，為了孩子們溫習和家長們參考，特進行匯總，并給出解題思路和答案，和大家一起分享。聲明：本文檔只是收錄了各講有點難度的題目，并對難題進行解析、分級等，并未對各講內容進行總結和分析，各講內容的總結和剖析可以參見學而思老師的相關文檔。如您對難題感興趣，可以參閱本文檔。第一講 整數與數列找規律、記公式是本講的主要內容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接觸，需要有個理解消化的過程。1、【例2】一列數是按以下條件確定的：第一個是3，第二個是6，第三個是18，以后每一個數是前面所有數的和的2倍

2、，則第六個數等于：_，從這列數的第_個數開始，每個都大于2007?！倦y度級別】【解題思路】找規律。第1個：3第2個：63×2第3個：18(3+2×3)×23×(1+2)×23×3×232×2第4個：54(3+6+18)×2(3+3×2+3×3×2)×2(3×3+3×3×2)×2(3×3×3)×233×2第n個：3n-1×2這個式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每個數是其前面

3、數的3倍(第1、2個數除外)，前8個數是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。由公式，第6個數：35×2486。由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其實，第6個數是486，第7個數就是486×31458，第8個數1458×34374>2007）?！敬鸢浮?86，8。2、【例5】計算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16計算：1×99 + 2×98 + 3×97 + + 49×5

4、1【難度級別】【解題思路】此題沒有難度，就是平方差公式的應用，列在這里是想說一下如何找中間數。2個數的中間數2個數的和除以2，或者小的數 + 2個數的間隔的一半（大的數 - 2個數的間隔的一半）。例如11和19的中間數是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中間數是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。計算題中平方差的應用主要是找準中間數。另外，項數要數對了，例如第2道計算題是49項，而不是50項。(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152

5、-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+(502-12)=502×49-(492+482+472+12)=2500×49-49×50×99÷6=82075【答案】870，82075。3、【學案4】計算：2×4 + 4×6 + 6×8 + + 28×30【難度級別】【解題思路】此題不難，主要是考一下孩子要先提取公因式，再繼續往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6。每個乘積的2個數分別提取個2，2×

6、24，相等于提取4。2×4 + 4×6 + 6×8 + + 28×304×（1×2 + 2×3 + 3×4 + + 14×15）括號內的，例題講過，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n這樣構成了2個數列，一個平方和，一個等差數列（連續自然數）。4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + + 142+14）4×（12+22+32+142+）+（1+2+3+14）4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）44

7、80【答案】4480。4、【學案1】我們把相差為2的兩個奇數稱為連續奇數，自然數1111155555是否是兩個連續奇數的乘積？【難度級別】【解題思路】這道題，直接證明不太容易，嘗試拆分是可做的。當然本題考孩子的是找規律。先說一下不找規律，看看用嘗試法如何做，以下分拆過程是大家容易想到的。11111555551111100000 + 5555511111×100000+11111×511111×（100000+5）11111×100005（因100005比11111大，想辦法變?。?1111×20001×5（先考慮是5的倍數）11111

8、×6667×5×3（再看到20001是3個倍數）33333×33335從11111×6667×5×3這個式子可以看出來，11111×3得到3萬多，6667×5也得到3萬多，這樣兩兩組合應該可以得到比較接近的兩個數（當然也是嘗試法）。找規律，方法如下：1個1，1個5，153×52個1，2個5，115533×353個1，3個5，111555333×335n個1，n個5，1115555333×3335(都是n位數)所以，5個1，5個5，111115555533333

9、15;33335【答案】可以，111115555533333×33335。5、【學案2】47個互不相同的非零自然數之和為2000，問最少有多少個偶數？【難度級別】【解題思路】此題，孩子可能無從下手。先將最少多少個偶數，轉換為最多多少個奇數。要想奇數最多，肯定越小越好，所以從1、3、5開始考慮，從1、3、5一直加到多少會接近2000呢？假設有n個奇數，第n個奇數是2n-1。1+3+5+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44時，n2=1936；n=45時，n2=2025所以n最大為44，47443，偶數最多3個。給出一例：2000=1+3+5+85+87+(2+4+58)，

10、保證3個偶數和為64即可（2000-1936=64）?！敬鸢浮孔钌儆?個偶數。×9_【難度級別】【解題思路】這道題，將9變成(10-1)也不是太復雜，當然本題考孩子的是找規律。12=1112=1211112=1232111112=1234321數如果是n個1(1<=n<=9)，平方就是1n1。所×91111111112×9111111111×999999999111111111×(10000000001)【答案】。7、【作業3】非零自然數的平方按照從小到大的順序連續排列，是：149162536，則從左向右的第16個數字是_。【難度級

