1、會計學1理學理學(lxu)定積分的概念與性質定積分的概念與性質第一頁，共36頁。24.1 定積分定積分(jfn)的概念與性的概念與性質質定積分定積分(jfn)(jfn)問題舉例問題舉例定積分定積分(jfn)(jfn)的定義的定義關于函數的可積性關于函數的可積性定積分的幾何意義和物理意義定積分的幾何意義和物理意義小結小結 思考題思考題 作業作業 定積分的定積分的基本基本性質性質*definite integral第4章 定積分與不定積分第1頁/共36頁第二頁，共36頁。31. 曲邊梯形(txng)的面積 定積分定積分(jfn)概念也是由大量的實際問題抽象概念也是由大量的實際問題抽象出出一、定積分

2、(jfn)問題舉例來的來的, 現舉兩例現舉兩例.ab)(xfy Oxy? A求由連續曲線求由連續曲線 y = f (x) 0及及直線直線 x = a, x = b和和 y = 0所圍所圍的曲邊的曲邊梯形的面積梯形的面積A. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第2頁/共36頁第三頁，共36頁。4用矩形用矩形(jxng)面積面積梯形梯形(txng)面面積積.(五個小矩形五個小矩形(jxng)(十個小矩形十個小矩形)habAhxf)(,)()( 矩矩形形面面積積公公式式為為時時常常數數思想思想以直代曲以直代曲顯然, 小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積O

3、xyOxy 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第3頁/共36頁第四頁，共36頁。5ab)(xfy 個個分成分成把區間把區間nba,1iixx 在每個小區間在每個小區間采取下列采取下列(xili)四個步驟來求面積四個步驟來求面積 A.(1) 分割分割(fng),1210bxxxxxann (2) 取近似取近似(jn s),1為為底底以以iixx ;1 iiixxx,1iixx 小區間小區間長度為長度為)(if 為高的小矩形為高的小矩形,面積近似代替面積近似代替Oxyix1x1 ix1 nx,i 上任取一點上任取一點i iA 任意用分點任意用分點的窄曲邊梯形的面積的窄曲邊梯形的面積上對應

4、上對應表示表示,1iiixxA ,iA nixfAiii, 2 , 1,)( 有有 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第4頁/共36頁第五頁，共36頁。6 A.)(lim10iniixfA (3) 求和求和(qi h)這些這些(zhxi)小矩形面積之和可作為曲邊梯形小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積面積(min j)A的近似值的近似值.(4) 求極限求極限為了得到為了得到A的精確值的精確值,)0(時時趨近于零趨近于零 取極限取極限,的面積的面積:分割無限加細分割無限加細,iniixf )(1 極限值就是曲邊梯形極限值就是曲邊梯形,max21nxxx 即小區間的最大長度即小區間的最大長度

5、 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第5頁/共36頁第六頁，共36頁。72. 求變速(bin s)直線運動的路程思想思想(sxing)以不變代變以不變代變設某物體設某物體(wt)作直線運動作直線運動,已知速度已知速度v = v(t)是時間是時間間隔間隔T1, T2上上t的一個連續函數的一個連續函數, 0)( tv且且在這段時間內所經過的路程在這段時間內所經過的路程.思路把整段時間分割成若干小段,每小段上速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質求物體求物體第6頁/共36頁第七頁

6、，共36頁。8(1) 分割分割(fng)212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和(qi h)iinitvs )(1 (4) 取極限取極限(jxin),max21nttt .)(lim10iniitvs 路程的精確值(2) 取近似取近似is 0 令令表示在時間區間表示在時間區間內走過的路程內走過的路程.,1iitt 某時刻的速度某時刻的速度), 2 , 1(ni 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第7頁/共36頁第八頁，共36頁。9二、定積分(jfn)的定義設函數設函數(hnsh)f (x)在在a, b上有界上有界,在a, b中任意(rny)

7、插入若干個分點定義定義4.1bxxxxxann 1210把區間把區間a, b分成分成n個小區間個小區間,各小區間長度依次為各小區間長度依次為), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小區間上任取在各小區間上任取一點一點),(iiix 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和.)(1iinixfS 記記,max21nxxx 如果不論對如果不論對a, b(1)(2)(3)(4)上兩例共同點上兩例共同點:; II2) 方法一樣方法一樣;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 結果形式一樣結果形式一樣. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第8頁/共36頁第九頁，共36頁

