1、第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於19661966年年證明的，稱為陳氏定理證明的，稱為陳氏定理(Chen(Chens Theorem) ? s Theorem) ? “任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。” 通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 1 + 2 2 ”的形式。的形式。歌德巴赫猜想的提出過程：歌

2、德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一個不小于任何一個不小于6 6的偶數都等于兩個奇質的偶數都等于兩個奇質數之和數之和”即即: :偶數奇質數奇質數偶數奇質數奇質數改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 這種由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結論的推理,稱為歸納推理.(簡稱;歸納)歸納推理的幾個特

3、點;1.歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經驗和實驗的基礎之上.歸納是立足于觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上.提出帶有規律性的結論.需證明 對有限的資料進行觀察、分析、歸納對有限的資料進行觀察、分析、歸納 整理；整理； 提出帶有規律性的結論，即猜想；提出帶有規律性的結論，即猜想； 檢驗猜想。檢驗猜想。 歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟：例例1:1:已知數列已知數列aan n 的第的第1 1項項a a1 1=1

4、=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),試歸納出這個數列的通項公式試歸納出這個數列的通項公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a答案：an=1/n1.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒, ,發發明了鋸明了鋸2.2.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理, ,發明了潛水艇發明了潛水艇. .3.3.科學家對火星進行研究科學家對火星進行研究, ,發現火星與地球有許發現火星與地球有許多類似的特征多類似的特征; ; 1)1)火星也繞太陽運行、饒軸自轉的行星火星也繞太陽運行、饒軸自轉的行星; ;

5、2)2)有大氣層有大氣層, ,在一年中也有季節變更在一年中也有季節變更; ; 3)3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存知生物的生存, ,等等等等. . 科學家科學家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .4)4)利用平面向量的本定理類比利用平面向量的本定理類比得到得到空間向量的空間向量的基本定理基本定理. .這種由兩類對象具有某些類似特征和其中這種由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出在另一類一類對象的某些已知特征，推出在另一類對象也具有這些特征的推理對象也具有這些特征的推理, , 稱為稱為類

6、比推類比推理理.(.(簡稱簡稱; ;類比類比) )類比推理的幾個特點類比推理的幾個特點; ;1.1.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性類比是從人們已經掌握了的事物的屬性, ,推測正推測正在研究的事物的屬性在研究的事物的屬性, ,是以舊有的認識為基礎是以舊有的認識為基礎, ,類比類比出新的結果出新的結果. .2.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性特殊屬性. .3.3.類比的結果是猜測性的不一定可靠類比的結果是猜測性的不一定可靠, ,單它卻有發單它卻有發現的功能現的功能. .例例2 2：類比平面內直角三角形的勾股定理，：類比平面內直角三

7、角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想試給出空間中四面體性質的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :我們把前面所進行的推理過程概括為：從具體問題出發 觀察、分析、比較、聯想 歸納、類比 提出猜想可見，歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后 提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理.123設設 為把為把 個圓環從個圓環從1號針移到號針移到3

8、號針的最少次數，則號針的最少次數，則nann1a123設設 為把為把 個圓環從個圓環從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數，則nann1an2a123設設 為把為把n 個圓環從個圓環從1號針移到號針移到3號針的最少次數，則號針的最少次數，則na 半個世紀之后，歐拉發現：42949672971252猜想：.122是質數n6700417641,1712, 5122122都是質數,6553712,257124322練習：計算機中常用的十六進位制是逢練習：計算機中常用的十六進位制是逢進的計算制，采用數字進的計算制，采用數字- -和字母和字母- -共個計數符號，這些符號與十進制共個計數符

9、號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表；的數的對應關系如下表；十六進位十六進位十進位十進位例如用進位制表示例如用進位制表示+ +，則，則（）（）十六進位十六進位十進位十進位E E練習練習2 2:(:(20012001年上海年上海) )已知兩個圓已知兩個圓x x2 2+y+y2 2=1:=1:與與x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,則由則由式減去式減去式可得上述式可得上述兩圓的對稱軸方程兩圓的對稱軸方程. .將上述命題在曲線仍然將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣為圓的情況下加以推廣, ,即要求得到一個更即要求得到一個更一般的命題一般的命題, ,而已知命題應成為所推廣命題

10、而已知命題應成為所推廣命題的一個特例的一個特例, ,推廣的命題為推廣的命題為-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2與與(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或設圓的方程為設圓的方程為b bd),d),則由則由式減去式可得上述兩圓的對稱軸式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程方程. .圓的概念和性質圓的概念和性質球的概念和性質球的概念和性質與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長以點以點(x(x0 0,y,y0

11、0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點的連線中點的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓點的連線垂直于截面的圓點的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點以點(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2