1、數學建模作業題之一 垃圾運輸調度問題某城區有個垃圾集中點，每天都要從垃圾處理廠（第號節點）出發將垃圾運回。不考慮垃圾的裝車時間。現有一種載重 6噸的運輸車，運輸車平均速度為40公里小時（夜里運輸，不考慮塞車現象）；每臺車每日平均工作 4小時。運輸車重載運費1.8元/噸公里；運輸車空載費用0.4元/公里；并且假定街道方向均平行于坐標軸。運輸車應如何調度（需要投入多少臺運輸車，每臺車的調度方案，運營費用）? 請給出滿意的運輸調度方案以及計算程序。附：垃圾點地理坐標數據表序號站點編號垃圾量T坐標(km)序號站點編號垃圾量T坐標(km)xyxy111.503220151.40199221.501521

2、321.20225330.555422221.80210441.204723231.40279560.850824241.601519651.3031125251.601514771.207926261.002017882.309627272.002113991.4010228281.00242010101.5014029292.10251611111.1017330301.20281812122.7014631311.9051213131.8012932211.30171614141.80101233331.6025715200.6071434341.2092016161.502163535

3、1.5091517170.8061836361.30301218181.50111737370.000019190.801512垃圾運輸車調度建模求解摘要：本文垃圾車運輸調度問題屬于離散型最優化問題，通過遺傳算法對其進行分析求解。首先對垃圾站點之間分布位置的分析，構造出解決垃圾運輸問題的模型，對所給數據繪制其xy散點圖，根據題設提出自己假設的條件。其次，結合已有的模型，對垃圾點之間的位置分布關系進行討論及證明，從而確定最基本的行車路線原則。然后，利用MATLAB軟件編寫程序，利用計算機進行模擬，從而搜索出各運輸車輛的數量以及最佳的分配方案，使得在不考慮鏟車及其裝車的情況下合理調度，使得運輸費用

4、最少。最后求解求得全部的運輸費用是2345.4元，花費的總時間是16.5小時；具體的路線分配圖及車輛調度圖見正文部分。本文討論的解題方法模型簡單，得出的結果只是一個近似最優解的可行解，所以還有很大的改進空間，比如我們可以采用更加智能的算法等。 關鍵詞：計算機模擬 離散型 最優化 MATLAB 運輸車調度0. 問題的提出某城區有個垃圾集中點，每天都要從垃圾處理廠（第號節點）出發將垃圾運回。不考慮垃圾的裝車時間。現有一種載重 6噸的運輸車，運輸車平均速度為40公里小時（夜里運輸，不考慮塞車現象）；每臺車每日平均工作 4小時。運輸車重載運費1.8元/噸公里；運輸車空載費用0.4元/公里；并且假定街道

5、方向均平行于坐標軸。運輸車應如何調度（需要投入多少臺運輸車，每臺車的調度方案，運營費用）?1.模型的基本假設與符號說明（一）基本假設1車輛在拐彎時的時間損耗忽略。2車輛在任意兩站點中途不停車，保持穩定的速率。3只要平行于坐標軸即有街道存在。4無論垃圾量多少，不考慮裝車時間。5每個垃圾站點的垃圾只能由一輛運輸車運載。6. 假設運輸車從A垃圾站到B垃圾站總走最短路線。7. 任意兩垃圾站間的最短路線為以兩垃圾站連線為斜邊的直角三角形的兩直角邊之和。8. 建設在運輸垃圾過程中沒有新垃圾入站。9. 假設運輸車載工作途中不發生意外也不遇到意外；10.各垃圾站每天的垃圾量相對穩定。（二）符號說明|A| 表示

6、A點到原點的距離，恒正|B| 表示B點到原點的距離，恒正|A-B| 表示A,B兩點之間的距離,恒正Ta 表示A點所在地的垃圾量Tb 表示B點所在地的垃圾量cost：運費； time：時間消耗；裝的足夠多:運輸車當前的載重離限載不大于0.55t(垃圾點的最小垃圾量)站點編號: 所在點的編號2模型的建立垃圾運輸問題最終可以歸結為最優路徑搜索問題，但注意到此圖為森林而不是樹，不能直接套用Krusal，Prim等現成算法，于是根據具體問題設計出隨機下山法，用計算模擬搜索，可以搜尋到令人滿意的可行解。先注意到兩點的情況，設兩點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)。主要有以下兩種情況：一A,B明顯有先

