1、 利用對稱點解三角形中的格點問題 （本講適合初中）如果三角形的三個角的度數都是的整數倍，三角形內一點與三角形的三個頂點分別連結后，得到的所有的角也都具有這個性質，我們稱這樣的點為三角形中的格點求解三角形中的格點問題，常可利用對稱點利用對稱點求解三角形中的格點問題，方法簡單易行，解法簡潔巧妙，題面新穎有趣，是學生鞏固知識，培養能力，陶冶情操，提高素質的寶貴資料 證明對稱點常用的方法大家知道，把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱兩個圖形中的對應點叫做關于這條直線的對稱點，這條直線叫做對稱軸根據對稱點的定義不難知道，欲證兩點、關于線段所在的直線

2、對稱，只要證明即可不過，在證明對稱時，只須擺明條件，而不必特別指明兩個三角形的全等關系例 在中，為的平分線上一點，求的度數解：如圖，設的平分線交于，連 圖 顯然，平分，而平分，即為的內心可知MDC60有故點與點關于對稱則這里證得“點與點關于對稱”是根據“角、邊、角”例 在中，為形內一點，求的度數 解：如圖，以為一邊在外作正連由，可知有點與點關于對稱得 由，可知易知，可知點與點關于對稱有則這里證出“點與點關于對稱”是根據“邊、邊、邊”，證出“點與點關于對稱”是根據“邊、角、邊”綜上可知，證明兩個點關于某線段所在直線對稱，是一件很容易做的事情而且熟練以后，更可能節省些筆墨明確了這一點，我們就要積極

3、、主動地創造條件，注意利用對稱點 在哪些情況下應想到使用對稱點三角形中的格點問題，經常會給出或求證角平分線，這是使用對稱點的最方便的條件，換言之，在題目給出或求證角平分線時，要想到使用對稱點例 在中，為的平分線上一點，求的度數解：如圖，在延長線上取一點，使連、圖 由平分，可知點與點關于對稱有由（），可知為正三角形有在中，由，可知有在中，由，可知則這里由平分，想到在延長線上取一點，使，則點為點關于的對稱點這是取對稱點的最簡單、最基本的方法例 在中，為形內一點，求的度數解：如圖，設交于，過點作的垂線交于連圖 由，可知為的中垂線由，可知，由，可知有點與點關于對稱則 這里注意到是的平分線，故想到在上取

4、點，使，則點為點關于的對稱點為此想到滿足條件的點，恰為中垂線與的交點。又由，想到與的交點應為中垂線上的另一點于是，我們選擇了如上的方法找到點關于的對稱點例在中，,為形內一點，20求的度數解：如圖，設的中垂線分別交、于、，為垂足連、圖 由，可知點與點關于對稱有由，可知有、三點共線則這里注意到是的的外角平分線（這一點并不引人注目），在延長線上取一點，使，則點為點關于的對稱點為此我們通過的中垂線，把“翻折”到的位置，是非常恰當的例 在中，50，為形內一點，,20求的度數解：如圖，過點作的垂線交延長線于連圖 由，可知點與點關于對稱又由，有于是，由，可知平分有點與點關于對稱則 （）這里從準確的圖形我們能

5、夠猜想，或說點與點的對稱軸經過點由于圖中沒給出對稱軸，我們通過的中垂線，將直線“翻折”到位置，從而解決了的平分線的問題處理是巧妙的綜上我們討論了在圖形中出現角平分線時應想到使用對稱點當圖形中缺角平分線時，也要設法調整圖形，使角平分線及時“出現”，為確定對稱關系提供方便 如何選擇對稱點的位置恰當地選擇對稱點，能夠使圖形出現更多的特殊性，能夠使圖形具有更多的好性質，能夠使求解來得方便，簡捷，新穎，巧妙為此，選擇對稱點時，應當以能夠出現特殊圖形為原則 讓對稱點落在某線段的中垂線上例 在中，為形內一點，求的度數解：如圖，以為一邊在形內一側作正連、圖 由，可知點為的外心于是，有，由RCB20，可知有為的

6、中垂線，且 80由，可知點與點關于對稱有這里以為一邊在形內一側作正，實質上就是找到了點關于的對稱點，由于點在的中垂線上，使求解很方便 讓對稱點落在某三角形的外接圓上例 在中，ABC，ACB，為形內一點，PBC，PCB10求的度數解：如圖，設點為點關于的對稱點連、圖 在中，由，可知有、四點共圓由平分，可知易知為正三角形，有則，即點為的外心故這里，點關于的對稱點恰好在的外接圓上，使圓內接四邊形的性質能在求解中發揮作用可見在選擇對稱點時，能使其位于某三角形的外接圓上，也是很理想的 讓對稱點與另一點的某個對稱點重合例 在中，40，為形內一點，30求的度數解：如圖，設點為點關于的對稱點連、圖 由，可知，

7、PDAPCB，則PDC為正三角形由，可知由，可知為正三角形有由，可知點與點關于對稱故這里尋到的點是點關于的對稱點，也是點關于的對稱點理想的巧合，使解法很漂亮以上三例分別說明了選擇對稱點的常見的目標，當然還會有其他的目標對這些情況的深入研究，能使我們熟悉和喜歡利用對稱點解題，即使在較復雜的問題中，也能順其自然，輕松流暢地尋出理想的解法來例 在中，為形內一點，RAC20求的度數解：如圖，設點為點關于的對稱點，點為點關于的對稱點連、圖 易知EDA為正三角形，有在中，易知，可知有、三點共線得，且 在中，由，可知由、可知點與點關于對稱則這里，先是將沿向上翻，然后又將沿向上翻，這一翻再翻，構造出等腰DBC、正、等腰，證出點與點關于對稱，也就求出了其間巧取對稱，真是奇妙例 在中，為形內一點，求的度數解：如圖，過點作的垂線交延長線于在延長線上取一點，使連、圖 由，可知點與點關于對稱有由，可知有點與點關于對稱得則易知為正三角形，有由，可知則易知可知，即得故 這里，一是將向上翻，二是將向下翻，這上翻下翻構造了正，等腰，以點為外心的，兩個全等的等腰 和其間，巧用對稱，堪稱一絕三角形中的格點問題，為對稱點的使用提供了廣闊的空間，只要我們潛心研究，科學歸納，總會有新的規律被發掘和利用練習題題號在ABC中P為形內一點,求出下面空格中的角的度數答案ABCACBPBCPCBPAB 1 102 103 104