1、精選優質文檔-傾情為你奉上空間向量在立體幾何中的應用題組一一、填空題1（北京五中2011屆高三上學期期中考試試題理）一個正方體形狀的無蓋鐵桶的容積是，里面裝有體積為的水，放在水平的地面上（如圖所示）. 現以頂點為支撐點，將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要從頂點處流出時，棱與地面所成角的余弦值為 答案2. （福建省廈門雙十中學2011屆高三12月月考題理）平面內有兩定點A，B，且|AB|=4，動點P滿足，則點P的軌跡是 .答案：以AB為直徑的圓；二、簡答題3（福建省廈門雙十中學2011屆高三12月月考題理）（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABC

2、D是邊長為1的正方形，側棱AA1=2。 （I）求證：C1D/平面ABB1A1； （II）求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值； （）求二面角DA1C1A的余弦值。答案 （I）證明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D/平面ABB1A14分 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因為A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxy

3、z，5分在中，由已知可得所以， 6分因為A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一個法向量為n=（1，1，0）8分設與n所成的角為，則所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為9分 （III）解：平面A1C1A的法向量為 則 所以 令可得 11分則所以二面角的余弦值為12分4（北京五中2011屆高三上學期期中考試試題理）如圖，正三角形邊長2，為邊上的高，、分別為、中點，現將沿翻折成直二面角，如圖(1)判斷翻折后直線與面的位置關系，并說明理由(2)求二面角的余弦值(3)求點到面的距離圖 圖 答案

4、 解：（1）平行（證明略）（2）取AE中點M,角BMD即所求,余弦值為（），可得點到面的距離為5（福建省惠安荷山中學2011屆高三第三次月考理科試卷） （本題滿分13分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC12，ACBC，D為AB的中點.（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求證：；（3）求證：答案 5. 解：（1）在直三棱柱中 是所成的角（或其補角）2分 在中， 4分 （2）連結交于，連結。5分 則為的中點 又為的中點 7分 9分 （3）在直三棱柱中 10分 11分 12分 同理： 13分6（寧夏銀川一中2011屆高三第五次月考試題全解全析理）（本小題滿分12分）如圖,矩形

5、ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求證：AE/平面DCF；（2）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為【分析】（1）只要過點作的平行線即可；（2）由于點是點在平面內的射影，只要過點作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計算問題?；蛘呓⒖臻g直角坐標系，使用法向量的方法求解。DABEFCHG【解析】 方法一：（）證明：過點作交于，連結，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故因為平面，平面，所以平面6分（）解：過點作交的延長線于，連結由平面平面，得平面，從而所以為二面角的平面角在中，因為，所以

6、，又因為，所以，從而，于是，因為所以當為時，二面角的大小為12分DABEFCyzx方法二：如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系設，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因為平面，所以平面平面故平面6分（）解：因為，所以，從而解得所以，設與平面垂直，則，解得又因為平面，所以，得到所以當為時，二面角的大小為12分【考點】空間點、線、面位置關系，空間向量與立體幾何。【點評】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運算問題，空間向量有三個分坐標，在

7、進行運算時極易出現錯誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優勢并不明顯，所以在復習立體幾何時，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應用。7（北京龍門育才學校2011屆高三上學期第三次月考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，與的交點為，為側棱上一點（）當為側棱的中點時，求證：平面；（）求證：平面平面；（）（理科做）當二面角的大小為時， 試判斷點在上的位置，并說明理由OSABCDE答案7. （本題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側面都是等邊三角形，與的交點為，為側棱上一點（）當為側棱的中點時，求證：平面；（）求證：平面

8、平面；（）（理科做）當二面角的大小為時，試判斷點在上的位置，并說明理由解法一：證明：（）連接，由條件可得因為平面，平面，所以平面（）由已知可得，,是中點，所以OSABCDE又因為四邊形是正方形，所以因為，所以又因為，所以平面平面（）解：連接，由（）知而, 所以又所以是二面角的平面角，即設四棱錐的底面邊長為2，在中，, , 所以OyzxSABCDE又因為, ,所以是等腰直角三角形由可知，點是的中點解法二：（）同解法一（）證明：由（）知，建立如圖所示的空間直角坐標系設四棱錐的底面邊長為2，則，所以，設（），由已知可求得所以，設平面法向量為，則 即令，得易知是平面的法向量因為，所以，所以平面平面（）

9、解：設（），由（）可知，平面法向量為因為，所以是平面的一個法向量由已知二面角的大小為所以，所以，解得所以點是的中點8（北京四中2011屆高三上學期開學測試理科試題）（本小題滿分13分）已知：如圖，長方體中，、分別是棱,上的點，,.（1） 求異面直線與所成角的余弦值；（2） 證明平面；（3） 求二面角的正弦值.答案 解：法一：如圖所示，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設,依題意得,（1）易得, 于是 所以異面直線與所成角的余弦值為（2）已知, , 于是·=0，·=0. 因此，,又 所以平面（3）設平面的法向量，則,即 不妨令X=1,可得。 由（2）可知，為平面的一個法向

10、量。 于是，從而, 所以二面角的正弦值為法二：（1）設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 連接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1DB1C， 由,可知EFBC1. 故是異面直線EF與A1D所成的角， 易知BM=CM=, 所以 , 所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）連接AC，設AC與DE交點N 因為， 所以，從而， 又由于,所以， 故ACDE,又因為CC1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE. 連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C, 所以AFA1D因為，所以AF平面A1ED.（3）連接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF, 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N, 故為二面角A1-ED-F的平面角. 易知，所以， 又所以， 在 , 連接A1C1,A1F 在 。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值為.9（浙江省金麗衢十二校2011屆高三第一次聯考理）（本題滿分14分）如圖，在長方體中，且（I）求證：對任意，總有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由答案解：（I）以為坐標原點，分別以