7、后次序。-遞減狀態（如圖1所示）不妨設x1x2, y1y2,不難看出A在B的后方,即A比B遠。對于前方參考點O,要將A,B對應垃圾點的垃圾全部取回再返回O,一共有三種方式：1O-A-O, O-B-O單獨運輸。這種情況下，總的路程消費等于空載運行費用(0.4元/公里)與裝載時運行費用（1.8元/公里噸）的總和。所需的總時間等于車輛所走過的總路程與速度（40公里/小時）的比值，于是有：Cost = 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta + 0.4*|B| + 1.8*|B|*TbTime = (2*|A| + 2*|B|)/402. O-A-B-O 先遠點再近點，即先空載至最遠處，裝完A點垃圾

8、后再返回至B,再回O點，有： Cost = 0.4*|A| + 1.8*|A-B|*Ta +1.8*|B|*(Ta+Tb) = 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta + 1.8*|B|*Tb Time = 2*|A|/40 3. O-B-A-O 先近點在遠點，即先裝B點垃圾，然后載著B點的垃圾奔至A點，再回O點，有： Cost= 0.4*|B| + 1.8*|A-B|*Tb + 1.8*|A|*(Ta+Tb) = 0.4*|B| + 1.8*|A|*Ta + 1.8*|B|*Tb + 1.8*|A-B|*2*Tb Time = 2*|A|/40 比較以上三種情況，遠近點的遍歷順序，可以看出

9、，“先遠后近”絕對比“先近后遠”在花費錢的數量上要少的多，省出1.8*|A-B|*2*Tb這部分的錢主要是車載著B點的垃圾奔到A點再返回B點。而又注意到兩者的時間花費是相等的。所以在其余同等的情況下選擇“先遠后近”。考慮到時間上單獨運輸比其余的兩種運輸要大的多，而且花費的錢仍不比“先遠后近”省，還多了0.4*|B|，所以一般情況下，不采用單獨運輸。二A，B兩點沒有明顯先后順序（|A|=|B|且相聚較遠）。 -并鄰狀態（如圖2）還是一共有三種情況： 1O-A-O, O-B-O單獨運輸。這種情況下，跟A,B兩點有先后順序中的情況完全相同，即有：Cost = 0.4*|A| + 1.8*|A|*Ta

10、 + 0.4*|B| + 1.8*|B|*Tbtime = (2*|A| + 2*|B|)/402O-A-B-OCost = 0.4*|A| + 1.8*|A-B|*Ta + 1.8*|B|*(Ta+Tb) -1Time = (|A| + |A-B| + |B|)/40 3.O-B-A-OCost = 0.4*|B| + 1.8*|A-B|*Tb + 1.8*|A|*(Ta+Tb) -2Time = (|A| + |A-B| + |B|)/40相比之下，清晰可見并鄰狀態下的單獨運輸所花的費用較少，所以在不要求時間的情況下對于并鄰兩點，采用單獨運輸的方式最節約錢。用式與式相減除以1.8， 得到如

11、下判斷式：|A-B|*(Ta-Tb) + (Ta+Tb)*(|B|-|A|) -上式 A-B-O;上式 0時， 選 O-B-A-O;上式 = 0時， 任意選上述兩路線。三兩點選擇趨勢的討論。 （如圖3所示）由圖中看到B,C兩點沒有明顯的先后順序，屬于并鄰點。因為當運輸車載重行駛時費用會成倍的增長，比其空載時所花費用要大的多，所以排除A-B-C或A-C-B這樣的一次經過3點的往返路線，僅選擇B,C中的某一點與A完成此次運輸，將另一點留到下次。那么A點選擇B還是C呢？不妨假設|B|C|,即B點離原點的距離比C點的更遠，因為A在B,C之后，所以也就是B點離A點更近。這樣，此次的運輸我們更趨向于選擇A