11、別】【解題思路】這道題，難度也就一星，但是如果問第160個數字數多少，難度就有3星了。因為第16個數字再寫幾個就出來了，但是如果第160個就寫不出來只能計算了。計算過程如下：平方數是1位的，有1、2、3，共3個。平方數是2位的，有4、5、9，共6個。平方數是3位的，有10、11、12、31，共22個。平方數是4位的，有32、33、34、99，共68個。因為，31的平方961（3位最大的）32的平方1024（4位最小的）99的平方9801（4位最大的）100的平方10000（5位最小的）1×3+2×6151×3+2×6+3×22811×

12、3+2×6+3×22+4×68272從這個結果知道，16-15=1，第16個數字是“平方數是3位”的第1個數字，即：10的平方（100）中1。1608179，第160個數字是“平方數是4位”的第79個數字，79÷4193，即：第20個“平方數是4位”的左數第3個，32+20-1=51，51的平方2601，左數第3個是0。所以地160個數字是0?！敬鸢浮?。8、【作業4】對于每個不小于1的整數n，令an表示1+2+3+n的個位數字。例如a11，a23，a40，a55，則a1+a2+a3+a2007_?！倦y度級別】【解題思路】題目不難，但孩子不一定能做出來。

13、這種題目一看，肯定是周期問題，一定會循環的，此題的關鍵是，看能否堅持下去，因為到20才出現周期。n1234567891011121314151617181920an13605186556815063100題目求的是2007個數字的和。2007÷201007周期內的20個數字的和70，周期內前7個數字的和24要求的結果100×70+247024【答案】7024。第二講 巧求面積求面積時需要頭腦靈活，但是有些題目方法確實不好想，需要摸索、體會和領悟。21、【例7】有一大一小兩塊正方形試驗田，他們的周長相差40米，面積相差220平方米，那么小正方形試驗田的面積是多少平方米？【難度

14、級別】101010102134【解題思路】此題，10×10100平方米，這個不一定容易看到。周長相差40米，邊長相差10米。如圖，(3)為小試驗田，則(1)的面積是100平方米，這是關鍵點。40÷410，10×10100，220100120，120÷260，60÷106，6×636【答案】36平方米。22、【作業8】在圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。【難度級別】【解題思路】此題問題的關鍵是如何使用條件“

15、陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米”，如果考慮到填補的方法，問題就變得簡單了。都補上梯形EGCB后，陰影就變成了“平行四邊形ABCD”，三角形EFG就變成了“三角形EBC”。根據差不變性質，這2部分的面積差還是10平方厘米，而三角形EBC是個直角三角形面積可求（二個直角邊已知）。10×8÷240，40+1050?！敬鸢浮?0平方厘米。ECFADB23、【作業1】如圖所示，從一個直角三角形中剪去一個面積為15cm2的長方形后剩余部分是兩個直角三角形。已知AD長為3cm，求CE長是多少？【難度級別】GADECFB123456F【解題思路】看到此題，作為家長的我，

16、是真的沒做出來，關鍵是這種巧妙的方法不是很好想的。如圖做輔助線，構成一個大長方形ABCG。由對稱知道，三角形AGC和三角形ABC面積相等，又3和1面積相等，4和2面積相等，所以6和5面積相等，為15cm2。因為6的面積15cm2，寬AD3cm，所以，長15/35cm，CE5cm?！敬鸢浮?cm。AEFBGDCO24、【例8】如圖，ABCD是7×4的長方形，DEFG是10×2的長方形，求BCO與EFO的面積差?！倦y度級別】【解題思路】此題的難點在于不好理解求的“BCO與EFO的面積差”，為什么要求2個的面積差？不好下手。如果使用高中知識，可知BCO與EFO是相似，BC=2EF

17、，可得CO=2EO，所以CO=2，EO=1（因為CE=3），結果是：2×4/2-1×2/2 = 3。HAEFBGDCO小學知識，就得從要求的“BCO與EFO的面積差”考慮，這2個都不好求，添一個什么圖形能好求呢？！延長BC，BCO與EFO都添加一個梯形CHFO，就變成了求BHF與長方形EFHC的面積差了。3×6/2-3×23?！敬鸢浮棵娣e差是3。25、【學案3】圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心。如果每個圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？【難度級別】【解題思路】此題不好考慮如何做輔助線，如何把花瓣拼湊

18、成規整圖形。如圖虛線，在一個圓內作一個正方形，此正方形與中間的正方形大小是相等的。在虛線的正方形內空白的2個花瓣，正好可以用“圓和虛線正方形之間2個陰影”補上，湊成一個正好的正方形。所以陰影部分的面積就是4個小正方形的面積。本題的第二個難點就是，如何求一個小正方形的面積。小正方形的對角線正好是直徑2厘米。使用“正方形面積對角線平方÷2”來求。（22÷2）×48平方厘米。【答案】8平方厘米。AEFCBGDO26、【學案4】如圖， E、F、G都是正方形ABCD三條邊的中點，OEG比ODF大10平方厘米，那么梯形OGCF的面積是多少平方厘米？【難度級別】AEFCBGDO

