1、 小學數學中主要的數學模型小學數學中主要的數學模型 王永春 一、一、 對數學模型的認識對數學模型的認識數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。在義務教育階段，用字母、數字及其他數學符號表達在義務教育階段，用字母、數字及其他數學符號表達的數學的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種的數學的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種圖表、圖形等都是數學模型。圖表、圖形等都是數學模型。數學模型思想是基本的數學思想之一，數學模型的主數學模型思想是基本的數學思想

2、之一，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表、圖形，因而它與要表現形式是數學符號表達式和圖表、圖形，因而它與符號化方法有很多相似之處。符號化方法有很多相似之處。二、數學模型的重要性二、數學模型的重要性數學模型在當今市場經濟和信息化社會已經有比較數學模型在當今市場經濟和信息化社會已經有比較廣泛的應用；因而，模型方法在數學方法中有非常重要廣泛的應用；因而，模型方法在數學方法中有非常重要的地位。如果說符號化方法更注重數學抽象和符號表達，的地位。如果說符號化方法更注重數學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數學的應用，即通過數學結構化解那么模型思想更注重數學的應用，即通過數學結構化解決問題，尤其是

3、現實中的各種問題；當然，把現實情境決問題，尤其是現實中的各種問題；當然，把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象的過程。數學結構化的過程也是一個抽象的過程。2011版課標與原課標相比有了較大變化，在課程內版課標與原課標相比有了較大變化，在課程內容的十大核心概念中是唯一以容的十大核心概念中是唯一以“思想思想”出現的，并具體出現的，并具體解釋為解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號從現實生活或具體情境中抽

4、象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識興趣和應用意識”。 模型思想是數學的基本思想之一。模型思想是數學的基本思想之一。 2011版課標在總目標中指出：版課標在總目標中指出： 經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能。與代數的基礎知識和基本

5、技能。總之，培養學生的模型思想，有利于培養學生發現總之，培養學生的模型思想，有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當學問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當學生理解并掌握了各種基本的數學模型后，面對變化多生理解并掌握了各種基本的數學模型后，面對變化多端的數學問題時，可以利用已有的模型求解，把握數端的數學問題時，可以利用已有的模型求解，把握數學的本質，而不至于被各種雜亂的表面信息所迷惑。學的本質，而不至于被各種雜亂的表面信息所迷惑。三、模型思想的教學三、模型思想的教學.使學生經歷使學生經歷“問題情境問題情境建立模型建立模型求解驗求解驗證證”的數學活動過程。的數學活動過

6、程。體現了體現了標準標準2011中模型思想的基本要求，也中模型思想的基本要求，也有利于學生在過程中理解、掌握有關知識、技能，積有利于學生在過程中理解、掌握有關知識、技能，積累數學活動經驗，感悟模型思想的本質。累數學活動經驗，感悟模型思想的本質。這個過程與問題解決的過程有相似之處。這個過程與問題解決的過程有相似之處。2. 重視對數學模型的解構、表征和變式。重視對數學模型的解構、表征和變式。 “建立數學模型應該是提取加還原的過程建立數學模型應該是提取加還原的過程”1也就是也就是說在讓學生經歷建模的過程后，還要注重模型的多種說在讓學生經歷建模的過程后，還要注重模型的多種表征形式，包括模型的還原、生活

7、化。這樣有利于培表征形式，包括模型的還原、生活化。這樣有利于培養學生建模的能力。如用方程解決問題就是一個建模養學生建模的能力。如用方程解決問題就是一個建模的過程。陳千舉老師的過程。陳千舉老師方程方程一課體現了這一理念。一課體現了這一理念。1吳正憲、張秋爽吳正憲、張秋爽對數學核心概念的思考對數學核心概念的思考，20122012年年課程教材教法課程教材教法增刊。增刊。.數學建模能力的培養是一個長期的過程。數學建模能力的培養是一個長期的過程。低年級學生的基礎知識目標達到的水平、語言理低年級學生的基礎知識目標達到的水平、語言理解水平、思維水平、生活經驗等各方面因素都決定解水平、思維水平、生活經驗等各方

