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文檔簡介

1、精選優質文檔-傾情為你奉上2019年高考數學一輪復習:二項式定理二項式定理專心-專注-專業1二項式定理(ab)n_(nN*),這個公式所表示的規律叫做二項式定理(ab)n的二項展開式共有_項,其中各項的系數_(k0,1,2,n)叫做二項式系數,式中的_叫做二項展開式的通項,用Tk1表示,即_通項為展開式的第_項2二項式系數的性質(1)對稱性在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即CC,CC,CC,_,CC.(2)增減性與最大值二項式系數C,當_時,二項式系數是遞增的;當_時,二項式系數是遞減的當n是偶數時,中間的一項_取得最大值當n是奇數時,中間的兩項_和_相等,且同時取得

2、最大值(3)各二項式系數的和(ab)n的展開式的各個二項式系數的和等于_,即CCCCC_.二項展開式中,偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和,即CCCCCC_.自查自糾1CanCan1bCankbkCbnn1CCankbkTk1Cankbkk12(1)CC(2)kkCnCn Cn(3)2n2n2n1 (2016·四川)設i為虛數單位,則(xi)6的展開式中含x4的項為()A15x4 B15x4 C20ix4 D20ix4解:由題可知,含x4的項為Cx4i215x4.故選A. (2017·全國卷)(1x)6展開式中x2的系數為()A15 B20 C30 D35解:

3、(1x)6展開式的通項Tr1Cxr,所以(1x)6的展開式中x2的系數為1×C1×C30,故選C. (2017·全國卷)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數為()A80 B40 C40 D80解:原題即求(2xy)5中x2y3與x3y2系數的和,即為C·22·(1)3C·23·(1)240.故選C. (2016·全國卷)(2x)5的展開式中,x3的系數是_(用數字填寫答案)解:展開式的通項為Tr125rCx,令53,得r4,故所求系數為2C10.故填10. (2016·天津)的展開式中x7的系數為

4、_(用數字作答)解:二項式展開式通項為Tr1C(x2)8r(1)rCx163r,令163r7,r3,所以x7的系數為(1)3C56.故填56.類型一求特定項(1)的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中的常數項為()A40 B20 C20 D40解:令x1,可得a12,a1,的展開式中項的系數為C22(1)3,x項的系數為C23,所以(2x)5的展開式中常數項為C22(1)C2340.故選D.【點撥】令x1可得所有項的系數和;在求出a的值后,再分析常數項的構成,便可解得常數項(2)(2015·安徽)的展開式中x5的系數是_(用數字填寫答案)解:由題意,二項式展開的通項為Tr1C(x3

5、)7rCx214r,令214r5,得r4,則x5的系數是C35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多項式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5,則a4_,a5_解:a4為含x的項的系數,根據二項式定理,a4C×12×C×22C×13×C×216,a5是常數項,a5C×13×C×224.故填16;4.【點撥】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項可依據條件寫出第r1項,再由特定項的特點求出r值即可(2)已知展開式的某項,求特定項的系數可由某項得出

6、參數項,再由通項寫出第r1項,由特定項得出r值,最后求出其系數(1)已知在的展開式中,第6項為常數項,則含x2項的系數為_解:通項Tr1CxxCx,因為第6項為常數項,所以r5時,有0,得n10.令2,得r2,所以含x2項的系數為C.故填.(2)(2016·北京)在(12x)6的展開式中,x2的系數為_(用數字填寫答案)解:展開式的通項Tr1C·16r·(2x)rC(2x)r.令r2得T3C·4x260x2,即x2的系數為60.故填60.(3)(2015·全國卷)(x2xy)5的展開式中,x5y2的系數為()A10 B20 C30 D60解:在

7、(x2xy)5的5個因式中,2個取x2,剩余的3個因式中1個取x,其余因式取y,故x5y2的系數為CCC30,故選C.類型二展開式的系數和問題在(2x3y)10的展開式中,求:(1)二項式系數的和;(2)各項系數的和;(3)奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和;(4)奇數項系數和與偶數項系數和;(5)x的奇次項系數和與x的偶次項系數和解:設(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10,(*)各項系數和為a0a1a10,奇數項系數和為a0a2a10,偶數項系數和為a1a3a5a9,x的奇次項系數和為a1a3a5a9,x的偶次項系數和為a0a2a4a10.由于(*)是恒等式,