19、HIJ【解題思路】此題較難，成人也不太容易做出來，第一：題目給的“OEG比ODF大10平方厘米”不知道如何使用，第二：不知道該怎么做輔助線。如圖從G點向上作一條垂線，從O點向下作一條垂線。需要證明O是HF的中點。對長方形IGCD，DG是對角線經過長方形的中心，HF是長方形的對稱軸也經過長方形的中心，所以O是長方形IGCD的中心點，所以O是HF的中點，所以OGH和ODF形狀大小完全相同面積相等。這樣，題目給的條件“OEG比ODF大10平方厘米”就用上了，HEG的面積就是10平方厘米。再根據E、F、G都是邊上的中點，知道HEG的面積是正方形ABCD面積的1/8，正方形ABCD面積是80。四邊形HG

20、CF面積是1/4，80/4=20平方厘米，OHG的面積是1/16，80/16=5平方厘米，梯形OGCF的面積是：20515平方厘米。也可以不求出正方形ABCD面積80，HEG的面積1/8等于10平方厘米，OHG的面積1/16就是1/8的一半5平方厘米，四邊形HGCF面積1/4就是1/8的2倍20平方厘米，20515就是梯形OGCF的面積?！敬鸢浮?5平方厘米。第三講 火車過橋問題火車過橋問題，情況比較多，老師逐一進行了講解，如頭頭、頭尾等，還分相遇或者追及，個人認為記住這些比較困難，最好記住分析的方法和原理就行了，遇到具體問題再去分析是“慢車長”還是“快車長”、是“車長+車長”還是“車長-車長

21、”。方法就是，車頭插紅旗或者車尾插紅旗，看看題目中的兩者（或者多者）具體走的距離。解題主要考慮3個量：距離、速度、時間，距離一般使用距離和或者距離差，速度一般使用速度和或者速度差。31、【例8】有一條東西向的鐵路橋，一只小狗在鐵路橋中心以西5米的地方。一列火車以每小時60千米的速度從西邊駛過來，火車頭距離鐵路橋的西橋頭還有2個橋長的距離。如果小狗迎著火車跑過去，它恰好能在火車頭據西橋頭還有1米的時候逃離鐵路橋；如果小狗以同樣的速度向東跑的話，小狗會在據東橋頭還有0.25米的地方被火車追上。鐵路橋長多少米？小狗的速度為每小時多少千米？【難度級別】【解題思路】此題題目較長，需要畫圖和列表來幫助解題

22、，要讓孩子有耐心去讀題、分析題。510.25小狗和火車相同時間走的距離：小狗火車小狗向西半橋-52橋-1小狗向東半橋+5-0.253橋-0.25(+)1橋-0.255橋-1.25從表格看出，5橋-1.25=5×(1橋-0.25)，說明在相同時間內火車走的距離恰好是小狗的5倍，火車的速度是小狗的5倍，小狗速度60÷512千米/小時。由5倍關系，2橋-15×(半橋-5)，求得：橋=48米。其實，從可以列成二元方程來：(2S-1)/60 = (S/2-5)/V(3S-0.25)/60 = (S/2+4.75)/V這個二元方程是分數方程，最后變成S的一元二次方程，有2個解

23、。一個解：V12，S48是正解，另外一個解S=0.25(V585)不符合題意。但是這個方程，對于小學孩子是無法解的。這僅僅是想說明，此題如果不是整數倍，也是有解的，當然給孩子出題不會這么難的?！敬鸢浮胯F路橋長48米,小狗的速度為每小時12千米。32、【例7】現有兩列火車同時同方向齊頭行進，行12秒后快車超過慢車?？燔嚸棵胄?8米，慢車每秒行10米。如果這兩列火車車尾相齊同時同方向行進，則9秒后快車超過慢車，求當快車車頭追上慢車車尾到快車車尾離開慢車車頭的時間?！倦y度級別】【解題思路】此題不難，列在這里，想說兩件事情，一是如何分析問題如何考慮使用哪個車長，二是此題有簡便算法。其實火車過橋問題，主

24、要是考慮車長、橋長。此題第一種情況，同向，頭頭齊。同向，是追及問題，用到的是距離差、速度差，當然，相遇類問題就用到距離和、速度和。頭頭齊，同向行進，可以讓孩子在車頭插紅旗，用示意圖畫一下開始兩車頭齊，之后快車尾和慢車頭齊，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了一個“快車車長”。此題第二種情況，同向，尾尾齊。尾尾齊同向行進，可以讓孩子在車尾插紅旗，用示意圖畫一下開始兩車尾齊，之后快車尾和慢車頭齊，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了一個“慢車車長”。此題第三種情況，同向，快車頭慢車尾齊，之后是快車尾慢車頭齊?？梢宰尯⒆釉诳燔囶^、慢車尾

