1、專題12不等式選講L【2020年高考全國I卷文數】已知函數/（x）T3x + ll-2lx-ll.（1）畫出）=/*）的圖像;（2）求不等式+ 的解集.【解析】（1）由題設知/。）= <x + 3.x> 1.y = /（x）的圖像如圖所示.（2）函數），= /（、）的圖像向左平移1個單位K度后得到函數y = /（x+i）的圖像.）, = /“）的圖像y = /（x + l）的圖像的交點坐標為（?）. 667由圖像可知當“僅、7，,<-=時，丁 = /。）的圖像在y = f（x+D的圖像上方, 67故不等式.X）>.f*+D的解集為（Y0,）.6【點睛】本題主要考查畫分段

2、函數的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學生的數形結合能力,屬于基礎題.2.【2020年高考全國H卷文數】已知函數危）=卜-研+|廠20+”.（1）當。=2時，求不等式兀r）24的解集：（2）若«x）24,求的取值范圍.7-2x,x43,【解析】(1)當“ =2時,/(%) = - l,3<x<4, 2x-7,x> 4, 11因此，不等式的解集為或r之».（2）因為/。）=以-42| + 1工-24 + 1以標一為+ 11=3 - 1尸，故當3 1）2之4,即1。-1122時，/（幻之4.所以當心3或H或時,/（a） > 4 .當-133 時,f（

3、a2 ） T / 一為 +11= （ - 1- < 4 .所以4的取值范圍是（f，TU3,m）.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于常考題型.3.【2020年高考全國川卷文數】設a, b, cwR, a+Hc=0, abc=l.（1）證明：ab+bc+ca<Q；（2）用 inaxa, b, c表示 a, b, c 中的最大值，證明：maxa, b, c>/J .【解析】（1）由題設可知，a, b, c均不為零，所以ab + A + ca = (t/ + b + c)2 - (a2 +b2 + c2)2= -'(/ +b2 +c2

4、) 2<0.(2)不妨設 maxa,b,c=,因為= La = -( + c),所以 a>0,6<0, c<0.由 bcW(b + Q ,可得而c« 幺,44故,所以 maxa,0,c > >/4 .【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題.4.【2020年高考江蘇】【選修上5：不等式選講(本小題滿分10分)設xwR,解不等式2lx + ll + lxk4.2【解析】當心>0時，原不等式可化為2a + 2 + xv4,解得0<人<；當一 IWxKO時，原不等式可化為2x + 2-x<4,解得一

5、IVxKO；當XV1時，原不等式可化為一2%24<4,解得一2vxv1.2綜上，原不等式的解集為3-2、<亨.L【2020廣東省湛江二十一中高三月考】已知函數/。)=k-1|.(1)解不等式/(x) + /(x + l)之4；(2)當xwO, xwR時，證明：/(-) + /(-)>2. x【答案】(1)5、+8 ： (2)證明見解析.2)【解析】(1)由/(x) + /(x + l)之4得打一1| +國之4,當X>1時，得2x124.所以工之士；2當0戈<1時，得1之4,所以XC0：3當x<0時，得1一21之4,所以工一大：2 ( 3一二，此不等式的解集為

6、：一雙一不=由 “t)+ K)=|E+ 3由絕對值不等式得|x + l|+ -1 > X又因為工，同號，所以X + - =Lv|+ -, XXX由基本不等:式得：|x|+ -22,當旦僅當N = 1時，等號成立，所以/（一幻+ /（1）之2.x【點睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解，以及絕對值三角不等式的應用，其中解答中熟記含 絕對值不等式解法，以及合理應用絕對值三角不等式和基本不等式求最值是解答本題的關鍵，著重考查 了分類討論思想，考查了學生的邏輯推理與運算求解能力.2.【2020黑龍江省大慶實驗中學高三月考】設a、b、c均為正數，（二）證明：a2 + b + c2 >ab

7、+be + ca ：（二）若。+。+（、。= 1，證明4 + /? +。之".【答案】（二）見解析（二）見解析【解析】（二）因為/?，c均為正數，由重要不等式可得a2 +b22ab，b' +c，2bc , c2 + a22ca ,以上三式相力口可得a? +從+ +/ +/勿b + 2bc + 2ca »即 a2 +h2 + c2,ab + be + ca ：（二）因為ab+bc+ca = 1.由（二）可知a- +/+c，i,故（a + + c）? =a2 + b' +c2 + 2ab + 2Z?c + 2c+ 2 = 3 ,所以“+方+。/得證.【點睹】本題

