1、【利用空間向量證明平行、垂直問題】  例. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB于點F。（1）證明：PA/平面EDB；（2）證明：PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點。設(shè)DC=a。（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。底面ABCD是正方形。G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為， 則 而，PA/平面EDB。（2）依題意得B（a，a，0），又，故PBDE 由已知EFPB，且， 所以PB平面EFD。（3）解析：設(shè)點F的坐標(biāo)為，則從而所以由條件EFPB

2、知，即，解得點F的坐標(biāo)為，且即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角。，且 EFD=60°所以，二面角CPBD的大小為60°。點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量    （2）證明線面平行的方法：    證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；    證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；    利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量    （

3、3）證明面面平行的方法：    轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；    證明這兩個平面的法向量是共線向量    （4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直    （5）證明線面垂直的方法：    證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；    證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直    （6）證明面面垂直的方法：    轉(zhuǎn)化為線線垂直

4、、線面垂直處理；    證明兩個平面的法向量互相垂直 【用空間向量求空間角】  例. 正方形ABCD中，E、F分別是，的中點，求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角CAEF的余弦值的大小。解析：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得又，即所求值為。（2），過C作CMAE于M，則二面角CAEF的大小等于，M在AE上，設(shè)則，又二面角CAEF的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角

5、可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即。（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。 【用空間向量求距離】  例. 長方體ABCD中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2

6、），故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為方法二：，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為（2），上的射影的模故M到PQ的距離為（3）設(shè)是平面的某一法向量，則，因此可取，由于，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。（3）二面角的求法：AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角或其補角。（4）異面直線間距離的求法：是兩條異面直線