1、實驗6 微分方程與級數實驗目的：1. 學習 Matlab 求解微分方程命令dsolve；2. 學習 Matlab Taylor 級數展開命令；3. 鞏固冪級數的收斂半徑、和等概念。l學習 Matlab 命令l求解一階微分方程l求解二階微分方程lTaylor 展開式l級數求和實驗內容：1. 學習Matlab命令Matlab求解微分方程命令 dsolve 調用格式：dsolve(微分方程) 給出微分方程解析解，表示為的函數；dsolve(微分方程,初始條件) 給出微分方程初值問題的解析解，表示為的函數；dsolve(微分方程,變量 x) 給出微分方程的解析解，表示為 x 的函數；dsolve(微分

2、方程,初始條件,變量 x) 給出微分方程初值問題的解析解，表示為x的函數；求函數的Taylor 展開式 taylor 命令，調用格式：taylor(f(x) f(x) 的5次 Taylor 多項式；taylor(f(x),n) f(x)的n-1次Taylor多項式；taylor(f(x),a) f(x)在 a 點的Taylor多項式。求級數和命令 symsum，調用格式：symsum(S,n) symsum(S,k,m,n) nS nmkS2. 求解一階微分方程微分方程在輸入時，y應輸入Dy，y”應輸入D2y，D應大寫。例1symssyms x; x;dsolve(Dy+2dsolve(Dy+

3、2* *x x* *y=xy=x* *e(-x2)e(-x2) 在 Command Window中鍵入：22xxexydxdy 求下面微分方程的通解ans = 1/2*e(-x2)+exp(-2*x*t)*C112221Ceeyxtx 系統默認的自變量是 t，把 x 當作常數，把 y 當作 t 的函數求解。若輸入命令：symssyms x; x; dsolve(Dy+2*x*y=x*e(-x2),x)ans = -1/2/(-1+log(e)*exp(-x2*log(e)+exp(-x2)*C1例2下的特解；下的特解；在初始條件在初始條件求微分方程求微分方程eyeyyxxx201 dsolve

4、(x*Dy+y-exp(x),y(1)=2*exp(1),x) 在 Command Window中鍵入：ans = 1/x*exp(x)+1/x*exp(1) 例3下的特解；下的特解；條件條件在初始在初始求微分方程求微分方程10cos2)1(02 xyxxydxdyxdsolve(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0, y(0)=1, x) 在 Command Window中鍵入： ans = (sin(x)-1)/(x2-1)3 求解二階微分方程例4的通解；的通解；求微分方程求微分方程03 xeyy dsolve(D2y+3*Dy+exp(x)=0,x) 在 Command Win

5、dow中鍵入： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x)例5的通解；的通解；求微分方程求微分方程02 yeyy dsolve(D2y-exp(2*y)*Dy=0,x) 在 Command Window中鍵入：ans = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 C2展開式；展開式；階階處的處的展開式及在展開式及在階階點處的點處的在在求函數求函數TaylorxTaylorxxy6650cos syms x;taylor(cos(x)4 Taylor展開式例6ans = 1-1/2*x2+1/24*x4 syms x

6、;taylor(cos(x),pi/3,7)ans = 1/2-1/2*3(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)2+1/12*3(1/2)*(x-1/3*pi)3+1/48*(x-1/3*pi)4-1/240*3(1/2)*(x-1/3*pi)5-1/1440*(x-1/3*pi)6 5 級數求和；求求 121nn例7 syms n; symsum(1/2n,1,inf)ans = 1syms n;symsum(sin(pi/(n*(n+1),1,inf)例8的斂散性；的斂散性；判別級數判別級數 1)1(sinnnn ans = sum(sin(pi/n/(n+1),pi = 1 . inf)由結果看，其中仍含有sum，說明matlab不能求其和，可采用其它判別法。取比較級數為 p 級數 121nnp 級數收斂，故原級數收斂。limit(sin(pi/(n*(n+1)/(1/n2),n,inf)取二者通項比值的極限ans = pisyms n;limit(n+1)*(3/4)(n+1)/(n*(3/4)n),n,inf)例9的斂散性；的斂散性；判別級數判別級數 1)43(nnnans =3/4用比值判別法，求極限nnnn