8、面因素都決定了學生的建模能力培養的艱巨性、長期性。了學生的建模能力培養的艱巨性、長期性。 低年級的數學模型主要是應用加、減、乘、除及低年級的數學模型主要是應用加、減、乘、除及混合運算解決簡單的實際問題，重點是讓學生理解混合運算解決簡單的實際問題，重點是讓學生理解和掌握四則運算的概念，這是培養學生模型思想的和掌握四則運算的概念，這是培養學生模型思想的基礎。基礎。傳統上，應用題按類型進行教學，讓學生死記硬傳統上，應用題按類型進行教學，讓學生死記硬背一些關鍵詞和公式。這樣做的結果是沒有抓住問背一些關鍵詞和公式。這樣做的結果是沒有抓住問題的核心，沒有真正培養分析問題、解決問題的能題的核心，沒有真正培養

9、分析問題、解決問題的能力，及抽象思維能力。力，及抽象思維能力。長期以來，我國的基礎數學教育有一個重視訓練技長期以來，我國的基礎數學教育有一個重視訓練技能的傳統，這是對的。但是一定要建立在基礎知識扎能的傳統，這是對的。但是一定要建立在基礎知識扎實的基礎上，這是最重要的。實的基礎上，這是最重要的。磨刀不誤砍柴工，在基礎知識扎實基礎上的技能訓磨刀不誤砍柴工，在基礎知識扎實基礎上的技能訓練能夠事半功倍；否則反之，有些老師進行題海訓練練能夠事半功倍；否則反之，有些老師進行題海訓練但成績不理想，道理就在于此。但成績不理想，道理就在于此。基礎知識包括：概念、法則、性質、定律、公式等。基礎知識包括：概念、法則

10、、性質、定律、公式等。要讓學生達到：要讓學生達到：了解理解掌握運用的水的水平。平。再讓學生經歷、體驗、探索數學模型構建的過程。再讓學生經歷、體驗、探索數學模型構建的過程。 以加法為例，學生對加法的理解有一個逐步抽象概以加法為例，學生對加法的理解有一個逐步抽象概括的過程。括的過程。加法的情境和題型非常豐富，從開始的兩個數相加，加法的情境和題型非常豐富，從開始的兩個數相加，用、的加法解決問題，用、的加法解決問題，10以內的連加，個數相加以內的連加，個數相加打破了加法是打破了加法是熟悉情境的傳熟悉情境的傳統。需要從加統。需要從加法的概念入手，法的概念入手，去理解用加法去理解用加法計算的道理。計算的道

11、理。一下：一下：同數相加同數相加的加法的加法二上：二上：求比一個數多求比一個數多幾的數。幾的數。二上：二上：連續兩問的連續兩問的問題。問題。二上：二上：多個數相加。多個數相加。案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，女生有人，女生有29人。二年人。二年級班一共有多少學生？級班一共有多少學生？案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，女生比男生多人。人，女生比男生多人。二年級班有多少女生？二年級班有多少女生？案例：二年級班男生有案例：二年級班男生有26 人，男生比女生少人。人，男生比女生少人。二年級班有多少女生？二年級班有多少女生？第題傳統上是反敘的應用題，難度較大，低年級第題

12、傳統上是反敘的應用題，難度較大，低年級不再編排。同時說明有部分學生對加法的概念還沒有不再編排。同時說明有部分學生對加法的概念還沒有達到理解和掌握的水平。達到理解和掌握的水平。實際上即使用方程解決此類問題，也需要學生理解實際上即使用方程解決此類問題，也需要學生理解“男生比女生少人男生比女生少人”這句話，才能正確列出方程。這句話，才能正確列出方程。 需要學生理解各種生活語言，不僅僅是看到一共用需要學生理解各種生活語言，不僅僅是看到一共用加法，如前面案例，再轉化為數學語言：加法，如前面案例，再轉化為數學語言：abc最后抽象概括出最后抽象概括出“把若干個數合并成一個數的運算，把若干個數合并成一個數的運

13、算，就是加法就是加法”。 再比如等式的性質，如何做到真正理解和掌握。再比如等式的性質，如何做到真正理解和掌握。 有些老師會問形如有些老師會問形如ax=b, ax=b的方程如何解。的方程如何解。說明對等式的性質還沒有完全理解和掌握，等式的性說明對等式的性質還沒有完全理解和掌握，等式的性質中說的數可以是已知數，也可以是未知數。質中說的數可以是已知數，也可以是未知數。4數學建模可分為以下幾個層次。數學建模可分為以下幾個層次。第一，學生可以經歷構建模型的探索過程。第一，學生可以經歷構建模型的探索過程。現實生活中已有的數學模型基本上是數學家、物理現實生活中已有的數學模型基本上是數學家、物理學家等科學家們