8、故可用“賦值法”求出相關的系數和(1)二項式系數的和為CCC210.(2)令xy1,各項系數和為(23)10(1)101.(3)奇數項的二項式系數和為CCC29,偶數項的二項式系數和為CCC29.(4)令xy1,得a0a1a2a101,令x1,y1(或x1,y1),得a0a1a2a3a10510,得2(a0a2a10)1510,所以奇數項系數和為;得2(a1a3a9)1510,所以偶數項系數和為.(5)x的奇次項系數和為a1a3a5a9;x的偶次項系數和為a0a2a4a10.【點撥】“賦值法”普遍運用于恒等式,是一種處理二項式相關問題比較常用的方法對形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b

9、,cR)的式子求其展開式各項系數之和,只需令x1即可;對形如(axby)n(a,bR)的式子求其展開式各項系數之和,只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn,則f(x)展開式中各項系數之和為f(1),奇數項系數之和為a0a2a4,偶數項系數之和為a1a3a5.(1)(2017浙江溫州模擬)在的展開式中,各項系數和與二項式系數和之比為64,則x3的系數為()A15 B45 C135 D405解:由題意64,n6,Tr1Cx6r3rCx,令63,得r2,則x3的系數為32C135.故選C.(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a

10、9)239,則實數m的值為_解:令x2,得a0a1a2a9(4m)9,令x0,得a0a1a2a3a9(m2)9,所以有(4m)9(m2)939,即m26m50,解得m1或5.故填1或5.(3)設a0a1xa2x2a2nx2n,則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2_.解:設f(x),則(a0a2a4a2n)2(a1a3a5a2n1)2(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)(a0a2a4a2na1a3a5a2n1)f(1)·f(1)·.故填.類型三系數最大項問題已知(x2)2n的展開式的二項式系數和比(3x1)n的展開式的二項式系數和大992.(1)求的二項

11、式系數最大的項;(2)求的展開式系數最大的項解:由題意知,22n2n992,即(2n32)(2n31)0,所以2n32(負值舍去),解得n5.(1)由二項式系數的性質知,的展開式中第6項的二項式系數最大,即C252.所以T6C(2x)5C258 064.(2)設第r1項的系數最大,因為Tr1C(2x)10rC210rx102r,所以得 即解得r,因為rN,所以r3.故系數最大的項是第4項,第4項為T4C27x415 360x4.【點撥】(1)求二項式系數最大項:如果n是偶數,則中間一項的二項式系數最大;如果n是奇數,則中間兩項(第項與第1項)的二項式系數相等并最大(2)求展開式系數最大項:如求

12、(abx)n(a,bR)的展開式系數最大的項,一般是采用待定系數法,列出不等式組從而解出r,即得展開式系數最大的項已知的展開式中第3項與第4項的二項式系數相等(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求展開式中系數最大的項解:(1)易知n5,故展開式共有6項,其中二項式系數最大的項為第三、第四兩項所以T3C·(3x2)290x6,T4C·(3x2)3270x.(2)設展開式中第r1項的系數最大Tr1C·(x)5r·(3x2)rC·3r·x,故有即解得r.因為rN,所以r4,即展開式中第5項的系數最大T5C·x·(3

13、x2)4405x.類型四整除問題與求近似值問題(1)已知2n2·3n5na能被25整除,求正整數a的最小值;(2)求1.028的近似值(精確到小數點后三位)解:(1)原式4·6n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a,顯然正整數a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC·0.02C·0.022C·0.0231.172.【點撥】(1)利用二項式定理解決整除問題的關鍵是巧妙地構造二項式,其基本思路是:要證明一個式子能被另一個式子整除,只需證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被

14、另一個式子整除因此,一般將被除式化為含有相關除式的二項式,然后再展開,此時常采用“配湊法”“消去法”結合整除的有關知識來處理注意:0余數<除數(2)整除問題和求近似值是二項式定理中兩類常見的應用問題,整除問題中要關注展開式的最后幾項,而求近似值則應關注展開式的前幾項(1)設aZ,且0a<13,若512 016a能被13整除,則a()A0 B1 C11 D12解:512 016a(521)2 016a522 016C×522 015×(1)C×52×(1)2 015(1)2 016a能被13整除,只需(1)2 016a1a能被13整除即可因為0

15、a<13,所以a12.故選D.(2)設nN*,n1,求證33n26n1能被676整除證明:33n26n127n26n1(261)n26n126nC26n1C26n2C262C26C26n1262676而26n2C26n3C26n4C為整數故33n26n1能被676整除類型五特殊“三項式”(可化為二項式)的展開式求展開式中的常數項解法一:原式, 所以 (1|x|)6的展開式中|x|3的系數C(1)320就是原式展開式中的常數項解法二:將原式化為,利用二項式定理求解解法三:將原式看成三個|x|2相乘,常數項只可能由|x|··(2)和(2)3構成,可利用計數原理分成兩類再求

