1、圓錐曲線有關焦點弦的幾個公式及應用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經過焦點，則稱此弦為焦點弦。圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關知識。焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經”，集數學知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相， 題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進行考查的。本文介紹圓錐曲線有關焦點弦問題的幾個重要公式及應用，與大家交流。定理1已知點尸是離心率為邑的圓錐曲線c的焦點，過點尸的弦乂8與C的焦點所在口 丸一日 cos 3 的軸的夾角為&且用0 =期變（21）。（1）當焦點戶內分

2、弦送F時，有兌十1 ；C丸十1ecos&=（2）當焦點因外分弦時（此時曲線為雙曲線），有/ 1。證明 設直線？是焦點尸所對應的準線，點在直線F上的射影分別為 4,與，點-在AFBF直線.招上的射影為血。由圓錐曲線的統一定義得，且4阻，又獨=4啊兄之1）,所以朋二BF Aa AF ABF，網=二（1） 當焦點日內分弦乂召時。(2)當焦點戶外分弦且B時(此時曲線為雙曲線)。ABF BF 15 + l)EF,所以如圖2,ABF EFr ，-AM zU+8 亂一毒 丁 _ 3+1 cos 曰=cos N A£4E = = -用 AFBF“，所以白 8*6 二 2T。cos日二二年上必

3、F 二 二9一3H反十3斤評注特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內分焦點弦時公式的不同, 這一點很容易不加區別而出錯。C:1-彳=1（4>0）例1 （2009年高考全國卷n理科題）已知雙曲線厘 b的右焦點為尸，過F且斜率為 扣的直線交C于乩£兩點。若=,則0的離心率為（）4 1F? cos 60'=解這里人上領日二W，所以日二60口，又兄=4 ,代入公式得4十1 ,所c：£_42L=i（cl >八0）例2 （2010年高考全國卷n理科第 12題）已知橢圓 b的離# _ _心率為2。過右焦點且斜率為 冷 > 丹的直線于C相交于式方兩點，若

4、AF = M ,則A1 842 C,3D,2一# Q& 一 cos 8 解這里見=3 ,2 ,設直線AB的傾斜角為6，代入公式得22 ,所以cos 6 -廠J3 ,所以k= tan6 = J2，故選入。例3 （ 08高考江西卷理科第15題）過拋物線x三2式以產 口）的焦點產作傾斜角為3仃的直線，與拋物線交于 凡支兩點（點上在L軸左側），則有 但同 解如圖3,由題意知直線 AB與拋物線的地稱軸的夾角 8 =期,當點工在L軸左側時,啰13八七1巴設附 ，又后=1,代入公式得N+1 ,解得兄=J所以怛叫3。例4 （2010年高考全國卷I理科第 16題）已知因是橢圓。的一個焦點，刀是短軸的一個

5、端點，線段*的延長線交口于點，且"二2FD ,則。的離心率為3日二絲二J解設直線5口與焦點所在的軸的夾角為U ,則 RF 口 ，又工=2 ,代入0三一口:1（八0金,0）例5（自編題）已知雙曲線 里 上的離心率為 3 ，過左焦點F且斜率為4口的直線交。的兩支于a 8兩點。若阿=3同，則=二援口 833解這里3 ,4 = 2,因直線AB與左右兩支相交，故應選擇公式NT ,處二0£日二 ill二史i = tan30° = 代入公式得33-1,所以 2所以日=30，所以3定理2已知點F和直線,是離心率為由的圓錐曲線白的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為 &

6、quot;。過點E1的弦/耳與曲線C的焦點所在的軸的夾角為 我九90），則有-卜-/，證明設點A瓦E在準線上的射影分別為A,過點產作軸產笈的垂線交直線AF BF =e= 且4于點M ,交直線咯于點H。由圓錐曲線的統一定義得，段忸可，所以 以尸司=首區劃所以1詹儂8 1十厘匚05白1-6 COS & o（2）當焦點產外分弦工方時（此時曲線為雙曲線）。所以較長焦半徑明二一笆一四lCQgg ,較短焦半徑印1+qC州日。（1）當焦點產內分弦3時。如圖4, PM=l4M+MI="月2日,忸al=|"M-W司=尸一H戶|匚0£日?圖4所以AS = A-BF綜合(1)(

7、2)知，較長焦半徑焦點弦的弦長公式為特別地，當曲線為無心曲線即為拋物線時，焦準距就是徑之半，較長焦半徑如圖5,網=翻卜區蚱咐3日"叫|=|四卜陷=尸一網38所以網二或網。也分網四尸一網8畫AF= 一笆一11 = 一宅一所以較長焦半徑cos-1 ,較短焦半徑32sd+1。epep _ 2epcos-1 <?cos + l 宓 cos 日T?？诘蕉蝗籅F 二一&一NB|=卓一1一必6 ,較短焦半徑1十2© ,焦點弦的弦長公式為5口白。當曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時，焦準距為1121 1注由上可得，當焦點尸內分弦工8時，有加I3叩窗 網 H叩p .1 1 1

8、 _2cos -當焦點產外分弦工，時，有忸到M日卻口口怛典 p 。例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線?三2尸工（尸的焦點產作傾斜角為4亨的直線，交拋物線于 凡石兩點，若線段AB的長為8,則戶二AB=-=8_9解由拋物線焦點弦的弦長公式為貪口白得,乳力45，解得尸二*。+ A - l（a > 方 > 0）例7 （2010年高考遼寧卷理科第 20題）已知橢圓口 上的右焦點為產，經過正且傾斜角為6仃的直線？與橢圓相交于不同兩點乂田，已知方=2FB。AB =（1）求橢圓的離心率；（2）若 4，求橢圓方程。52 -12bcosoU = e =解（1）這里日=6° ,

9、為三2 ,由定理1的公式得2十1 ,解得 3 。15e = -fe=60 AB=1- （-）1 cos3 604（2）將 3M ,代入焦點弦的弦長公式得，3,解5 足 5c; 2得 2,即 c 2 ,所以2g ）三究，又曰3 ,設心=紜。=球，代人得七 =1,所以2 = 3 ,所以二/一（?=5 ,故所求橢圓方程為95例8 （2007年重慶卷第16題）過雙曲線X 7 "的右焦點F作傾斜角為10寸的直線，交雙曲線于f,Q兩點，則"I忸制的值為解易知EQ均在右支上，因為厘三5三避，離心率/=血，點準距°仁虎，因傾斜角為1萬，所以日=7九由焦半徑公式得，陽戶副二0P s

10、p44S/51-營。叱31-/匚。£5 1-2cos275' l-l+gsl5。13 -例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線 = 4的右焦點F作傾斜角為150°的直線，交雙曲線于RQ兩點，則卜耳,網的值為解因為里“三,離心率 =也，點準距'E,因傾斜角為i='：:?所以日=30"。注意到F，Q分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得,網聞=c cos 4*1 cos2 -1 2cosa 30'=8o工 y r-i-'=1例10（2007年高考全國卷I）如圖 6,已知橢圓32 的左、右焦點分別為片區,過耳的直線交橢圓于EQ兩點，過弓的直線交橢圓于上£兩點，且HC ±BD。求四邊形面積的最小值。解由方程可知，援小力士道，則了7? = = 2設直