14、把數學應用于各個科學領域經過艱辛學家等科學家們把數學應用于各個科學領域經過艱辛的研究創造出來的，使得我們能夠享受現有的成果。的研究創造出來的，使得我們能夠享受現有的成果。如阿基米德發現了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到如阿基米德發現了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，等于兩個物體質量的反比，即杠桿支點的距離之比，等于兩個物體質量的反比，即1：22：L1。在學習了反比例關系以后，可。在學習了反比例關系以后，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠桿定律。以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠桿定律。 再如各種圖形的周長、面積、體積公式的探索，運再如各種圖形的周長、面積、體積公式的探索，運算

15、定律的探索等等。算定律的探索等等。第二，有些數學模型，由學生進行探索是有難度的。第二，有些數學模型，由學生進行探索是有難度的。如物體運動的路程、時間和速度的關系為如物體運動的路程、時間和速度的關系為s=vt，利用，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，不適合學生進行探問題。但是由于這個模型比較抽象，不適合學生進行探索。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，使學生能索。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，使學生能夠理解模型的意義便可。再如反比例關系等，讓學生進夠理解模型的意義便可。再如反比例關系等，讓學生

16、進行實驗探究也是有難度的，可借助表格的數據讓學生發行實驗探究也是有難度的，可借助表格的數據讓學生發現規律，理解概念。現規律，理解概念。第三，應用已經掌握的模型解決問題。第三，應用已經掌握的模型解決問題。前面兩條說的是新知識的學習，第前面兩條說的是新知識的學習，第3條說的是學生學條說的是學生學習了教材上的各種基本模型以后，利用已有知識解決習了教材上的各種基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復雜的各種問題，能夠舉一反三。如方程、新的更加復雜的各種問題，能夠舉一反三。如方程、正比例、反比例、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽正比例、反比例、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等。屜原理等。 以植樹問題

17、為例，可以封閉圓圈植樹為核心模型，以植樹問題為例，可以封閉圓圈植樹為核心模型，演變出其他模型。演變出其他模型。 點與間隔一一對應，長度點與間隔一一對應，長度間隔間隔=棵數。再根據實棵數。再根據實際情況演變出其他模型。際情況演變出其他模型。一端栽一端不栽：長度一端栽一端不栽：長度間隔間隔=棵數棵數 兩端都栽：長度兩端都栽：長度間隔間隔+1=棵數棵數兩端都不栽：長度兩端都不栽：長度間隔間隔1=棵數棵數四、四、 小學數學中主要的數學模型小學數學中主要的數學模型(一一)數與代數數與代數1. 用數字和圖形表示有規律的數列或圖形。用數字和圖形表示有規律的數列或圖形。一下，找規律一下，找規律 找規律，填數。

18、 1，6，11，16，21， ，。 這列數中小于100的最大數是 ，第n項是 。y5n+1，96。 一個一個地加是算術思維，建模是代數思維。低年級讓學生感受、了解數學模型，在高年級，注意從算在高年級，注意從算術思維到代數思維的過渡，培養代數思維。術思維到代數思維的過渡，培養代數思維。2. 數的運算。數的運算。a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)，ca=b, cba四則運算關系式是小學數學最基本的數學模型，其四則運算關系式是小學數學最基本的數學模型，其他很多模型都是在此基礎上的進一步發展。他很多模型都是在此基礎上的進一步發展。加法交換律：a+b=b+a加法結合律：a+b+c=a

19、+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac運算律的探運算律的探索過程也是建索過程也是建模的過程。模的過程。3. 數量關系式。數量關系式。時間、速度和路程：時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價：數量、單價和總價：a=np工效工效時間工作總量時間工作總量單產單產面積面積=總產總產 耗油量耗油量/千米千米千米數千米數=總耗油量總耗油量消耗量消耗量/天天天數天數=總消耗量總消耗量 合格率合格率=合格產品數合格產品數產品總數產品總數 100%發芽率發芽率=發芽種子數發芽種子數種子總數種子總數 100%出勤率出勤率=實際出勤人數實際出勤人