25、插紅旗，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了“慢車車長+快車車長”。這種方法，孩子就不需要記各種各樣的情況下是哪個車長，學會畫圖即可。解題就簡單了，第一種情況，求出快車車長：12×(18-10)=96米，第二種情況，求出慢車車長：9×(18-10)=72米，第三種情況，兩車行進的距離差是“慢車車長+快車車長”，距離差/速度差，就是要求的時間，(96+72)/(18-10)=21秒。列出此題的第二個目的是，此題有簡便算法，想一下，多走一個快車的時間是12秒，多走一個慢車的時間是9秒，第三種情況就是多走2個車，所以時間是：12+9=21秒?！敬鸢?/p>

26、】21秒。33、【例4】李云靠窗坐在一列時速60千米的火車里，看到一輛有30節車廂的貨車迎面駛來，當貨車車頭經過窗口時，他開始計時，直到最后一節車廂駛過窗口時，所計的時間是18秒。已知貨車車廂長15.8米，車廂間距1.2米，貨車車頭長10米。問貨車行駛的速度是多少？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析。車廂長、車頭長、車廂間距，這些僅僅是為了求貨車的車長。此題可以等同于火車過人問題，只是人不是靜止的是有速度的（火車的速度），所以此題火車沒有用處可以忽略。因是迎面，是相遇問題，使用的是距離和、速度和。此題涉及單位換算，題做完后知道，換成米/秒是小數，換成千米/小時是整數。明白以上四點，解題

27、就簡單了。貨車車長15.8×30+10+1.2×30520米。車頭和車廂之間是有間距的，所以1.2不要算29個要算30個。距離和520米，速度和520米/18秒=(520/1000)/(18/3600)千米/小時104千米/小時。貨車速度104-60=44千米/小時。【答案】44千米/小時。34、【例3】鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時。這時，有一列火車從他們身后開過來，火車通過行人用了22秒，通過騎車人用了26秒。這列火車的車身總長是多少？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析。火車過人問題

28、，追及，使用距離差、速度差。很明顯，距離差火車車長。3.6千米/時1米/秒，10.8千米/時3米/秒。22×(V-1) = 26×(V-3)V=14米/秒22×(V-1)=286米【答案】286米。35、【學案4】在雙軌鐵道上，速度為54千米/小時的貨車10時到達鐵橋，10時1分24秒完全通過鐵橋，后來一列速度為72千米/小時的列車，10時12分到達鐵橋，10時12分53秒完全通過鐵橋，10時48分56秒列車完全超過在前面行駛的貨車。求貨車、列車和鐵橋的長度各是多少米？【難度級別】【解題思路】火車過橋和追及問題，需要把時間弄清楚。貨車速度：54千米/小時15米/秒

29、列車速度：72千米/小時20米/秒貨車過橋時間84秒，S貨+S橋84×151260米列車過橋時間53秒，S列+S橋53×201060米貨車離開橋到列車超過用了47分32秒2852秒，走的路程：2852×1542780米列車離開橋到超過貨車用了36分3秒2163秒，走的路程：2163×2043260米分析：從車尾離開橋到列車追上貨車，“橋到追上地點的距離”是本題孩子不容易搞明白的地方。貨車車尾離開橋、列車車尾離開橋不是在同一時間，課堂上講的頭頭、尾尾、頭尾等等情況都是在同一時刻。事實上給孩子講清楚：貨車走的慢先走的、列車走的快后走的，但是最后追上了；不管是

30、列車走還是貨車走，也不管是先走還是后走，“橋到追上地點的距離”是不變的；在車尾插紅旗，列車走的路程是“橋到追上地點的距離”，貨車走的路程比“橋到追上地點的距離”少了一個“貨車車長”，所以：貨車路程+貨車車長列車路程。42780+S貨43260，得到：S貨480米由前面的S貨+S橋1260米，得到：S橋1260-480=780米由前面的S列+S橋1060米，得到：S列1060-780=280米【答案】貨車長480米，列車長280米，橋長780米。36、【學案3】一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長是385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見

31、快車駛過的時間是多少秒？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析。相向，相遇問題，使用距離和、速度和。坐在快車上，距離和=慢車長=385，速度和=385/11=35米/秒。坐在慢車上，距離和=快車長=280，速度和不變，時間=280/35=8秒?！敬鸢浮?80÷(385÷11)=8秒。37、【學案2】鐵路與公路平行。公路上有一行人，速度是3.6千米/小時，公路上還有一輛汽車，速度是16米/秒，汽車追上并超過這個行人用了2.4秒。鐵路上有一列火車與汽車同向行駛，火車追上并超過行人用了6秒，火車從車頭追上汽車車尾到完全超過這輛汽車用了48秒。求火車的長度與速度。【難度級別】【