8、。10被積函數被積函數(hnsh)被積表達被積表達式式記為記為怎樣怎樣(znyng)的的分法分法,也不論也不論(bln)在在小區間小區間,1iixx 上點上點i 的取法的取法,只要當只要當,0時時 和和S總趨于確定的極限總趨于確定的極限I,稱這個極限稱這個極限I為函數為函數f (x)在區間在區間a, b上的上的定積分定積分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 積分下限積分下限積分上限積分上限積分變量積分變量a, b積分區間 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質怎樣怎樣積分和積分和第9頁/共36頁第十頁，共36頁。11 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iii

9、niixxbaxfS 的分法及在的分法及在是與是與 ,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 (2) 結構結構(jigu)和上、下和上、下限限, 今后將經常利用定積分與變量記號今后將經常利用定積分與變量記號(j ho)無關性進行推理無關性進行推理.定積分(jfn)是一個數,定積分數值只依賴于被積函數的取法取法上上i 有關;注注取法取法上上i 無關.而與積分變量的記號無關.t bafd)(u 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質tu第10頁/共36頁第十一頁，共36頁。12定理定理(dngl)4.(dngl)4.1 1定理定理(dngl)(dngl)4.

10、24.2或或記為記為.,baRf 黎曼黎曼 德國數學家德國數學家(18261866)三、關于(guny)函數的可積性上可積.且只有有限個可積.當函數當函數 f (x)在區間在區間a, b上的定積分存在時上的定積分存在時,可積.黎曼可積,間斷點,稱稱 f (x)在區間在區間a, b上上設設 f (x)在在a, b上連續上連續,則則 f (x)在在a, b設設 f (x)在在a, b上有界上有界,則則 f (x)在在a, b上上充分條件充分條件 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第11頁/共36頁第十二頁，共36頁。13, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形曲邊梯形(txng)的的

11、面積面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積(min j)的負值的負值 baxxfd)(1. 幾何幾何(j h)意意義義2A 1A 3A 四、定積分的幾何意義和物理意義Oxyab)(xf1A2A3A 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第12頁/共36頁第十三頁，共36頁。14各部分各部分(b fen)面積的代面積的代數和數和.取負號取負號(f ho).它是介于它是介于(ji y)x軸、函數軸、函數 f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條直線直線 x = =a, x = = b之間的之間的在在 x 軸上方的面積取正號軸上方的面積取正號;在在 x 軸下方的面積軸

12、下方的面積Oxyab)(xf baxxfd)(幾何意義幾何意義 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第13頁/共36頁第十四頁，共36頁。15例例xx d1102 求求解解421xy 2. 物理物理(wl)意意義義,0)(時時當當 tvt = b 所經過所經過(jnggu)的路的路程程 s.oxy11 xx d1102 battvd)(v = v(t)作直線運動的物體(wt)從時刻 t = a 到時刻定積分定積分表示以變速表示以變速 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第14頁/共36頁第十五頁，共36頁。16解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例

13、用定義用定義(dngy)(dngy)計算計算由拋物線由拋物線,2xy ,等分等分n,nixi 分點為分點為分成分成將將 1 , 0 x軸所圍成的曲邊梯形(txng)面積.直線(zhxin) x = 1和ni, 2 , 1 小區間,1iixx 的長度,1nxi ni, 2 , 1 取,iix ni, 2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxiniibaxfxxf )(limd)(10 nin1 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第15頁/共36頁第十六頁，共36頁。17nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211

14、610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim.31 n 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第16頁/共36頁第十七頁，共36頁。18對定積分對定積分(jfn)的補充的補充規定規定:,)1(時時當當ba baxxfd)(; 0,)2(時時當當ba baxxfd)(.d)( abxxf五、定積分的基本(jbn)性質在下面的性質中, 假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質性質性質4.14.1 baxd1 baxd.ab 用定積分定義用定積分定義, 即可證得即可證得.第17頁/共36頁第十八頁，共36頁。19

15、證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)(.d)( baxxg(此性質可以推廣到有限多個函數(hnsh)作和的情況)性質性質(xngzh)4.2()(xngzh)4.2() baxxgxfd)()(.d)(d)( babaxxgxxf 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第18頁/共36頁第十九頁，共36頁。20證證 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .d)( baxxfk性質性質(xngzh)4.(xng

16、zh)4.2()2()性質性質(xngzh)4.2()(xngzh)4.2()和性質和性質(xngzh)4.2()(xngzh)4.2()稱為(chn wi)線性性質. baxxkfd)( baxxfkd)().( 為常數為常數k 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第19頁/共36頁第二十頁，共36頁。21例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定積分定積分(jfn)對于積分對于積分(jfn)區間區間具有可加性具有可加性)則性質性質(xngzh)4.3(xngzh)4.3 cbxxfd)( cbxxf