12、-B,因為就這三點而論，A無論是選B還是C，三點的垃圾總要運完，所以花費的錢是一樣的。但選擇A-B后，下次運輸車運C點垃圾時就無需跑的更遠。四關于垃圾點的垃圾是否一次清除的討論由假設2知，每天的垃圾必須清除完畢，全部運往37點。這里說的一次清除問題不是指一天，而是指當一輛運輸車已經裝載了足夠多的垃圾，不能完全清理下一個垃圾點的時候，車在下一個站點“停還是不停”的問題。例如，一輛運輸車選擇了30-26-18-35-20的路線（即先將空車開往30，清理裝載30點的垃圾，然后依次到26，18，35，20），它從20返回時車已經裝載了5.8噸垃圾，仍可以裝0.2噸(小于垃圾點垃圾量的最小值0.5，稱這

13、種情況為“裝的足夠多”)。在20點下方仍有不少的點，但肯定不能將下面的任意點的垃圾裝完，那么此車是直接返回37點呢，還是繼續裝直至車裝滿為止呢？我們判斷前者更好，就是車在裝的足夠多的情況下應該直接返回原點（37點）。這是因為對于下一垃圾點(假設為A點)內的垃圾而言，無論是一次裝完還是分兩次裝完，將它們運回所花費用是恒定的，等于1.8*Ta*|A|。整體而言，兩者花費的錢是相等的，但分兩次裝要若考慮裝車時間則其時間更多，所以選擇前者。綜上所述，得出搜索的基本原則：1在兩點遞減的情況下，不采用單獨運輸；2在其余同等的情況下選擇“先遠后近”；3不要求時間的情況下對于并鄰兩點，采用單獨運輸的方式最節約

14、錢；4車在裝的足夠多的情況下應該直接返回原點（37點）；5每一次布局和每條線路的搜索不妨由剩下未搜點中的最大值開始。3模型的求解（1）首先根據題所給的數據，利用MATLAB軟件畫出散點圖，如圖四所示。圖四 垃圾站位置坐標圖（程序如附錄一所示）（2）在不考慮鏟車的情況下，及其裝載時間，根據基本原則編寫程序，進行求解。可得到運輸車的最優路線和運營費用及其時間。（程序見附錄二）求得運輸車總運營費用為2345.4元,重載總費用2213.4元，空載總費用132元，總時間為16.5小時(見表一)。其中運輸車共有十一輛，路線共有十一條，運輸車的最優路線為（運輸路線圖如下圖圖五所示）：表一:各個線路的費用和所

15、需時間站點編號空載費用（元）運營噸位（t）所花時間（h）一號線0-30-29-27-3-018.45.852.3二號線0-28-26-21-25-6-017.65.752.2三號線0-36-23-33-32-016.85.52.1四號線0-24-18-35-20-013.65.21.7五號線0-34-17-16-2-011.651.45六號線0-15-11-10-011.241.4七號線0-19-13-8-010.84.91.35八號線0-14-7-4-1-08.85.71.1九號線0-22-08.41.81.05十號線0-12-9-084.11十一號線0-31-5-06.83.20.85合計

16、1325116.55模型優缺點分析然而，該問題在站點眾多，運輸半徑較大的前提下，缺點就會顯得尤為突出。首先是運輸車載重的不足，當運輸車的載重不能滿足其中任一點的垃圾量時，模型就可能不能適用了，該模型優點是算法簡單容易實現。參考文獻 1全國大學生數學建模競賽 優秀論文匯編.中國物價出版社，20022宋兆基，徐流美等.數學MATLAB6.5在科學計算中的應用.北京：清華大學出版社，20053薛定宇，陳陽泉著.高等應用數學問題的MATLAB求解.北京：清華大學出版社，2011附錄附錄一：（各個垃圾站的位置坐標）clearx=3 1 5 4 3 0 7 9 10 14 17 14 12 10 19 2

17、 6 11 15 7 17 21 27 15 15 20 21 24 25 28 5 22 25 9 9 30 0;y=2 5 4 7 11 8 9 6 2 0 3 6 9 12 9 16 18 17 12 14 16 0 9 19 14 17 13 20 16 18 12 5 7 20 15 12 0;t=1.50 1.50 0.55 1.20 1.3 0.85 1.20 2.30 1.40 1.50 1.10 2.70 1.80 1.80 1.4 1.50 0.80 1.50 0.80 0.6 1.3 1.80 1.40 1.60 1.60 1.00 2.00 1.00 2.10 1.20