8、考查不等式的證明，注意運用基本不等式和變形，考查推理能力，屬于基礎題.3.12020四川省瀘縣第二中學高三二模】已知函數/（x） = |2x l| + k + （1）求不等式/（x）Wx + 2的解集:(2)若函數y = /(x)的最小值記為？，設。0, 【答案】(1)0,1 (2)紀業12人0,且有。+/? = ?.求-+ -一的最小值.。+1 b+2【解析】(1)因為/(x) = |2x l| + k + l| = ,3x, x < - 1,x + 2,一,2八13x.x>.2從圖可知滿足不等式/(x)4x+2的解集為0.33(2)由圖可知函數y = /(x)的最小值為即相=/

9、.3Q.所以 + /? = -.從而。+ 1 + + 2 = ，22從而占l+/r#+l)+("2)島 + 言)2(。+ 1)"2 J2("-1) b + 26 + 4>/29當且僅當匕=電型，即=出二11為=!±3匹時，等號成立， 。+ 1 h + 222的最小值為空槎.4+1 b+29【點睛】本題考查解絕對值不等式以基本不等式求最值的問題，是一道中檔題.4.【2020遼寧省高三三模】設函數x) = k -2|+|3x-4.(1)解不等式x)>2：(2)若/(x)最小值為？，實數"、Z;滿足+如=3加，求( 2+的最小值.【答案】

10、(1) xlxvl或X>2： (2).25【解析】(1) /(x) = |x-2| + |3x"4| = <4x-6,x> 22x-2, <x< 2,34一 4x + 6,x«-3由“>2得<x>24x-6>24。 <x<2 3 或,2x-2>23-4x + 6 > 2得x>2或。或xvl,，不等式解集xlxvl或x>2./ 4 1 2(2)根據圖象知：/(x)min=/ -| = -, ：.3a+4h = 2,1 3 / 3所求可看做點(2,0)到直線3x+4y 2 = 0的1他的平

11、方，4 = 誓曰=±V32 +42 5【點睛】本題考查了解絕對值不等式，求函數最值，意在考查學生的許算能力和綜合應用能力，轉化為 點到直線的距離是解題的關鍵.5.12020山西省高三其他】已知函數/(x) = |3x + 6|, g(x) = |x-3|.(1)求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若x) + 3g(x)之為對于任意x£R恒成立，求實數。的取值范同【答案】(1)973)-(2)【解析】(1)由f(x)>g(x)，得|3x+6|x-3|,平方得(3x+6)2>(x3)，得9/ +36x + 36> x2 -6x + 9，得 8/+42

12、工 + 27>0，得(2x+9)(4x+3)>0,93解得X V 一二或X > 一 三 .24(9)(3、故不等式/(x)>g(x)的解第是一°°，-3 d 一不 .(2)若x)+3g(x)A2一方恒成立，即段+6|+|31-9|卜右一北恒成立只需(|3x+6|+3|x-3bmm >a2-2a 即可.lHi|3x+6|4-|3x-9| >|3x + 6-(3x-9)| = 15 ,所以/一2。415,得/-2a-15KO，解得一故實數。的取值范惘是：3,5【點睛】本題考查了含有絕對值不等式的解法、含參不等式的恒成立問題，考察了數學運算技能

13、和邏輯 推理能力，轉化的數學思想，屬于一般題目.6 .【2020河北省高三其他】已知函數f(x) = k+l|+|2x2|, g(x) = kl|+k+3?|一z.(=)求函數/(x)的最小值；(=)對于任意玉eR,存在eR,使得戶8(毛)成立，求 ？的取值范圍.3 1【答案】(Z) 2； (I).j-3x +1, x v -1解析(二)/(a-) = |x + 1| + |2x-2| = < -x + 3,-1<x<1 ,3x-l,x > 1上單調遞減，在。,+8)上單調遞增，"“),. = "1) = 2,故當X = 1時，/(x)取得最小值2.