32、解題思路】僅從字面“追上并超過”理解，感覺象“人與汽車同向”，但是個人認為題目沒有說人和汽車的方向，需要考慮人的方向有2種可能。(1). 人與汽車同向追及問題，使用距離差、速度差。3.6千米/小時1米/秒。汽車追人得到，汽車長2.4×(16-1)=36米火車追人得到，火車長6×(V-1)火車追汽車得到，火車長+汽車長48×(V-16)48×(V-16)6×(V-1)+36V19米/秒火車長6×(V-1)6×(19-1)108米(2). 人與汽車相向人與汽車、人與火車相遇，火車與汽車追及。48×(V-16)6

33、5;(V+1)+2.4×(16+1)V19.4米/秒火車長6×(V+1)6×20.4122.4米【答案】長108米，速度19米/秒，或：長122.4米，速度19.4米/秒。第四講 加乘原理綜合應用此講沒有新內容，是對以前學過的加乘原理的應用，但是有些題目確實挺有難度的。41、【作業4】一次考試的選擇題有A、B、C、D四個選項，允許選一項或者多選（可以全選，但不能都不選），問這個選擇題有多少種不同的答案？【難度級別】【解題思路】此題不難，列在這里是想說另一種方法。大家常用的方法是：選1個4種，選2個6種，選3個4中，選4個1種，共4+6+4+115種。另一種方法就是

34、：每個選項選或不選有2種可能，2×2×2×2-115。【答案】15種。42、【作業3】有一個四位數，它與它的逆序四位數的和為9999，例如7812+2187=9999,3636+6363=9999,那么這樣的四位數一共有多少個？【難度級別】【解題思路】此題不算太難，但是孩子可能讀不太懂“它與它的逆序四位數的和”，即便讀懂了也不知道如何考慮。的逆序是，因a+d=9,b+c=9,a和d不能等于0也就不能等于9，所以a可以選擇除0和9以外的8個數字，a選好后，d就確定了，b可以選擇10個數字，b選好后，c就確定了。8×1080。【答案】80個。43、【例7】某

35、件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成。現有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工電工都會。從7人中挑選4人完成此項工作，共有多少種方法？【難度級別】【解題思路】此題難度不大。分兩種情況考慮就可以了：不選“多面手”、選“多面手”。給孩子講清楚，3選23選13種。不選“多面手”，需要2名鉗工，3名鉗工選2名鉗工，3種，需要2名電工，3名電工選2名電工，3種，3×39種。選“多面手”，又分2中情況：“多面手”當鉗工、“多面手”當電工?！岸嗝媸帧碑斻Q工，還需要1名鉗工，3名鉗工選1名鉗工，3種，需要2名電工，3名電工選2名電工，3種，3×39種。“多面手”當電工，需要2名鉗工，3名鉗工選

36、2名鉗工，3種，還需要1名電工，3名電工選1名電工，3種，3×39種。9+9+927種?！敬鸢浮?7種。44、【例8】用四種顏色對下圖的五個字染色，要求相鄰的區域的字染不學奧而數思同的顏色，但不是每種顏色都必須要用。問：共有多少種不同的染色方法？【難度級別】【解題思路】這道題不太難，就是在然最后2個的時候要分情況。這道題好象是某個杯賽的1道題目，原題是對5個國家染色。假設染色順序為：學奧而思數。前3個：學奧而，4×3×2，“思”有2種情況：與“學”相同、與“學”不同?！八肌迸c“學”相同：“數”有2種，“思”與“學”不同：“數”只有1種，所以：2+13，4×

37、;3×2×（2+1）72種?！敬鸢浮?2種。45、【例2】如圖，講1、2、3、4、5分別填入圖中1×5的格子中，要求填在黑格里的數比它旁邊的兩個數都大。共有 種不同的填法?！倦y度級別】【解題思路】此題先要考慮黑格能填多少，可能容易想到4和5，但是3和5也是可以填的，這一點未必想到。黑格填4和5（2×1），白格填1、2、3，因1、2、3比4、5都小，所以1、2、3在白格可以任意填（3×2×1），2×1×3×2×112種。黑格填3和5（2×1），白格填1、2、4，因4只能填在黑格5的最外側

38、，所以4沒有選擇（1），1、2在白格可以任意填（2×1），2×1×1×2×14種。12 + 416種【答案】16種。46、【學案2】從1到500的所有自然數中不含數字4的自然數有多少個？【難度級別】【解題思路】此題容易算錯，而且容易把百位是4的忽略。此題孩子可能考慮先算含4的，實際上含4的也很多，和直接算不含4的方法一樣。不含4的1位數：有8個，1、2、3、5、6、7、8、9。不含4的2位數：有8×972個。不含4的3位數：百位可以選擇：1、2、3，十位9種，個位有9種，3×9×9243個，外加1個500。8+72