20、數應出勤人數應出勤人數 100%以上數量關系式的變式也很重要，可以培養學生的以上數量關系式的變式也很重要，可以培養學生的邏輯思維和辯證思維能力。邏輯思維和辯證思維能力。速度一定：路程時間定值速度一定：路程時間定值單價一定：總價數量定值單價一定：總價數量定值工效一定：工作總量時間定值工效一定：工作總量時間定值單產一定：總產面積單產一定：總產面積=定值定值耗油量耗油量/千米一定：總耗油量千米數千米一定：總耗油量千米數=定值定值 下面討論以數學模型為核心的問題解決的教學。下面討論以數學模型為核心的問題解決的教學。傳統上應用題的結構是與四則運算、混合運算相匹傳統上應用題的結構是與四則運算、混合運算相匹

21、配，包括有連續兩問的應用題、相似應用題的比較，配，包括有連續兩問的應用題、相似應用題的比較，現在有問題串，這些都是很好的做法和經驗，是知識現在有問題串，這些都是很好的做法和經驗，是知識結構的基礎。這種結構是線性的。以基本模型和問題結構的基礎。這種結構是線性的。以基本模型和問題為核心，構建問題鏈，可以是網狀結構，從而最大限為核心，構建問題鏈，可以是網狀結構，從而最大限度地整合豐富多彩的問題。度地整合豐富多彩的問題。以以svt為例，模型結構圖如下，為例，模型結構圖如下，a是常數。請老師是常數。請老師自己編題。自己編題。案例案例1：甲地到乙地原來運行的是動車，上午：甲地到乙地原來運行的是動車，上午8

22、時出發時出發中午中午12時到達，運行路程是時到達，運行路程是700千米。現在運行的是千米。現在運行的是高鐵，每小時比動車快高鐵，每小時比動車快105千米，上午千米，上午8時出發，幾時時出發，幾時到達？到達？分析：分析：(1)此題是生活中的實際問題，屬于時間、速度、路程此題是生活中的實際問題，屬于時間、速度、路程的問題，要解決的問題是求高鐵的運行時間的問題，要解決的問題是求高鐵的運行時間, t=sv。(2)S不變，不變，v比原來大，可用比原來大，可用t1=s(v+a)的數學模型。的數學模型。(3)根據題中的信息根據題中的信息, v=700 4=175，a=105。 所以所以v+a=175+105

23、=280。則。則t1=7002802.5。(4)高鐵高鐵8時出發，時出發，10:30 到達。到達。案例案例2：甲乙兩地相距：甲乙兩地相距1200米，王老師以每分米，王老師以每分80米的米的速度從甲地向乙地步行，同時一只狗以每分速度從甲地向乙地步行，同時一只狗以每分120米的速米的速度從甲地向乙地跑去，到達乙地后立即往回跑，與王度從甲地向乙地跑去，到達乙地后立即往回跑，與王老師相遇后，繼續重復以上動作，直到王老師到達乙老師相遇后，繼續重復以上動作，直到王老師到達乙地為止。這只狗一共跑了多少米？地為止。這只狗一共跑了多少米？ 分析：這道題的本質是關于分析：這道題的本質是關于s、v、t之間的數量關系

24、，之間的數量關系，s=vt這一模型。求的是狗的這一模型。求的是狗的s，v已經知道了，需要先已經知道了，需要先求出求出t；表面上看狗跑來跑去不知如何計算路程，實際；表面上看狗跑來跑去不知如何計算路程，實際上狗跑的時間與王老師走的時間是相等的。上狗跑的時間與王老師走的時間是相等的。很顯然，王老師走的時間很容易求出來。很顯然，王老師走的時間很容易求出來。 t12008015(分分)s12015=1800(米米)4. 用字母表示數、代數式、方程、函數。用字母表示數、代數式、方程、函數。ax+b=c正比例關系：正比例關系：y/x=k反比例關系：反比例關系：xy=k ( (1)方程和函數的概念。方程和函數

25、的概念。方程和函數是初等數學代數領域的主要內容，也是方程和函數是初等數學代數領域的主要內容，也是應用數學解決實際問題的重要工具，它們都可以用來應用數學解決實際問題的重要工具，它們都可以用來描述現實世界的各種數量關系，而且它們之間有著密描述現實世界的各種數量關系，而且它們之間有著密切的聯系，因此，將二者放在一起進行討論。切的聯系，因此，將二者放在一起進行討論。方程。方程。含有未知數的等式叫方程。方程按照未知數的個含有未知數的等式叫方程。方程按照未知數的個數和未知數的最高次數，可以分為一元一次方程、一數和未知數的最高次數，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這元二次