14、(口)由。得 1焉=2,而 8(大)=卜-1| + 卜+3團|一1之,_1_-丫_3團|一1 =|1+3，一團，當x = l時等號成立，由題意知，對任意玉仁足，存在使得xj2g(%)成立，則/(力出之江立獷即2邛+3向一切,2+m>0所以?(2+ /?)' >(1 + 3/7?)"31解得：一二,423 1即團的取值范圍為.I 4【點睹】本題考查根據分類討論和單調性求函數的最值，絕對值不等式的解法，以及絕對值三角不等式 的性質和根據不等式恒成立問題求參數取值范惘，考查轉化思想和運算能力.7 .【2020山西省太原五中高三月考】已知函數fWTx-41 + ll xl

15、, xgR(1)解不等式：/W<5.112(2)記/*)的最小值為M，若實數。，8滿足c+=M，試證明：一一十二一2二.cr +2 /?" +1 3【答案】(1)xl0<x<5 (2)證明見解析2x-5,x> 4【解析】(1)/3)=1X-41 + 11-巾=3,1於它4一 2x + 5,x< 12x-5W5 x>4或1Q&4或,2x + 5W5 x<.4<.小或長它4或2<1,，0令舉,，不等式的解集為“攵運5)：因為/(%)=1X一41 + 11-工以-4) + (1-工)1=3(當且僅當1«X工4等號成立)

16、,所以所力的最小值M = 3,即a=一(當且僅當M = 1 /2 = 2等號成立). 【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法和利用基本不等式求最值，屬于中檔題.a2 +48.【2020河北省河北正中實驗中學高三其他】已知函數/(x)=x +lx + 2l(a<。)，ag(x) = 8-lx + 3L(1)當。=1時，求不等式/(x)K 11的解集：(2)若關于x的不等式/(x)Kg(x)的解集包含求。的取值集合.【答案】(1) H，7： (2) -23 - 2x, x < -2【解H】T ；1 時，/(x) = |x 5| + |x+2| =< 7,2<x<5 ,2

17、x - 3, x > 5+b2=3,所以Ke,a2 + 2 + b2 + /+2)+ ( +川弓12 + 9 +Ja2+2 b2+6/72+1x->(2 + 242/tr+2 /r+163 2工411x<-2得：-4<x<-2：由7<11-得：一2cx<5：由，-2 < x < 52x-3<llx>5得：5<x<7,綜上所述：的解奧為<7(2)由題意可知：當工£-2,-1時,a2 +4 x +a+ |x + 2| < 8 |.v + 3 卜恒成立,a2 +4< 8 -|x+3| -|x+2

18、 恒成立,.avO, .<0,當 xe2,1時，x + Ii_±do, x+3>0, x + 2>0. aa/.-x-il<8-x-3-x-2 = 3-2x>2 %一3在-2,-1上恒成立,er + 4>-4,又“<0,可解得：a = -2.人的取值集合為-2.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、恒成立問題的求解；關鍵是能夠根據解集的子集將問題轉化為 在不等式在子集范惘內恒成立問題的求解，進而通過分離變量將問題轉化為所求變量與函數最值之間的 大小關系求解問題.9.12020廣東省湛江二十一中高三月考】函數/(x) = k+4+|x-4 + C

19、'其中>0，b>0, c>0.(1)當 = b = c = l時，求不等式/(x)>4的解集;,222(2)若/(x)的最小值為3,求證： + + >3. a b c【答案】(1)3)p'3u(|，+s). (2)見解析【解析】(1)當o = /? = c = l時，不等式/(x)>4,H|J |x +1| + |.v -1| +1 > 4 r |x +1| + |x -1| > 3.3當工之1時，化為x+l + x l >3,解得x>二: 2-1 <x v 1 時，化為 x +1 (x - 1) > 3

20、此時無解;3:與/« 1 廿，化為一(X + l) (x l)>3,解得x< 乙綜上可得，不等式/(x)>4的解奧為:3OQ, 2【2(2)由絕對值三角不等式得f(x) = x + a + x-b + c>(x + a)-(x-b + c = a+b + c = 3 .由基本不等式得生+ 422" + b>2c, + c>2a , abc.222三式相力”. F - + a + b + c>2a + 2b + 2cf a b c整理即得生+三+工2 + + c = 3,當且僅當。=/? =。= 1時，等號成立. a b c【點睛】本

