1、目 錄1 引言02文獻綜述12.1國內研究現狀12.2國內研究現狀評價12.3提出問題23 高中數學常見最值問題及解題策略23.1無理函數的最值問題23.2三角函數的最值問題43.3 數列的最值問題63.4 平面向量的最值問題103.5 圓錐曲線的最值問題113.6具有幾何意義的最值問題133.7幾個特殊類型函數的最值問題163.8用特殊方法求一類函數的最值問題234. 結論234.1主要發現244.2啟示244.3局限性244.4努力的方向24參考文獻251 引言最值問題是人們在生產和日常生活中最為普遍的一種數學問題，它的應用性和實用性非常廣泛，無論是在生產實踐中還是在科學研究領域我們都會遇

2、到一些關于“最好”、“最省”、“最低”、“最優”、“最大”、“最小”等問題，這些問題一般都是轉化為最值問題進行求解此類問題的求解，不僅充分訓練了學生把實際問題抽象成數學問題的思維方式，還培養了學生分析問題和解決問題的能力，同時也使學生逐步形成了應用數學的意識在近幾年的高考題中，最值問題是考試命題的一個重點，它占了高考分數的5%23%從題型上講，主要以選擇題、填空題和解答題三種形式出現從難易程度上講，主要有基礎題、中檔題和高檔題三種題型它在考查基礎知識的同時，也逐步加強了對能力的考查，高考將注重檢查學生對所學課程內容達到融會貫通的程度因此，求解最值問題將會是高考的一個難點，學生不但要較好地掌握各

3、個分支的知識，還要善于捕捉題目信息，有較強的思維能力，能夠運用各種數學技能，靈活選擇適當的解題方法，方能達到事半功倍之效文章從高中數學試題中經常出現的無理函數、三角函數、數列、向量、圓錐曲線和解析式具有幾何意義的最值問題以及三類特殊最值問題幾個方面對高中數學最值問題進行相關探討，給出求高考數學最值問題的解題策略，為學生的備考和教師的教學提供相應的指導2文獻綜述2.1國內研究現狀對于中學數學中最值問題的求解，國內已經有了一定的探討，文15中總結歸納了最值問題的常用求解方法；文6通過舉例討論了一類無理函數最值的求解策略；文7討論了如何巧求一類二元函數的最值；文獻8針對解析式具有幾何意義的函數的最值

4、巧妙求法方法進行了歸納總結；文9給出了三類最小值問題的統一解法及一般結果；文10對一類函數最小值問題的處理方法進行了探討；文11對一類函數最小值問題的處理方法進行了相關的補充；文12介紹了幾種關于應用均值定理求最值的方法；文13給出了20052009年中最新五年高考真題及其詳解；文1415介紹了函數最值的概念及其求解方法；文16給出了用松弛變量法巧妙地求解一類二元函數的最值問題的方法2.2國內研究現狀評價國內雖然對最值問題的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值問題的常用求解方法歸納比較全面系統但是在近幾年的高考題中，主要考查學生學以致用的能力，只利用常用求解方法一般很難解決高考題中的最值問題高

5、考很多最值問題都是要綜合應用相關知識的概念、性質、定理才可解決現查閱到的參考文獻中大多只討論了最值問題的常用求解方法及歸納了幾個特殊最值問題的統一解法，并沒有具體探討高考數學中基本最值問題的求解策略2.3提出問題由于高考過程中，試題數量多、時間少、難度大，要在高考中獲勝，必須要講解題方法“精”、“巧”、“練”而大多資料并沒有從高考的角度研究高考數學中最值問題的求解，最值問題的求解方法還不夠完善，高考中學生對最值問題的求解還存在一定的困難因此，本文將通過查閱相關資料，站在高考的角度，對高中數學常見最值問題及解題策略進行總結、歸納、整理，進一步完善最值問題的求解策略，為學生的備考和教師的教學提供相

6、應的指導3高中數學常見最值問題及解題策略最值問題是中學數學的一個重要內容，也是各種考試命題的一個熱點尤其在高考命題中，它是必不可缺少的熱門考點，在近幾年的高考試卷中，函數的最值問題占了相當大的比例其主要以選擇題、填空題和解答題的類型出現，其目的在于考查學生對基礎知識的把握和靈活運用相關知識的能力解決這類問題涉及的知識面較寬，要求學生不僅要能利用常用方法求解簡單函數的最值問題，還要學生能根據知識的內在聯系以及函數本身的特征適當選擇最優解題方案，達到事半功倍之效3.1無理函數的最值問題 求形如的最值此類題型求解最值的方法很多，一般有平面幾何法、分析法、解析幾何法、復數法和求導法但在求解過程中這些方