26、方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數學代數領域中最基本的內容。方程思想些都是初等數學代數領域中最基本的內容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數字以外的數學符號的核心是將問題中的未知量用數字以外的數學符號（常用（常用、y等字母）表示，根據相關數量之間的等字母）表示，根據相關數量之間的相等關系相等關系構建方程模型。構建方程模型。方程思想體現了已知與未知的對立統一。方程思想體現了已知與未知的對立統一。函數。函數。設集合、是兩個非空的數集，如果按照某種確定設集合、是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系的對應關系，如果對于集合中的任意一個數，如果對于集合中的任意一個數，在集，在集

27、合中都有唯一確定的數合中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱和它對應，那么就稱y是是的函的函數，記作數，記作y()。其中。其中叫做自變量，叫做自變量，的取值范圍叫的取值范圍叫做函數的定義域，做函數的定義域，y叫做函數或因變量，與叫做函數或因變量，與相對應的相對應的y的的值叫做函數值，值叫做函數值，y的取值范圍叫做值域。以上函數的定義的取值范圍叫做值域。以上函數的定義是從初等數學的角度出發的，自變量只有一個，與之對應是從初等數學的角度出發的，自變量只有一個，與之對應的函數值也是唯一的。這樣的函數研究的是兩個變量之間的函數值也是唯一的。這樣的函數研究的是兩個變量之間的對應關系，一個變量的取值發生了

28、變化，另一個變量的的對應關系，一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也相應發生變化，中學里學習的正比例函數、一次函取值也相應發生變化，中學里學習的正比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數等都是這類數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數等都是這類函數。函數。 實際上現實生活中還有很多情況是一個變量會隨實際上現實生活中還有很多情況是一個變量會隨著幾個變量的變化而相應地變化，這樣的函數是多元函著幾個變量的變化而相應地變化，這樣的函數是多元函數。雖然在中小學里不學習多元函數，但實際上它是存數。雖然在中小學里不學習多元函數，但實際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑在的，如圓柱的

29、體積與底面半徑r和圓柱的高的關系：和圓柱的高的關系：rh。半徑和高有一對取值，體積就會相應地有。半徑和高有一對取值，體積就會相應地有一個取值。一個取值。 函數思想的核心是事物的變量之間有一種依存關函數思想的核心是事物的變量之間有一種依存關系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則，從而構建函數模型。的探究找出變量之間的對應法則，從而構建函數模型。函數思想體現了運動變化的觀點。函數思想體現了運動變化的觀點。(2) 方程和函數的關系。方程和函數的關系。從小學數學到中學數學，數與代數領域經歷了從算術從小學數學到中學數學

30、，數與代數領域經歷了從算術到方程再到函數的過程。算術研究具體的確定的常量以及到方程再到函數的過程。算術研究具體的確定的常量以及它們之間的數量關系。方程研究確定的常量和未知的常量它們之間的數量關系。方程研究確定的常量和未知的常量或變量之間的數量關系。函數研究變量之間的數量關系。或變量之間的數量關系。函數研究變量之間的數量關系。方程和函數雖然都是表示數量關系的，但是它們有方程和函數雖然都是表示數量關系的，但是它們有本質的區別。如一元一次方程中的未知數是常量，而本質的區別。如一元一次方程中的未知數是常量，而一次函數中的自變量和因變量一定是變量，因此二者一次函數中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有

31、本質的不同。方程必須有未知數，未知數往往是常有本質的不同。方程必須有未知數，未知數往往是常量，而且一定用等式的形式呈現，二者缺一不可，如量，而且一定用等式的形式呈現，二者缺一不可，如246。而函數至少要有兩個變量，兩個變量依據。而函數至少要有兩個變量，兩個變量依據一定的法則相對應，呈現的形式可以有解析式、圖象一定的法則相對應，呈現的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合為大于等于法和列表法等，如集合為大于等于1 、小于等于、小于等于10的整數，集合為小于等于的整數，集合為小于等于20的正偶數。那么兩個集的正偶數。那么兩個集合的數之間的對應關系可以用合的數之間的對應關系可以用y2表示，也可以