17、d)(假設bca baxxfd)( axxfd)(.d)( bxxfcc不論a, b, c的相對位置如何, 上式總成立. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第20頁/共36頁第二十一頁，共36頁。22證證, 0)( xf0)( if ), 2 , 1(ni , 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0d)( baxxf性質性質(xngzh)4.4(xngzh)4.4如果(rgu)在區間a, b上, 0)( xf則 baxxf0d)().(ba 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質所以(suy)因為因為所以所以第21頁/共36頁

18、第二十二頁，共36頁。23性質性質(xngzh)4.4(xngzh)4.4的推論的推論1 1證證),()(xgxf , 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg如果(rgu)在區間a, b上),()(xgxf 則 babaxxgxxfd)(d)().(ba 于是(ysh).d)(d)( babaxxgxxf性質性質4.44.4 如果在區間a, b上, 0)( xf baxxf0d)(則則).(ba 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質所以因為所以第22頁/共36頁第二十三頁，共36頁。24).(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf

19、 性質性質(xngzh)4.4(xngzh)4.4的的推論推論2 2 babaxxfxxfd| )(|d)(.d| )(|d)( babaxxfxxf baxd baxd baxd由性質由性質(xngzh)4.4(xngzh)4.4的推的推論論1 1 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質第23頁/共36頁第二十四頁，共36頁。25解解令令,e)(xxfx 0, 2 x, 0)( xf0d)e (02 xxxxxde02 xxd02 于是于是(ysh)xxde20 .d20 xx 比較比較(bjio)積分值積分值xxde20 和和xxd20 的大小的大小(dxio).例例 4.1 定積分

20、的概念與性質定積分的概念與性質所以因為所以第24頁/共36頁第二十五頁，共36頁。26證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d).(d)()(abMxxfabmba (此性質可用于估計積分值的大致此性質可用于估計積分值的大致(dzh)范圍范圍)性質性質(xngzh)4.5 (xngzh)4.5 (估值估值性質性質(xngzh)(xngzh)設設M和和m分別分別(fnbi)是函數是函數f (x)在區間在區間a, b上上最大值及最小值最大值及最小值, 則則).(d)()(abMxxfabmba 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質所以因為第25頁/共36頁第二十六頁，共36

21、頁。27解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 .3dsin31403 xx估計估計(gj)積分積分.dsin3103的值的值xx 例例 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質).(d)()(abMxxfabmba 第26頁/共36頁第二十七頁，共36頁。28解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4x估計估計(gj)積分積分.dsin24的值的值xxx 上上在在 2,4)(xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab xxxdsin24422 4

22、222 21,2,4)( Cxf 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質).(d)()(abMxxfabmba 第27頁/共36頁第二十八頁，共36頁。29證證Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 由閉區間由閉區間(q jin)上連續函數的介值定理上連續函數的介值定理:性質性質4.6 (4.6 (定積分定積分(jfn)(jfn)中中值定理值定理) )如果如果(rgu)函數函數f (x)在在則在積分區間a, b上至少存 , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 積分中值公式積分中值公式至少存在一點至少存在一點 , ,d)(1)( baxx

23、fabf 使使即)(d)(abfxxfba ).(ba 在a, b上閉區間a, b上連續, 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質在一點 所以因為第28頁/共36頁第二十九頁，共36頁。30積分中值公式的幾何(j h)解釋)(d)(abfxxfba )(ba 在區間在區間(q jin)a, b上至少存在一上至少存在一點點 , 使得以區間使得以區間(q jin)a, b為底為底邊邊,以曲線以曲線y = f (x)為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的一個矩形的面積的一個矩形的面積.)(xfy ab )( fOxy 4.1 定積分的概念與性

24、質定積分的概念與性質第29頁/共36頁第三十頁，共36頁。31定理定理(dngl)用用途途 )( f注注a, b上連續(linx), 使下式成立使下式成立(chngl):)(d)(abfxxfba ).(ba 無論從幾何上無論從幾何上, 還是從物理上還是從物理上, 都容易理解平均值公式求求連續變量的連續變量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉積分號來表示積分值如何去掉積分號來表示積分值. baxxfabfd)(1)( )(ba 就是就是 f (x)在區間在區間a, b上的平均值上的平均值. 4.1 定積分的概念與性質定積分的概念與性質性質性質4.6 4.6 (定積分中值定理定積分中值定理)若函數若函數f (x)在閉區間在閉區間則在積分區間a, b上至少存在一點 第30頁/共36頁第三十一頁，共36頁。32).1( 設設解解.2 T周期周期21例例 200dsin2ttE. 0 定積分幾何定積分幾何(j h)意義意義 E2tE sin0td0求電動勢求電動勢在一個在一個(y )周期周期上的上的tEE sin0 平均值