1、高三數學立體幾何綜合訓練（文）人教實驗版（A）【本講教育信息】一. 教學內容：立體幾何綜合訓練二. 重點、難點：對比兩種方法解決同一個立體幾何問題【典型例題】例1 如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為3，底面是邊長為4且DAB=60°的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中點。 （1）求二面角O1BCD的大小； （2）求點E到平面O1BC的距離。解法一：（1）過O作OFBC于F，連接O1F OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角 OB=2，OBF=60°，OF=在RtO1OF在，tanO1FO= O1FO=60°

2、即二面角O1BCD為60°（2）在O1AC中，OE是O1AC的中位線，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交線O1F.過O作OHO1F于H，則OH是點O到面O1BC的距離，OH=點E到面O1BC的距離等于解法二：（1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖）底面ABCD是邊長為4，DAB=60°的菱形，OA=2，OB=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）設平面O1BC的法向量為=（x，y，z），則，則z=2，則x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=

3、（0，0，3）cos<，>=，設O1BCD的平面角為， cos=60°.故二面角O1BCD為60°（2）設點E到平面O1BC的距離為d，E是O1A的中點，=（，0，），則d=點E到面O1BC的距離等于。例2 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動。（1）證明：D1EA1D；（2）當E為AB的中點時，求點A到面ECD1的距離；（3）AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為。（1）證明：連，在長方體ABCDA1B1C1D1中，為在平面的射影，而AD=AA1=1，則四邊形是正方形，由三垂線定理得D1EA1D （2）解：

4、以點D為原點，DA為軸，DC為軸建立如圖所示的直角坐標系。則、則，設平面的法向量為 ，記 點A到面ECD1的距離（3）解：設則，設平面的法向量為，記而平面ECD的法向量，則二面角D1ECD的平面角當AE=時，二面角D1ECD的大小為。例3 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA平面ABCD，且PA=2AB（1）求證：平面PAC平面PBD；（2）求二面角BPCD的余弦值。解：（1）證明：PA平面ABCD PABD ABCD為正方形 ACBD BD平面PAC又BD在平面BPD內， 平面PAC平面BPD （2）解法一：在平面BCP內作BNPC垂足為N，連DN， RtPBCRtPDC，由

5、BNPC得DNPC； BND為二面角BPCD的平面角，在BND中，BN=DN=，BD= cosBND =解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖，在平面BCP內作BNPC垂足為N連DN， RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC； BND為二面角BPCD的平面角設解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系，作AMPB于M、ANPD于N，易證AM平面PBC，AN平面PDC，設二面角BPCD的平面角與MAN互補二面角BPCD的余弦值為 例4 已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA

6、=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點。（1）求證：AF平面PEC；（2）求PC與平面ABCD所成角的大??；（3）求二面角P一EC一D的大小解：（1）取PC的中點O，連結OF、 OE FODC，且FO=DCFOAE 又E是AB的中點，且AB=DC FO=AE四邊形AEOF是平行四邊形 AFOE又OE平面PEC，AF平面PECAF平面PEC（2）連結ACPA平面ABCD，PCA是直線PC與平面ABCD所成的角在RtPAC中，即直線PC與平面ABCD所成的角大小為 （3）作AMCE，交CE的延長線于M連結PM，由三垂線定理得PMCEPMA是二面角PECD的平面角由AMECBE，可得，二

7、面角P一EC一D的大小為 解法二：以A為原點，如圖建立直角坐標系則A（00，0），B（2，0，0），C（2，l，0）D（0，1，0），F（0，），E（1，0，0），P（0，0，1）（1）取PC的中點O，連結OE，則O（1，）又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC （2）由題意可得，平面ABCD的法向量即直線PC與平面ABCD所成的角大小為 （3）設平面PEC的法向量為則，可得，令，則 由（2）可得平面ABCD的法向量是二面角P一EC一D的大小為 例5 在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分別為棱BB1、CC1上的點，且。（1）求平面APQ與面ABC所成的銳二面角的大??；（2

8、）在線段A1B（不包括兩端點）上是否存在一點M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系AA（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）設平面APQ的一個法向量為令，則平面ABC的一個法向量平面APQ與面ABC所成的銳角大小為45°（2）沿A1B將面A1BC1與面A1BA展開，連結AC1與A1B交于點M，此時AM+MC1有最小值又C1A1面ABB1A1，C1A1A1BAA1C1中，AA1C1=135°AC1=存在點M，使AM+AC1取最小值為例6 如圖，四棱錐PABCD中、底面ABCD是邊長為2的正方形，PBBC，