18、 1.90 1.2 1.60 1.20 1.50 1.30 0.00;i=1:37;a=1:37;plot(x,y,*r)for ii=1:37 k=int2str(ii); k=strcat(P,k); text(x(ii),y(ii),k);end附錄二：（運輸車的調度）clearx=3 1 5 4 3 0 7 9 10 14 17 14 12 10 19 2 6 11 15 7 17 21 27 15 15 20 21 24 25 28 5 22 25 9 9 30 0;y=2 5 4 7 11 8 9 6 2 0 3 6 9 12 9 16 18 17 12 14 16 0 9 19

19、14 17 13 20 16 18 12 5 7 20 15 12 0;t=1.50 1.50 0.55 1.20 1.3 0.85 1.20 2.30 1.40 1.50 1.10 2.70 1.80 1.80 1.4 1.50 0.80 1.50 0.80 0.6 1.3 1.80 1.40 1.60 1.60 1.00 2.00 1.00 2.10 1.20 1.90 1.2 1.60 1.20 1.50 1.30 0.00;i=1:37;a=1:37;plot(x,y,*r)for ii=1:37 k=int2str(ii); k=strcat(P,k); text(x(ii),y(i

20、i),k);end %描出垃圾點坐標散點圖w=i;x;y;t;a;w(5,:)=0; %標志位置零jg=zeros(11,11); %記錄矩陣for i=1:20 %假定需要20條路線 sum=0; %sum記錄垃圾點的垃圾量 j1=1; s=0; m=37; %當前點指示符 i3=37; for j=1:36 if(w(2,j)+w(3,j)s&w(5,j)=0) s=w(2,j)+w(3,j); jg(i,j1)=w(1,j); sum=w(4,j); m=j; %記錄每條路線中最遠點的點號 else continue; end end w(5,m)=1; %標志位置1，表示已到過該點 j

21、1=j1+1; %記錄矩陣移至所在行的下一個元素，以記錄下一個所到的點 while 1 js=0; q=40; for k=1:36 if(qw(2,m)-w(2,k)+w(3,m)-w(3,k)&w(2,m)w(2,k)&w(3,m)w(3,k)&(6-sum)w(4,k)&w(5,k)=0 %尋找距離當前點最近的點，找到的點是否是在當前點左下方, 垃圾車是否裝滿以及到過該點 q=w(2,m)+w(3,m)-w(2,k)-w(3,k); js=1; jg(i,j1)=w(1,k); i3=k %記錄距離當前點最近點的點號 else continue; end end w(5,i3)=1; %

22、標志位置1，到過該點 sum=sum+w(4,i3); j1=j1+1; m=i3; if(w(2,i3)=0&w(3,i3)=0|js=0) %判斷是否車已回到原點或已搜索完畢 break end endendkcost=0; %空載費用zcost=0; %滿載費用allcost=0; %總費用n=0;for u1=1:11 for u2=1:11 if jg(u1,u2)=0 n=jg(u1,u2); else continue end zcost=zcost+w(4,n)*1.8*(w(2,n)+w(3,n); end n=jg(u1,1); kcost=kcost+0.4*(w(2,n

23、)+w(3,n);endallcost=zcost+kcostzcostkcosti=1:11;time=i;time(1,:)=0;n1=0;n2=0;n3=0;for u4=1:11 for u5=1:11 if jg(u4,u5)=0 n1=jg(u4,u5); n2=n2+1; else continue end end n3=jg(u4,1); time(1,u4)=(w(2,n3)+w(3,n3)*2)/40;endn2 time jg計算結果：allcost = 2.3454e+003zcost = 2.2134e+003kcost =132time =2.3000 2.2000

24、 2.1000 1.7000 1.4500 1.4000 1.3500 1.1000 1.0500 1.0000 0.8500jg = 30 29 27 3 0 0 0 0 0 0 0 28 26 21 25 6 0 0 0 0 0 0 36 23 33 32 0 0 0 0 0 0 0 24 18 35 20 0 0 0 0 0 0 0 34 17 16 2 0 0 0 0 0 0 0 15 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0 19 13 8 0 0 0 0 0 0 0 0 14 7 4 1 0 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 9 0 0