39、+243+1324個。【答案】324個ABCDEFG47、【學案4】給圖中7個圓圈染色，有5種不同的顏色可選，要求線段相連的兩個圓圈不能同色，那么共有 種不同的染色方法。（不考慮圖形翻轉）【難度級別】ABEFCDG【解題思路】將圖形進行如下轉換，轉換后的圖形就和例8差不多了，而且比例8還簡單，不用分情況。圖形轉換是難點。假設染色順序為：A-E-F-B-C-D-G，5×4×3×3×3×3×34860?！敬鸢浮?860種。48、【例1】紅、黃、藍、白四種顏色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出三面按順序排成一行，表示一種信號，問：共

40、可以表示多少種不同的信號？如果白旗不能打頭又有多少種？【難度級別】【解題思路】此題對孩子難度不小，首先要分情況，取三面小旗有如下3種情況：只取一種顏色、取兩種顏色、取三種顏色，其次再每種情況去計算。分情況的思路孩子未必能夠想到。(1)取一種顏色，只能取藍或白，有2種，其他兩種不足三面不能取。(2)取兩種顏色，有3種排列可能：、4×1×3+4×3×1+4×3×112+12+1236取兩種顏色，老師給出了另一種求法：4取2（無順序）有6種，2色3面旗有2種可能：2A1B或者1A2B，而3面小旗選好以后有三種排列方式：、，所以：6×

41、;2×336。(3)取三種顏色，4×3×224。所以，2+36+2462白旗不能打頭的，按照反向考慮，先求出白旗打頭的： 白 、 ？ 、 ？ ，1×4×416。621646就是白旗不能打頭的?！敬鸢浮抗部梢员硎?2種不同的信號，白旗不能打頭有46種。49、【例4】用0、1、2、3、7、8六個數字可以組成 個能被9整除的沒有重復數字的四位數?！倦y度級別】【解題思路】此題的難點在于：能被9整除。能被9整除有個性質就是：數字之和是9的倍數。從六個數字中選擇4個數字，而這4個數字的數字和是9的倍數。0+1+2+3+7+821，所以4個數字的數字和可能是

42、9也可能是18。因不能重復，0、1、2、3之和為6，不夠9，所以必須有7或者8，但是有7或者8后0、1、2、3選擇3個和7或者構成和為9是不可能的（7缺2，0、1、2、3選3個數字和為2不可能，8缺1，0、1、2、3選3個數字和為1不可能），所以4個數字的數字和是9不可能，只能是18。4個數字的數字和是18，7和8必須都選，因為選1個剩下的0、1、2、3四個數字之和才6，8+614，得不到和18。7和8都選，7+815，還缺3，2個數字的數字和是3，可能是1+2，也可能是0+3，所以所選的四個數字是1、2、7、8或者0、3、7、8。當然，如果孩子不會使用上面的方法分析，也可以從6個數字選4個相

43、加，用枚舉法來嘗試，看看哪些是9的倍數，枚舉的結果也只有這2種組合。對1、2、7、8，有4×3×2×124種。對0、3、7、8，有3×3×2×118種。24+1842種?！敬鸢浮?2種。4A、【例6】有三個骰子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點，將三個骰子放在桌面上，向上的一面點數之和為奇數的有多少種情形?！倦y度級別】【解題思路】此題的難點之一是如何分析“點數之和為奇數”，另外老師說此題有二義性，老師說骰子相同和不同結果不一樣，我個人認為題目沒有二義性，因為：題目問“有多少種情形”沒有問“有多少個不同的奇數”。先分析3

44、個數之后為奇數。3個數組合最多有4種可能：(奇、奇、奇)，(奇、奇、偶)，(奇、偶、偶)，(偶、偶、偶)。而這4種里，只有(奇、奇、奇)和(奇、偶、偶)3數相加得奇數。此分析是此題的關鍵。對(奇、奇、奇)，奇有1、3、5三種可能，所以3×3×327種，其實這27種里面數有重復的，例如1+3+3和3+1+3和3+3+1，既然認可了這屬于3種情形，也就認可了3個骰子是有順序的（或者說是不同的），所以老師說的二義性就不存在了。對(奇、偶、偶)，奇有1、3、5三種可能，偶有2、4、6三種可能，所以3×3×327種，這是指：第1個骰子取奇數、第2個骰子取偶數、第3

45、個骰子取偶數。當然，第1個骰子取偶數、第2個骰子取奇數、第3個骰子取偶數，即：（偶、奇、偶）也是不同的情形。（偶、偶、奇）也是不同的情形。因此有3個27，27×3。27+27×3108種。大家有不同意見，我們可以進行探討。老師認為，骰子不同是108種，骰子相同是54種(27+27)，這樣2個答案。個人考慮，如果認為(奇、偶、偶)27種就是一種情形（此觀點意味著1+2+4、2+1+4、2+4+1是一樣的），那么就需要思考(奇、奇、奇)中的1+3+3、3+1+3、3+3+1是不是也只能算一種情形了？這種觀點下，(奇、奇、奇)就不是27種，就只有10種了（111、113、115、