16、和故所求為C·C·(2)C·(2)320.【點撥】三項式的展開式問題,通常可用解法二化為二項式問題,或者用解法三化為計數問題(2015·江西模擬)若(x2ax1)6(a>0)的展開式中x2的系數是66,則sinxdx的值為_解:由題意可得(x2ax1)6的展開式中x2的系數為CCa2,故CCa266,所以a2或a2(舍去)故sinxdx(cosx)|1cos2.故填1cos2.1二項展開式的通項主要用于求二項式的指數、項和系數,在運用公式時要注意以下幾點:(1)Cankbk是第k1項,而不是第k項(2)求展開式的一些特殊項,通常都是由題意列出方程求

17、出k,再求所需的某項(有時需先求n)計算時要注意n,k的取值范圍及它們的大小關系(3)求展開式的某一項的系數,先要準確地寫出通項,特別要注意符號問題,然后將通項中的系數和字母分離2要注意二項展開式中二項式系數與某一項系數的區別在(ab)n的展開式中,系數最大的項是中間項;但當a,b的系數不是1時,系數最大的項的位置就不一定在中間,需要利用通項公式,根據系數的增減性具體討論而定3對三項或三項以上的展開問題,應根據式子的特點,轉化為二項式來解決(有些題目也可轉化為計數問題解決),轉化的方法通常為集項、配方、因式分解,集項時要注意項與項結合的合理性和簡捷性4二項式定理的應用方法(1)“賦值法”和“構

18、造法”是解決二項展開式中“系數和”問題的基本思路,也是證明有關組合數恒等式的重要方法(2)“配湊法”和“消去法”是解決“整除性問題”或“余數問題”的重要方法(3)整除問題要關注的是展開式的最后幾項,求近似值問題關注的是展開式的前幾項(4)有些不等式的證明問題,也常借助二項式定理進行“放縮”處理(5)要注意二項式定理的逆用,它常用于有關化簡和求值問題1在的展開式中,常數項為()A32 B32 C24 D24解:通項Tr1Cx4r(2)r·xC(2)rx4,令40r3.故所求為32.故選A.2(2015·南昌質檢)在的展開式中,只有第5項的二項式系數最大,則展開式中常數項是()

19、A7 B7 C28 D28解:由題意可知n8,Tr1C(1)rC·x8.令8r0,得r6,×(1)6C7.故選B.3(2017·廣西聯考)若二項式的展開式中的常數項為m,則(x22x)dx()A. B C D.解:因為二項展開式的通項公式為Tr1CCx123r,令123r0,得r4,所以mC3,所以(x22x)dx(x22x)dx|,故選D.4(2016·貴州模擬)在二項式(x2x1)(x1)5的展開式中,含x4項的系數是()A25 B5 C5 D25解:因為(x2x1)(x1)x31,所以原式可化為(x31)(x1)4.故展開式中,含x4項的系數為C(

20、1)3C415.故選B.5從的展開式中任取一項,則取到有理項的概率為()A. B. C. D.解:的展開式的通項公式為Tk1C()20kCx5k,其中k0,1,2,20.而當k0,4,8,12,16,20時,5k為整數,對應的項為有理項,所以從的展開式中任取一項,取到有理項的概率為P.故選B.6若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12,則log2(a1a3a5a11)等于()A27 B28 C7 D8解:令x1得a0a1a2a1228,;令x3得a0a1a2a3a120,.得2(a1a3a11)28,所以a1a3a1127,所以log2(a1a3a11)7.故選C.7(

21、2016·上海)在的二項式中,所有項的二項式系數之和為256,則常數項等于_解:因為所有項的二項式系數之和為2n,所以2n256,所以n8,二項展開式的通項為Tr1C()8r·(2)rCxr,令r0,得r2,所以T3112.故填112.8(2016·山東)若的展開式中x5的系數是80,則實數a_解:因為Tr1C(ax2)5rCa5rx10r,所以由10r5r2,因此Ca5280a2.故填2.9求證:32n28n9能被64整除(nN*)證明:因為32n28n932·32n8n99·9n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C·8C·1)8n99(8nC8n1C82)9·8n98n99×82(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n所以32n28n9能被64整除10已知二項式.(1)若展開式中第5項,第6項與第7項的二項式系數成等差數列,求展開式中二項式系數最大的項的系數

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