7、法的使用非常靈活，存在一定難度，要求對常用最值求解工具較為熟悉，能根據解析式的特征聯系相關知識，恰當、準確地選用最優解題方案進行求解而如何實現使用最優解題方案進行求解，關鍵是要認真捕捉題目信息，仔細觀察解析式，從而根據知識的內在聯系，利用轉化思想便可解決問題例1求的最小值.解 令,顯然有意義,有,則,（當時等號成立）當時，所以評析該題根據解析式的特征合理變形后，采用分析法利用不等式的性質進行解答本題主要考查學生的應變能力、分析能力和觀察能力（各個時候取等號的條件的一致性，否則沒有最值）例2 求 的最小值解 令，設，則，且，有當且僅當時函數取得最小值當時，所以評析采用復數法，利用復數模的性質，把

8、代數式轉化為復數模的關系進行求解求二元無理式的最值二元無理式的最值問題也是最值求解的一個難點，雖然它的解題方法不少，但是解答過程非常復雜繁瑣，計算容易出錯而這種題可以運用一個定理便可輕松簡捷地求解定理1 設，則（當且僅當時等號成立）例3 若，求+的最小值.解 令,根據定理得,227125111)21(22=+³+-+³yx當且僅當，時取得最小值.當時,所以評析該無理函數求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛變量法16更為巧妙，但需注意的是題目中的已知條件必須全部滿足定理的要求，否則求解將會有誤，在使用這種方法時，必須認真捕捉題目信息3.2三角函數的最值問題在高

9、考試卷中，求解三角函數的最值問題的題目出現的非常頻繁，幾乎每年都會出現，占高考分數的它主要考查學生對三角函數基礎知識的綜合運用其難度大，很多學生對此類問題“一籌莫展”其實，三角函數的最值問題看似非常復雜，一般使用常用最值求解方法很難求解，但是要解決它并不困難，只要充分理解其概念、性質，牢記公式，能靈活運用正弦定理、余弦定理及相關的三角公式進行適當的變形化簡，然后根據它的性質、定理逐步擊破，便可解決問題因此，在解決三角函數最值問題時，關鍵在于學生對其性質、定理的深刻理解和各個三角公式的靈活運用例4（2008年全國卷） 若動直線與函數和的圖像分別交于、兩點，則的最大值為（）解 ,根據三角函數的性質

10、可知，當時， 故 選評析本題主要考查學生對三角函數的性質的理解和應用例5（2008年全國卷） 設的內角、所對的邊長為、，且（）求的值（）求的最小值解 （）由正弦定理知，,由題意得,解得（）由（）得，則、都是銳角，于是所以 ，且當時，上式取等號，所以 的最大值為評析本題主要考查學生對三角函數性質的理解和定理的應用能力學生靈活使用正弦定理將原解析式變形、化簡，從而由題設產生新的已知條件，為求解目標函數的最值打下堅實的基礎例6（2008年四川卷） 求函數的最大值與最小值解 由得由于函數在中的最值為，故當時，當時 評析三角函數的公式非常多，學生解決問題時必須正確選用適當的公式對解析式進行變形，才能使問

11、題簡單化，否則將越化越復雜，無法解決因此，學生不但要熟記公式，還要有靈活運用公式的能力3.3數列的最值問題數列的最值問題也是高考的一種題型之一，出現也較為普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、寧夏海南卷中出現該類問題主要以選擇題、解答題兩種題型出現，選擇題的難度不大，而對解答題的解題能力的要求卻很高，不但要求學生對其基礎知識非常熟悉，還要求學生有較強的計算能力、思維能力、分析能力和解決問題的能力針對這類問題，學生必須熟記并能準確靈活地運用等差數列和等比數列的各個公式例7（2009年安徽卷） 已知為等差數列，以表示的前項和，則使得達到最大值的是（）（21） （20） （19）

12、 （18）解 由于數列為等差數列，則，有，則 ，根據數列的前項和公式,顯然當時取得最大值評析本題主要考查學生對公式的應用，學生只要有較強的觀察能力、思維能力，結合使用等差數列的通項公式和前項和公式就可以求解例8(2009年四川卷) 設數列的前項和為，對任意的正整數都有成立，記（）求數列的通項公式（）記，設數列的前項和為求證：對任意的正整數都有（）設數列 的前項和為，已知正實數滿足：對任意的正整數，恒成立，求的最小值解 （）當時， ，則又 ，有，即所以，數列成等比數列，其首相，則，所以（）由（）知，則又 ，有當時，當時（）由（）知一方面 ，已知恒成立，取為大于1的奇數時，設，則有即對一切大于1的