46、133、135、155、333、335、355、555），答案就應該是10+2737。其實37也不對，因為(奇、偶、偶)也沒有27種那么多，因為1+2+4、1+4+2在27種中算2種，如果算1種，就只有3×（22、24、26、44、46、66）3×618種了，10+1828種，正確答案就是28種了。所以，我對老師說的如果骰子相同答案是：(奇、奇、奇)27種+(奇、偶、偶)27種54種，持保留意見，我認為是28種。根據我的這個分析，我個人認為，題目考察的還是108這個答案。老師下次課明確了，此題答案是108種，并給出了簡便方法。第1個骰子有6種可能，第2個骰子也有6種可能。第

47、1個骰子+第2個骰子之和，如果是奇數，要想總和為奇數，第3個骰子只能選偶數，有(2/4/6)3種可選，如果是偶數，要想總和為奇數，第3個骰子只能選奇數，有(1/3/5)3種可選。也就是說，不管什么情況，第3個骰子都是有3種可選，所以6×6×3108種。【答案】108種。4B、【學案3】求滿足下列兩條件的所有八位數的個數：(1)每個數位的數字為1至9中某一個；(2)任意連續三個數位組成的三位數都能被3整除?！倦y度級別】【解題思路】將1至9分成3組：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。由題目的第2個條件可以知道，第1位與第4位第7位相差0/3/6，第2位與第5位第8

48、位也相差0/3/6，第3位與第6位也相差0/3/6；也就是說第1、4、7位在一起考慮，第2、5、8位在一起考慮，第3、6位在一起考慮，一起考慮的只能使用上面分組中的同一組數字。如果第1位取1，則第4位第7位只能取(1、4、7)中1個，如果第1位取2，則第4位第7位只能取(2、5、8)中1個，如果第1位取3，則第4位第7位只能取(3、6、9)中1個，其他類推。第1位：9種，第4位：3種，第7位：3種。第2位：9種，第5位：3種，第8位：3種。對于第2位的9種情況，分3種可能：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。假設第1位n=5。 第2位取(1、4、7)之一，n+16，由3位相加是3的

49、倍數，不缺，知道第3位只能取(3、6、9)之一，第6位與第3位同組，3×3。 第2位取(2、5、8)之一，n+27，由3位相加是3的倍數，缺2，知道第3位只能取(2、5、8)之一，第6位與第3位同組，3×3。 第2位取(3、6、9)之一，n+38，由3位相加是3的倍數，缺1，知道第3位只能取(1、4、7)之一，第6位與第3位同組，3×3。也就是說，不管第2位取任何數，因相加是3的倍數的原因被限制了，第3位都只能取三組分組中的一組，有3個數字可選，3種情況，第6位也就跟著3種。按位序(147)(258)(36)，有：(9×3×3)×(9

50、×3×3)×(3×3)59049種。此解法做復雜了，老師給出了答案： 如果一個三位數的前2位確定了，則前2位之和÷3的余數有3種可能：0、1、2，如和是0則第3位只能從（3、6、9）中選，如和是1則第3位只能從（2、5、8）中選，如和是2則第3位只能從（1、4、7）中選，第3位都是只有3個數字可選。八位數，從左邊地1位開始，9×9×3，（2、3、4）也是一個三位數，第2位、第3位確定了，所以第4位也是3，后面類推，都是3。9×9×3×3×3×3×3×331

51、095。同時論壇上的好心人(lyc0101)也給出了此解法： 八位數的第一位（最高位）可填1至9中的任意一個（9種）；第二位同樣也可填1至9中的任意一個（9種）；第三位因為要滿足“連續三個數位組成的三位數都能被3整除”，而前兩個數位的和除以3的余數只有三種情況：0,1,2，無論哪種情況，第三位都可以找到相應的數使三個數位上的和能被3整除！而對應每種余數都有3個數可選，所以此位的選法為3種；從第四位到第八位的選法理由都與第三位相同，所以總的個數有：9*9*3*3*3*3*3*3=59049?！敬鸢浮?9049個。第五講 抽屜原理本以為此講沒有難題，沒有想到的是居然題很難，而且有些題真是難到我們這

52、些普通家長無法做出來的成都，估計也只有數學專業的人們才能做得出來。51、【例6】一個布袋里有大小相同顏色不同的一些球，其中紅色的有10個，白色的有9個，黃色的有8個，藍色的有3個，綠色的有1個。那么一次最少取出多少個球，才能保證有4個顏色相同的球?！倦y度級別】【解題思路】最不利是各顏色都取到3個，但綠色只有1個取不到3個，1+3×413個，多取1個必是紅、白或黃之一，可以保證取到4個顏色相同的球，13+114。如果此題再問：一次最少取出多少個球，才能保證有4個顏色不同的球？考慮顏色不同，最不利取10個紅、9個白、8個黃，10+9+827，27+128必有4個顏色不同的?！敬鸢浮?4個