32、用表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。圖象表示，還可以用如下的表格表示。12345678910 y2468101214161820人們運用方程思想，一般關注的是通過設未知數如何找人們運用方程思想，一般關注的是通過設未知數如何找出數量之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解出數量之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解決數學問題和實際問題。人們運用函數思想，一般更加關決數學問題和實際問題。人們運用函數思想，一般更加關注變量之間的對應關系，通過構建函數模型并研究函數的注變量之間的對應關系，通過構建函數模型并研究函數的一些性質來解決數學問題和實際問題。方程中的未知數有一些性質來解

33、決數學問題和實際問題。方程中的未知數有時是靜態的、有時是動態的，而函數中的變量則一定是動時是靜態的、有時是動態的，而函數中的變量則一定是動態的。方程已經有態的。方程已經有3000多年的歷史，而函數概念的產生多年的歷史，而函數概念的產生不過才不過才300年。年。 方程中的未知數有時是動態的，方程中的未知數有時是動態的， 如圓的方程：如圓的方程： x + y = 1, 雖然雖然x、y在區間在區間-1，1內內可以取任意數值，可以取任意數值，x和和y可以理解為變量，但不是函數關可以理解為變量，但不是函數關系，因為每對確定的絕對值相等系，因為每對確定的絕對值相等x的值（的值（0除外），如除外），如+0.

34、6、-0.6，都有兩個都有兩個y的值與之對應，如的值與之對應，如+0.8、-0.8。不滿足函數的自變量與因變量一對一或者多對一的法則。不滿足函數的自變量與因變量一對一或者多對一的法則。 如果把圓的方程變換為半圓的方程：如果把圓的方程變換為半圓的方程： y = 。 就可以看成就可以看成y是是x的函數。的函數。 21x(3) 方程和函數的教學。方程和函數的教學。方程和函數是中小學數學，尤其是中學數學的重要內方程和函數是中小學數學，尤其是中學數學的重要內容之一。方程和函數在研究和構建現實世界的數量關系容之一。方程和函數在研究和構建現實世界的數量關系模型方面，發揮著重要的作用。模型方面，發揮著重要的作

35、用。 小學數學教材中比例的內容，比例的應用，一般用含小學數學教材中比例的內容，比例的應用，一般用含有一個未知數的比例關系式解決問題。偏向于方程思想，有一個未知數的比例關系式解決問題。偏向于方程思想，忽視了函數思想。忽視了函數思想。 某地某時物體的影長與該物體的高度成正比例，小蘭某地某時物體的影長與該物體的高度成正比例，小蘭的身高為的身高為1.5m，影長為，影長為2.4m。 (1)任意物體影長與高度的正比例關系式為任意物體影長與高度的正比例關系式為 。(2)此時此地測得一棵樹的影長為此時此地測得一棵樹的影長為4m，這棵樹高，這棵樹高 m。 案例案例1：媽媽買了：媽媽買了3千克香蕉和千克香蕉和2千

36、克蘋果，一共花了千克蘋果，一共花了21元。蘋果的價格是香蕉的元。蘋果的價格是香蕉的2倍，蘋果和香蕉的單價各是倍，蘋果和香蕉的單價各是多少？多少？分析：題目涉及的是商品的數量、單價和總價的關系，分析：題目涉及的是商品的數量、單價和總價的關系，根據數量關系根據數量關系“單價單價數量總價數量總價”進行分析，題中出現進行分析，題中出現了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關系應了兩種商品，總價也是兩種商品的總價。所以等量關系應為為“香蕉的單價香蕉的單價香蕉的數量蘋果的單價香蕉的數量蘋果的單價蘋果的數量蘋果的數量總價總價”。再根據這個等量關系找出題中已知的量，總價。再根據這個等量關系找出題中已知的

37、量，總價21元、香蕉的數量元、香蕉的數量3千克和蘋果的數量千克和蘋果的數量2千克。未知的是千克。未知的是香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設香蕉的單香蕉和蘋果的單價，也就是題目中要求的量。設香蕉的單價是價是元千克，蘋果的單價是元千克，蘋果的單價是y元千克。元千克。根據題意，可列出如下方程。根據題意，可列出如下方程。32y21，y2。根據等量代換的原理，兩個方。根據等量代換的原理，兩個方程可合并成一個方程，程可合并成一個方程，32 221。這是在小學。這是在小學數學中遇到含有有關系的兩個未知數的方程時能夠直數學中遇到含有有關系的兩個未知數的方程時能夠直接列出一個方程的依據。如和倍、差倍、雞