21、題考查了解絕對值不等式，絕對值三角不等式，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.10.【2020銀川高級中學高三月考】已知J'(x)=lx - ll + lx+ll,不等式/*)<4的解集為M.(1)求集合M：(2)當時，證明：2a + b<14 + ab .【答案】知=(一2；(2)證明見解析.2xx < - 1【解析】(1)/(幻=上一1|+厄 + 1| = (2-1<x<1,2x x> 1所以/*)v4等價于x<-l -1<x<1 fx>l-2x<42<4' 12x<4-241或一1

22、<*<1或1<不<2,2 v x v 2, A/ = (2,2) (2)當凡beM 時,即一2<a v2,-2v<2, 4(a+b)2 -(4 + ab)2 =4a2 +4b2-16-a2b2=(。2-4)(4一/)<0,/. 4(。+ h)2 <(4 + ab)2，.二 21 a + Z? I<l 4 + 4。I.【點睛】本題考查絕對值不等式求解、不等式的證明，分類討論去絕對值是解題的關鍵，利用作差法 證明不等式，屬于中檔題.11.12020黑龍江省哈爾濱三中高三其他】已知函數x) = kd + k + M，(4>0,>0).

23、(1)當4 = 1, = 3時，求不等式f(x)v6的解集；(2)若“X)的最小值為2,求證：+ ->1. a+ b+【答案】(1) (-4,2)： (2)證明見解析.【解析】(1)依題意打一1| +卜+3|<6,當xNl時，xl+x+3<6,解得x<2,即當一3<xcl時，1x+x+3<6,解得4<6成立，即一3<xvl,當x<3時，1一工一工一3<6,解得即TcxvB,綜上所述，不等式的解集為(-4,2).(2) f(x) = x-a + x+b>x-a)-x+b = -a-b = a+b,所以。+Z? = 2111/7一

24、/ 11 1 "1a + b + 14、A« + lb + 1)4 a + 1b + l J當且僅當。= b = l時，取等號.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法、基本不等式證明不等式，屬于基礎題.1312.12020重慶高三月考】已知函數/(x)= 21+ 5+。工-5 .(1)當 =一1時，解不等式/(x)<3x；(2)當。=2時，若關于x的不等式4/(x)v2|l-|的解集為空集，求實數6的取值范同【答案】 “1%之一； (2) -6,8.2【解析】(1)當。=1時，不等式可化為/(x)W3xI3-(2a + -) + (x-)<3x2213(2x +

25、-)-(x-)<3x22(2x + ) + (x-) < 3x22“<或"3或24242故不等式/(X) K 3x的解集為XI %之一；乙117(2)當。=2時,/(x) =12x + -1 +12x-31>(2x+ -)-(2x-3) 1=- 222137(當且僅當一一WxK不時取等號)，則不等式4/(x)min=4x = 14 4,22因此4/(x)<2ll- I的解集為空集等價于2llbK14,解得故實數b的取值范惘是-6,8【點睛】本題考查分類討論解含絕對值不等式、絕對值三角不等式應用，考查基本分析求解能力，屬 中檔題.13.12020四川省綿陽

26、南山中學高三一模】已知。，b，。均為正實數，求證：(1) (t/ + Z?) ( ab + c2> 4abc ；(2)若。+c=3,則vm+>/m+T?TTwsvi.【答案】證明過程詳見解析【解析】(1)要證(4+匕)("+。2”加機'，可證 a2b + ac1 + ab2 + be2 - 4abc >0 ,需 U b(。 + c 2"c) + a (c + b 2bc > 0 , 即證6(。一。)2+。«與220,當且僅當。=6 =。時，取等號，由已知，上式顯然成立， 故不等式(。+ /»(，心+ c2) > 4a

27、be成立.(2)因為a,6,c均為正實數.由不等式的性質知>/百.J?K " +：+ 2 = W ,當且僅當。+ 1 = 2時，取等號， 22g四婦詈當且僅當。+1=2時，取等號，后點葉詈當且僅 2222當c+l = 2時，取等號，以上三式相加，得 >/2 (y/a + l + yjb + 1 + y/c + 1 j <= 6片以 y/a + 1 + yjb + 1 + Jc + 1 < 35/2 , "1 且僅當。=Z? = C = 1 時,取等號.【點睛】本題考查了不等式的證明問題，在求解過程中可以運用基本不等式、對要證明的不等式進行 化簡等方法來求證，關鍵是要靈活運用基本不等式等方法求證結果.3114