53、。52、【學案4】 將1只白手套、2只黑手套、3只紅手套、8只黃手套和9只綠手套放入一個布袋里，請問：(1)一次至少要摸出多少只手套才能保證一定有顏色相同的兩雙手套？(2)一次至少要摸出多少只手套才能保證一定有顏色不同的兩雙手套？（兩只手套顏色相同即為一雙）【難度級別】【解題思路】最不利是各顏色都取到3只，但白、黑都不足3只，1+2+3×312個，多取1只必能得到第4只顏色相同的，12+113。先考慮顏色相同，最不利取9只綠（已有一雙綠的了），再考慮不同顏色時數量不足，最不利都取1只，9+1×413，再多取1只就可以配出和綠色不同的另一雙手套了，13+114?！敬鸢浮?1)

54、13只，(2)14只。53、【例5】在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？【難度級別】【解題思路】除以3的余數有0、1、2三種情況，根據抽屜原理，有4個數時必有2個數除以3余數相同。對3余數相同的2個數做差能整除3，所以答案是4?！敬鸢浮渴?，四個自然數中必有兩個數的差能被3整除。54、【作業7】在100張卡片上不重復地編寫上1至100，請問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數相乘后之乘積可被4整除？【難度級別】【解題思路】此題知道答案感覺不難，但是不知道答案時，也不好想。被4整除，有2個偶數相乘才能保證，其他都不能保證。當抽出50個奇數的時候，乘積還是奇數，

55、最多再抽出2張偶數，乘積即可被4整除，也就是抽出52個數可以保證乘積能被4整除?！敬鸢浮?2張。55、【學案3】任意寫一個由數字1、2、3組成的三十位數，從這個三十位數中任意截取相鄰三位，可得一個三位數，請證明：在從各個不同位置上截得的所有三位數中，一定有兩個相等?！倦y度級別】【解題思路】此題是構造抽屜原理中蘋果和抽屜。從三十位數中截取相鄰的三位共可得到30228個三位數，這是蘋果。由1、2、3共可組成3×3×327個不同的三位數，這是抽屜。28個蘋果放到27個抽屜里，必有一個抽屜里有2個蘋果或2個以上的蘋果，所以截得的三位數一定有兩個相等?！敬鸢浮孔C明見“解題思路”。56

56、、【例7】31個同學圍成一個圓圈，坐好后發現任何兩個男生之間至少有兩個女生，那么男生最多有多少人？【難度級別】【解題思路】感覺此題和抽屜原理沒什么關系。要想男生多，需女生盡量少，讓兩男生中間有2個女生，1+23人1組，31÷3101，可以有10組，余下的1人不能是男生，因為沒有2個女生可以在中間做間隔了，所以余下的這1人只能是女生了，男生10人。老師給出了代數方法，求解不等式方程。假設男生x人，則女生(31-x)人，男生x人有x個間隔（圓圈），1個間隔至少2名女生，所以女生至少2x人，2x31-x，解得x10，x最大為10，即：男生最多有10人?！敬鸢浮磕猩疃嘤?0人。57、【例8

57、】25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁，請說明：至少有一人，他（或她）的兩邊都是女生?！倦y度級別】【解題思路】老師講完了這道題，依然感覺到這道題很難，今天寫此題時已經想不起來了老師是怎么做了，翻出筆記才記起來，說明這題真的不好做。將圓桌旁的50個位置編號：1、2、350，這50個位置分為奇數、偶數2個抽屜，25÷2121，說明至少有1個抽屜（奇數位或者偶數位）有13個或13個以上女生。不妨設13名女生坐在奇數位上，偶數位上同理。25個奇數位，不連續的奇數位最多只有12個（例如：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，49與1是連續的奇數位），13個女生必有2個女生坐在連續的奇數位上。兩個連續的奇數位中間那個偶數位就是題目要證明的。【答案】見“解題思路”。58、【作業8】在一個圓形苗圃的周邊等間距的種了13棵樹將該圓周十三等分，或是松樹或是柏樹。試說明存在同種三棵樹可以作為等腰三角形的三個頂點。【難度級別】【解題思路】讀明白題目很容易，而且13棵樹只有2種，根據抽屜原理，可以得到至少有一種樹是7棵或者7棵以上，接下來再怎么做，真的想不出來。唉！難呀！把學而思論壇上提供的答案抄下來，供大家參考吧。將每一棵樹染色，或染成白色，或染成黑色，由抽屜原理，必有至少7個點同色，設為黑點。則必有至少2個黑點相鄰，設為點1和點2為相鄰黑點