38、兔同籠等接列出一個方程的依據。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，問題，用方程解決也是利用了這個原理。解方程，3, y6。案例案例2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克：小明家的果園供游人采摘桃，每千克10元。元。請寫出銷售桃的總價請寫出銷售桃的總價(總收入總收入)y元與數量元與數量(千克數千克數) 之間之間的關系式。如果某天的銷量是的關系式。如果某天的銷量是50千克，這天的總收入千克，這天的總收入是多少？如果上個月的總收入是是多少？如果上個月的總收入是12000元，上個月的銷元，上個月的銷量是多少千克？量是多少千克？分析：此題涉及的也是商品的單價、數量和總價的分

39、析：此題涉及的也是商品的單價、數量和總價的關系，仍然要根據數量關系關系，仍然要根據數量關系“單價單價數量總價數量總價”進進行分析。根據題意，已知的量是單價，未知的量是總行分析。根據題意，已知的量是單價，未知的量是總價和數量，題目已經告訴我們分別用價和數量，題目已經告訴我們分別用y和和表示。因為表示。因為桃的單價一定，所以它的總價與數量成正比例，可列桃的單價一定，所以它的總價與數量成正比例，可列關系式：關系式：y10。某天的銷量是。某天的銷量是50千克，總收入是千克，總收入是500元。上個月的總收入是元。上個月的總收入是12000元，銷量是元，銷量是1200千克。千克。 案例案例2與案例與案例1

40、相比較，都有兩個量分別用相比較，都有兩個量分別用y和和表示。表示。案例案例1中的中的y和和雖然是未知的量，但是它們實際上是具雖然是未知的量，但是它們實際上是具體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方程可以體的靜止的常量，都有一個確定的值，通過解方程可以得到它們的值。案例得到它們的值。案例2的兩個量的兩個量y和和則是相關聯的變化則是相關聯的變化的量，的量，的取值可以是一定范圍內的取值可以是一定范圍內 (果園內桃子總質量果園內桃子總質量的最大值以內的最大值以內) 的任何一個數，的任何一個數，y隨隨的變化而變化。只的變化而變化。只有有y和和中的一個量取一個具體的值時，另一個量才會中的一個量取一個具

41、體的值時，另一個量才會相應地取一個具體的值。如案例相應地取一個具體的值。如案例2中的具體問題的解答。中的具體問題的解答。案例案例3:3:無限循環小數無限循環小數0.7770.777和和0.7474740.747474如何化成如何化成分數？你能發現什么規律？分數？你能發現什么規律？分析：根據小數與分數的關系，有限小數化分數比較分析：根據小數與分數的關系，有限小數化分數比較容易進行。由于無限小數的數位是無限的，不能直接容易進行。由于無限小數的數位是無限的，不能直接用有限小數化分數的方法進行。根據循環小數的循環用有限小數化分數的方法進行。根據循環小數的循環節不斷重復出現的特點，循環節有幾位數字，就把

42、這節不斷重復出現的特點，循環節有幾位數字，就把這個循環小數乘個循環小數乘1010的幾次方；它的左起第一個循環節就的幾次方；它的左起第一個循環節就變成了整數部分，而循環小數部分不會改變；二者的變成了整數部分，而循環小數部分不會改變；二者的小數部分相同，二者的差為循環節變成的整數部分。小數部分相同，二者的差為循環節變成的整數部分。因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設設0.777，那么，那么107.777,求它們的差，求它們的差， 107，解方程，解方程，所以所以0.777。同理可得，同理可得，10074，所以，所以0.747474。無限循環

43、小數化分數的規律是，把循環節作為分子，無限循環小數化分數的規律是，把循環節作為分子，循環節有幾位數字，分母就是由幾個循環節有幾位數字，分母就是由幾個9組成的幾位數。組成的幾位數。997499749797案例案例4:2006年廣州市中考題。年廣州市中考題。 目前廣州市小學和初中在校生共有約萬人，目前廣州市小學和初中在校生共有約萬人，其中小學生在校人數比初中生在校人數的倍多其中小學生在校人數比初中生在校人數的倍多萬人。萬人。（）求目前廣州市在校小學生人數和初中生人數。（）求目前廣州市在校小學生人數和初中生人數。（）假設今年小學生每人需交雜費元，初中（）假設今年小學生每人需交雜費元，初中生每人需交雜費元，而這些費用全部由廣州市生每人需交雜費元，而這些費用全部由廣州市政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少？政府撥款解決，則廣州市要為此撥款多少