25、0 0 0 0 0 0 0 31 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0作業題之二：招聘問題某單位組成了一個五人專家小組，對101名應試者進行了招聘測試，各位專家對每位應聘者進行了打分（見附表），請你運用數學建模方法解決下列問題：（1）補齊表中缺失的數據,給出補缺的方法及理由。（2）給出101名應聘者的錄取順序。（3）五位專家中哪位專家打分比較嚴格，哪位專家打分比較寬松。（4）你認為哪些應聘者應給予第二次應聘的機會。（5）如果第二次應聘的專家小組只由其中的3位專家組成，你認為這個專家組應由哪3位專家組成。數據附表表一序號專家甲專家乙專家丙專家丁專家戊序號專家甲專家乙專家丙專家丁專家戊16873

26、85888623699065657629269746583249285826668388767670802568*65848748173849894267166617594583799583982761747687786846786566628638069768477676686486298668957184853966595943064836190969*977687643160859667871066938090733282849778601185958181693388926659951278669990713460917878811358867263813559977576881494

27、847078863665878664961594818066923784788361851693669174973865936299831763749063923992997986901891798385844084829295761994956496954194906566842056679197564290798581582161807970694367898475932286967984754463826569664585978384707463719286684686766487697567828763864788889680877691739079744862987493627763

28、93979076498093858272788783659168508784809364796584738798519485947493807864828590525575938460818192657782539068889283829082926690545995697574836473845876559863806384847894776795569355668496856184756972577564659463869093729473586394*827687937383909059718261576188697288947460557295856489886388766661865

29、567628090765672758262516578948091827494898763819473639592606584857364906395918793758466707565608364798394797478638566749496897695746491947967637491948396705595836968586384847297939474738569689391829198858379957170708375967699816370799571867373759410086859287747297839764681019278857093737881877869注：*

30、表示專家有事外出未給應聘者打分企業招聘問題建模求解摘要：隨著社會的高度細化發展，企業對人才的要求也日趨嚴格。在大量面試招聘數據下，通過運用數學知識進行相應數據處理顯得尤為重要。常見的招聘問題，在給定大量招聘成績后，使用數理統計中的樣本均值和樣本標準差進行篩選和排名，輔助以相關統計軟件工具（SPSS,EXCEL，MTLAB)，可以使問題得到很好的解決。同時，通過概率論中的正態分布，可以大體把握招聘數據的基本規律。運用MATLAB擬合功能可以很好地求得殘缺數據。關鍵字：數理統計、樣本均值、標準差、正態分布、招聘測試0.問題的提出某單位組成了一個五人專家小組，對101名應試者進行了招聘測試，各位專家

31、對每位應聘者進行了打分（見表1），請你運用數學建模方法解決下列問題：（1）補齊表中缺失的數據,給出補缺的方法及理由；（2）給出101名應聘者的錄取順序；（3）五位專家中哪位專家打分比較嚴格，哪位專家打分比較寬松；（4）你認為哪些應聘者應給予第二次應聘的機會；（5）如果第二次應聘的專家小組只由其中的3位專家組成，你認為這個專家組應由哪3位專家組成。1.模型的基本假設及其分析本招聘問題是五位專家對101個應試者評分，并且每一位專家的評分標準各有差異，如何采用有效的數學方法對各位專家的打分進行綜合分析，從而選擇出真正的優秀應聘者是我們建立此模型的原因所在。我們運用數學知識對該應聘進行分析，由多數據的

32、標出可知，發現該題是個統計分析問題。由于面試過程絕對的公平是做不到的，只能體現相對公平公正。我們通過數據要能體現實際真實情況，必須要求數據具有很強的代表性和客觀性。為此對問題中的數據做以下合理假設，以滿足數理統計問題中的基本要求，從而可以對問題合理的簡化建模處理。我們對本招聘問題進行一下假設：1) 保證招聘過程中專家打分都是客觀公平公正，并且通過招聘成績數據能夠真實反應應聘者的綜合能力。2) 專家與專家，應聘者與應聘者，專家與應聘者之間的關系都是相互獨立的。3) 假定面試專家組的各位專家打分情況符合各自打分要求，打分風格，并且符合一定的數學規律，具有參考價值。4) 用人單位對每位專家的重視程度

