1、 12 隨機事件的概率 一、概率和頻率解釋 二、從頻率的性質看概率的性質 三、概率的公理化定義 四、概率測度的其他性質 提示一、 概率和頻率解釋 大量重復投擲一枚均勻硬幣 出現正面和反面的頻率會接近一個穩定值1/2 可見頻率的穩定值與事件發生的可能性大小存在內在必然的聯系 一方面頻率的穩定性說明事件發生的可能性大小確實是一種客觀存在 另一方面 頻率的穩定值對事件發生的可能性大小提供了經驗解釋 定義11(概率的直觀定義) 隨機事件A發生的可能性大小的度量(數值) 稱為事件A發生的概率 記作P(A) 說明一、 概率和頻率解釋 定義11(概率的直觀定義) 隨機事件A發生的可能性大小的度量(數值) 稱

2、為事件A發生的概率 記作P(A) 一個事件A發生的可能性的大小概率 在經驗上表現為大量重復試驗中事件A發生的頻率的穩定值 因而頻率的穩定值為概率的含義提供了一種經驗上的直觀 但頻率的穩定值本身并不是概率的本質 不能作為概率的定義 說明一、 概率和頻率解釋 定義11(概率的直觀定義) 隨機事件A發生的可能性大小的度量(數值) 稱為事件A發生的概率 記作P(A) 一個事件的概率是由事件本身特征所決定的客觀存在 就好比一根木棒有它的長度一樣 頻率的穩定值是概率的外在的必然表現 當進行大量重復試驗時 頻率會接近穩定值 因而 頻率可用來作為概率的估計 就好比是測定概率的“尺子” 隨著試驗次數的增加 測定

3、的精度會越來越高 )() (11iiiiAPAP 二、從頻率的性質看概率的性質 頻率的性質 記一個事件 A 在 n 次重復試驗中發生的次數為 rn(A) 則其發生的頻率nArAfnn)()(滿足下列性質 (1) fn()1 (2)對任意事件A 有fn(A)0 (3)對任意一組兩兩不相容的事件A1 A2 An 有 說明二、從頻率的性質看概率的性質 頻率的性質 記一個事件 A 在 n 次重復試驗中發生的次數為 rn(A) 則其發生的頻率nArAfnn)()(滿足下列性質 (1) fn()1 (2)對任意事件A 有fn(A)0 (3)對任意一組兩兩不相容的事件A1 A2 An 有 值得指出的是 fn

4、(A)還滿足許多其他性質 比如 比較顯然的性質有 fn()0 fn(A)1 然而這些性質均可由上述三條性質導出 所以上述三條性質是反映頻率特征的核心性質 )() (11iiiiAPAP )()(11iiiiAPAP 提示 同頻率一樣 記事件A發生的概率為P(A) 隨著A取遍任意事件 P(A)則可視為定義在全體事件構成的集合 即事件域F上的一個函數 二、從頻率的性質看概率的性質 概率的性質 根據概率的頻率解釋 概率可視為頻率的穩定值 從而應具有頻率的相應性質 即 (1) P()1 (2) 對任意事件A 有P(A)0 (3) 對任意可數個兩兩不相容的事件A1 A2 An 有 三、 概率的公理化定義

5、 公理化的必要性 任何一個數學概念都是對現實世界的抽象 這種抽象使得其具有廣泛的適應性 并成為進一步數學推理的基礎 前面指出 概率的頻率解釋為概率提供了經驗基礎 但不能作為一個嚴格的數學定義 它沒能抓住“概率”這一概念的抽象本質 如果人們對概率的認識只停留在這一簡單的直觀上 那么人們對概率論的研究便只能停留在對一些膚淺的問題的零散研究上 概率論的研究和應用就會受到很大的局限 )()(11iiiiAPAP 三、 概率的公理化定義 定義12(概率的公理化定義) 設是一個樣本空間 定義在的事件域F上的一個實值函數P()稱為上的一個概率測度 如果它滿足下列三條公理 公理1 P()1 公理2 對任意事件

6、A 有P(A)0 公理3 對任意可數個兩兩不相容的事件A1 A2 An 有 其中 對任意給定的具體事件A 函數值P(A)稱為事件A的概率 此外 一個具有概率測度P()的樣本空間稱為一個概率空間 記作( P) )()(11iniiniAPAP 四、 概率測度的其他性質 性質1 P()0 性質2(有限可加性) A1 A2 An是兩兩不相容的 則有 性質3 P( A)1P(A) 性質4 P(AB)P(A)P(AB) 特別地 若AB 則 (1) P(AB)P(A)P(B) (2) P(A)P(B) 性質5 0P(A)1 說明四、 概率測度的其他性質 性質6 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 推論

7、P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 性質6可以推廣到任意有限個事件的并的情形 這里我們給出了三個事件的情形 更一般的情形讀者可以自行討論 例110 觀察某地區未來5天的天氣情況 記Ai為事件 “有i天不下雨”(i0 1 2 3 4 5) 已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5) 求下列各事件的概率 (1) 5天均下雨 (2) 至少一天不下雨 (3) 至多三天不下雨 顯然A0 A1 A5是兩兩不相容事件 且 A0A1A2A3A4A5 從而 1P()P(A0A1A2A3A4A5) P(A0)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

8、P(A0)P(A0)2P(A0)3P(A0)4P(A0)5P(A0) 16 P(A0) 解 于是可求得 161)(0AP 161)(0AP 16)(iAPi (i1 2 3 4 5) 例110 觀察某地區未來5天的天氣情況 記Ai為事件 “有i天不下雨”(i0 1 2 3 4 5) 已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5) 求下列各事件的概率 (1) 5天均下雨 (2) 至少一天不下雨 (3) 至多三天不下雨 已求得 解 161)(0AP 161)(0AP 16)(iAPi (i1 2 3 4 5) 記(1) (2) (3)中三個事件分別為A B C 則 (1)161)()(0APA

9、P161)()(0APAP161)()(0APAP (2)1615)(1)()(051APAPBPii (3)167)()()()()()(321031APAPAPAPAPCPii1615)(1)()(051APAPBPii1615)(1)()(051APAPBPii1615)(1)()(051APAPBPii 167)()()()()()(321031APAPAPAPAPCPii167)()()()()()(321031APAPAPAPAPCPii167)()()()()()(321031APAPAPAPAPCPii 解 (1) 因為AB ABB 且AB與 AB是不相容的 故有 P(AB)P( AB)P(B)于是 040202 P(AB)P(B)P( AB) 10505 (2) P(A)1P( A) P(AB)P(A)P(AB) 050203 (3) P(AB)P(A)P(B)P(AB) 05040207 例 111 已知 P( A)