13、奇數 恒成立所以否則只對滿足的正奇數成立，矛盾另一方面，當時對一切的正整數都有恒成立，事實上，對任意的正整數都有當為偶數時，設，則，當為奇數時，設，則 ，所以，對一切正整數都有綜上所述，正實數的最小值為4評析本題主要考查數列、不等式等基礎知識，化歸思想、分類整合思想等數學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力，要求學生有較強的綜合解題能力3.4平面向量的最值問題在考查平面向量的最值問題中，一般結合三角函數進行考查，題型多以選擇題、填空題和解答題的形式出現，考生需要深刻理解平面向量的概念、性質和數量積與向量積的幾何意義，靈活運用向量的各種性質，有較強的運算和論證能力便可解決問題對于這類題型

14、，學生首先要根據題目的已知條件，利用向量的性質靈活變形，進而利用數量積或向量積便可求解例9（2009年安徽卷） 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點在以為圓心的圓弧上變動。若，其中，則的最大值是（）圖1:例9的示意圖解 在兩邊分別作向量積得 （1） （2）（1）+（2）得因為所以的最大值為2評析本題主要考查平面向量的數量積與向量積的幾何意義，靈活性大3.5圓錐曲線的最值問題圓錐曲線的最值問題是一種難度較大的題型，很多考生對于該類問題經常會丟分，而該類問題的分值比較高，大約占高考分數的左右它考查的范圍比較廣，多以解答題的形式出現，考查學生對橢圓、拋物線的幾何性質的理解，對直線

15、與橢圓、直線與拋物線的位置關系等基礎知識的掌握程度，考查學生的解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力針對這類題型，學生首先要充分理解圓錐曲線的概念、性質、定理，然后再結合題目的已知條件綜合運用相關知識進行求解例10（2009年浙江卷） 已知橢圓：的右頂點為A（1,0），過 的焦點且垂直長軸的弦長為1（）求橢圓的方程（）設點P在拋物線：上，在點P處的切線與交于點M，N當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值解 （）由題意得則因此，所求的橢圓方程為（）如圖2，圖2:例10的示意圖設則拋物線在點處的切線斜率為 ，直線的方程為 ，將上式代入橢圓的方程中 得 ，即，（3）因為直線與橢圓有兩

16、個不同的交點所以(3)中的（4）設線段的中點的橫坐標為，則，設線段的中點的橫坐標為，則，由題意得 ，即 （5）由（5）式中的，得或當時，則不等式（3）成立，所以當時代入方程（5）得將代入不等式（4）成立，所以評析此題考查的內容非常廣泛，考查了橢圓、拋物線的幾何性質，也考查了圓錐曲線的位置關系同時也考查了分類思想和不等式的性質等，綜合能力較強3.6具有幾何意義的最值問題求函數最值的方法比較多，但當所求函數具有某種幾何意義時，求其最值用數形結合的方法比較靈活巧妙8可把求函數的最值轉化為求直線斜率、直線截距、兩點間的距離等最值問題用數形結合的方法解賦有幾何意義的解析式的函數的最值，它兼有數的嚴謹與形

17、的直觀之長，利用它使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，它是優化解題過程的重要途徑之一其轉化的關鍵是要有較強的轉化意識包含“以形助數”和“以數解形”兩方面以形助數”可以使抽象的概念和解析式直觀化、形象化；“以數解形”可以使圖形的性質更豐富、更準確、更深刻用數形結合法解題的一般步驟： 第一步，先把已知條件與待求結論的代數式（或量）都化成形； 第二步，觀察圖形，尋找解題方案； 第三步，求解得出結論轉化為求直線斜率的最值問題例11 求函數的最值解 令知點的軌跡為一拋物線弧，其拋物線二端點為，顯然，定點分別與二端點構成的二直線斜率產生函數的最大值和最小值圖3:例11的示意圖所以， 故，轉化為求兩點間的

18、距離的最值問題例128 求的最值.解 在 時當即時，設，動點，則（、共線時取等號），且 不平行于軸，即必與軸相交.設交點為，就是使取得最大值的點，如圖4 圖4:例12的示意圖對直線：當, 時，有，在或且時在或且時評析這里用幾何中的距離公式，把問題轉化為“在直線上求一點，使該點到兩已知點的距離之差（和）最大（最?。钡膯栴}求解.轉化為求直線截距的最值問題例13 求函數的最值解 函數的定義域，令，則消去得，其中令，即故函數的最值轉化為求直線的截距的最值.如圖5圖5:例13的示意圖顯然，過點的直線的截距最小，且最小值為，直線與橢圓相切時直線的 截距最大，且最大值為3故，3.7幾個特殊類型函數的最值問