33、都一樣，每位專家的打分權重假設都一樣。5) 在給定的數據中，我們假設都很好地符合數理統計規律，滿足正態分布的特點。我們可以利用正態分布函數的一些規律，對相應的數據參量進行求解。2.模型的符號簡要說明EA 專家甲的打分分值期望；A 專家甲的打分標準值。EB 專家乙的打分分值期望；B專家乙的打分標準值。EC 專家丙的打分分值期望；C專家丙的打分標準值。ED 專家丁的打分分值期望；D專家丁的打分標準值。EE 專家戊的打分分值期望；E專家戊的打分標準值。G（i）i=1、2、3、4 .101 第1至101位應聘者專家打分的平均值 參加第二次應聘人數的加權比例系數 3.模型的建立和求解1) 對缺損數據的求

34、解首先，通過問題中的表1數據，運用EXCEL軟件和數理統計中樣本均值的求解方法，將相關數據處理分析，并求出每一位應試者的原始總分和平均分（殘缺的分數先不做處理），并且按照各位考生的平均分排序，得到整合后的表2，由此，可以很好地反應出應試者的整體成績面貌。由于殘缺的數據出現在專家甲乙丙中，構造正態分布函數： （式1） 以專家甲的情況為例，將甲對101名面試者的成績分別帶入到正態分布函數中，得到分布函數曲線，其模擬曲線方程如下（式2）所示，其中（x=N/5，N為序號數，下同）： (式2)這個過程通過MATLAB軟件完成，要求注意的是帶入數據必須按照（表2）的編號順序進行，當輸入36（EXCEL中對

35、應的殘缺數據行序數）時，通過以上分布函數方程-式2，求的最后的結果為 （36）=68.253。同理可知，分別將專家乙，專家丙的打分分別帶入到正態分布函數中，得到的模擬曲線方程分別如下（式3），（式4）所示： （式3）(式4)由MATLAB擬合成對應函數，然后在對應函數中輸入對應考生序列號。由表2知道，乙與丙的考生序號分別取74,59。然后再分別將這兩個值帶入到方程-式3，式4中計算，最終我們通過計算得缺損數據分別為：專家乙缺失數據為(74)=92.056，專家丙缺失數據為（59）=84.624。考慮到實際情況，考分保持一致取整數，所以甲，乙，丙三位專家的缺失數據分別取為：68, 92, 85.

36、表二編號考生序號專家甲專家乙專家丙專家丁專家戊原始總分平均分總分139929979869044689.2446219949564969544488.8444351948594749344088440447888896808743987.843955837995839843887.643864817384989443086430787937383909042985.8429840848292957642985.8429966749496897642985.84291064906395918742685.24261191827494898742685.24261269689391829142585

37、42513100868592877442484.84241418917983858442284.44221586909372947342284.44221616936691749742184.24211753906888928342184.2421188290829266904208442019228696798475420844202097939474738541983.84192145859783847041983.84192277639397907641983.841923101927885709341883.64182415948180669241382.641325988583799

38、57141382.64132614948470788641282.44122749809385827241282.44122811859581816941182.24112984789477679541182.24113072978397646840981.84093150878480936440881.64083243678984759340881.64083376917390797440781.44073479658473879840781.44073563819473639540681.240636968977687643248139237676374919483405814053829

39、866895718440480.84043912786699907140480.8404408539665959440380.64034195746491947940280.44024210669380907340280.44024338659362998340280.44024471867373759440180.24014532828497786040180.2401463388926659954008040047707083759676400804004816873858886400804004941949065668439979.83995080786482859039979.8399

40、5136658786649639879.63985281819265778239779.43975388697288947439779.4397543160859667873957939555355997757688395793955656935566849639478.83945778878365916839478.83945830648361909639478.83945958639484827631578.753996024928582666839378.63936142907985815839378.63936273788187786939378.6393633784788361853

41、9178.23916438876767080390783906548629874936238977.83896655986380638438877.63886799816370799538877.63886834609178788138877.63886975678287638638577385702926974658338376.63837146867664876938276.43827217637490639238276.43827389886388766638176.2381742568926584873047639675746371928668380763807694797478638537975.83797727617476877837675.23767896705595836937274.43727928638069768437274.43728054599569757437274.43728160557295856437174.237182776766864863707437083937584667075370743708465608364798336973.83698562516578948036873.6368862