19、題以下幾個類型的函數的解題方法非常獨特，按正常思維解答所得結果往往與正確答案差距很大學生要在這類題上獲勝，必須對特殊題型的特殊方法進行歸納總結文9已給出了三類最小值問題的統一解法及一般結果，但由于這類問題的重要性，本文將對這三類特殊類型函數的最值問題進行相關整理，以便引起學生對這三類題型的重視求型的最小值問題情形1 對于求的最小值，其中，是一個正常數，且解 （通常的解法）設,則，上述兩個不等號中的等式同時成立，當且僅當解之得于是 例14 求的最小值. 解 令，則,以上兩個不等號中的等式同時成立，當且僅當解之得于是 評析該題若直接使用基本不等式進行求解，結果為2，而正確答案是3情形2 對于求型的

20、最小值.解 （通常的解法）令,則,上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得 于是 . 例15 求的最小值.解 令，則，上面的兩個不等式同時成立，當且僅解之得 于是 求的最小值問題情形1 對于求的最小值解 （通常的解法）令，則,上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得于是 例16 求的最小值.解 令，則,上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得于是 情形2 對于求（且）解 （通常的解法）令，則,上面的兩個不等式同時成立，當且僅當 解之得 于是 例17 求的值域解 令，則,上面的兩個不等式同時成立，當且僅當 解之得于是 求型的最小值問題.情形1 對于求的最小值.解 （通常的解法）令，則,上面的兩個

21、不等式同時成立，當且僅當解之得于是例18 的最小值解 定義域為，由得令，上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得 于是 情形2 對于求的最小值解 （通常的解法）令，則，上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得于是例19 已知，求的取值范圍解 ，令，則，上面的兩個不等式同時成立，當且僅當解之得于是 所以的取值范圍是3.8用特殊方法求一類函數的最值問題此類函數不能運用基本不等式求解它的最值問題，必須利用相關的定理，使用其結論10才可以使求解過程簡便、容易利用其結論解題時，必須注意限制條件，若限制條件不滿足定理所需條件則不能直接使用其結論進行求解否則將無法尋求到準確答案定理2 設初等函數在區間上恒有

22、，為正常數，則當且僅當在上取最小值時，函數在上取最小值例20（1997年全國高考題） 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過C千米/時.已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度V(千米/時)的平方成正比，比例系數為b，固定部分為a元（）把全程運輸成本y元表示為速度V(千米/時)的函數，并指出這個函數的定義域（）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？解 （）運輸成本為，由于速度不得超過C千米/時，所以因此，這個函數的定義域為（）令，顯然，當且僅當取最小值時，全程運輸成本y最小，由定理知，在區間上，僅當最小時，最小若，則當，最小若

23、，則當V=C時最小所以為使全程運輸成本y最小當時，行駛速度應是，當時，行駛速度應是4.結論4.1主要發現本文對近幾年高中數學最值問題的求解方法進行探討，給出了高考數學中最值問題的具體方法和求解過程，研究了高考數學中經常出現的無理函數的最值問題、三角函數的最值問題、數列的最值問題、平面向量的最值問題和圓錐曲線的最值問題以及一般聯賽題中會出現的三類特殊類型函數的最值問題從方法上講，它涉及到的知識面廣，難度大，技巧性強，方法靈活多變，很多考生難以把握，使用常用最值求解方法無法求解，需根據函數本身所具有的特點以及相關知識所涉及到的概念、性質、定理才可進行求解；從能力上講，它要求學生在充分掌握基礎知識的

24、同時，對常用求解方法較為熟悉，能準確恰當地選擇最優解題方案，有較強的觀察能力、分析能力、計算能力和解決問題的能力本文的探討有利于考生進一步了解高考數學中最值問題的求解方法，使高考學生在復習過程中，對準重點，突破難點，訓練到位為學生的備考和教師的教學提供相應的指導4.2啟示通過對近幾年高考數學中與最值問題有關的高考試題的分析，在最值問題的專題復習中，應重視對相關知識所涉及到的基本概念、基本性質、基本定理、基本方法的復習和基本能力的提高，尤其是觀察能力、分析能力和運算能力的培養和訓練.4.3局限性本文探討了近幾年高中數學中需用相關知識的概念、性質、定理才可以求解的最值問題的解題策略由于本人還未真正走入教學實踐，未能將理論應用于實際教學中，尤其是無理函數、數列和幾個特殊類型函數的最值問題的求解方法靈活多變，它在考察基礎知識的同時，也不斷加強了對能力的考察且高考最值問題?？汲Ｐ?，形式變化多樣，難以掌握因此，本文的探討還存在一定的局限性4.4努力的方向最值問題是高中數學的重要內容，也是每年高考必考的內容，且常考常新，能力的要求不斷地提高，在今后的學習