9、PDCD，且PA=2，E為PD中點。（1）求證：PA平面ABCD；（2）求二面角EACD的大小；（3）在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為？若存在，確定點F的位置，若不存在，請說明理由。（4）若F為線段BC的中點，求點D到平面PAF的距離。解法一：（1） 底面ABCD為正方形， BCAB，又BCPB BC平面PAB BCPA 同理CDPA PA平面ABCD（2）設M為AD中點，連結EM，又E為PD中點，可得EM/PA從而EM底面ABCD，過M作AC的垂線MN，垂足為N，連結EN由三垂線定理知ENAC， ENM為二面角EACD的平面角在中，可求得EM=1，MN= 二面角EACD

10、的大小為（3）由E為PD中點可知，要使得點E到平面PAF的距離為即要求點D到平面PAF的距離為過D作AF的垂線DG，垂足為G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF即DG為點D到平面PAF的距離 DG= 設BF=，由ABF與DGA相似可得 ，即1 在線段BC上存在點F，且F為BC中點，使得點E到平面PAF的距離為（4）過D作AF的垂線DG，垂足為G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF DG為點D到平面PAF的距離由F為BC中點，可得AF= 又 ABF與DGA相似可得， 即點D到平面PAF的距離為解法二：（1）同解法一（2）建立如圖所示的空間直角坐標系A，

11、則A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），設為平面AEC的一個法向量，則，又， 令，則，得又是平面ACD的一個法向量設二面角EACD的大小為，則 二面角EACD的大小為（3）設F（2，t，0）（），為平面PAF的一個法向量，則，又 令，則，得，又 點E到平面PAF的距離為 ，解得，即F（2，1，0） 在線段BC上存在點F，且F為BC中點，使得點E到平面PAF的距離為（4） F為BC中點 F（2，1，0）設為平面PAF的一個法向量，則又 令，則，得，又 點D到平面PAF的距離為例7 如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=AB，點M是SD的中點，A

12、NSC，且交SC于點N。（1）求證：SB/平面ACM；（2）求二面角DACM的大??；（3）求證：平面SAC平面AMN。解法一：（1）連結BD交AC于E，連結ME ABCD是正方形， E是BD的中心 M是SD的中點 ME是DSB的中位線 ME/SB又 ME平面ACM，SB平面ACM SB/平面ACM（2）取AD中點F，則MF/SA，作FQAC于Q，連結MQ SA底面ABCD MF底面ABCD FQ為MQ在平面ABCD內的射影 FQAC MQAC FQM為二面角DACM的平面角設SA=AB=，在中， 二面角DACM的大小為（3）由條件得DCSA，DCDA DC平面SAD AMDC又 SA=AD，M

13、是SD的中點， AMSD AM平面SDC SCAM 由已知SCAN， SC平面AMN又SC平面SAC 平面SAC平面AMN解法二：（1）同解法一（2）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A，由于SA=AB，可設AB=AD=AS=1，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（） SA底面ABCD 是平面ABCD的一個法向量，=（0，0，1）設平面ACM的一個法向量為 ，則，即 令，則 二面角DACM的大小為（3） 又 且ANAM=A SC平面AMN，又SC平面SAC 平面SAC平面AMN例8 如圖，直三棱柱A1B1C1ABC中，C1C=C

14、B=CA=2，ACCB。D、E分別為棱C1C、B1C1的中點。（1）求A1B與平面A1C1CA所成角的大??；（2）求二面角BA1DA的大小；（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF平面A1BD？若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由解法一：（1） A1B1C1ABC為直三棱柱， CC1底面ABC， CC1BC ACCB， BC平面A1C1CA BA1C為A1B與平面A1C1CA所成角，BA1C= A1B與平面A1C1CA所成角為（2）分別延長AC，A1D交于G，過C作CMA1G于M，連結BM BC平面ACC1A， CM為BM在平面A1C1CA內的射影 BMA1G， CMB為二面角B

15、A1DA的平面角平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D為C1C的中點 CG=2，DC=1，在直角三角形CDG中，CM= ，即二面角BA1DA的大小為（3）在線段AC上存在一點F，使得EF平面A1BD，其位置為AC中點證明如下： A1B1C1ABC為直三棱柱， B1C1/BC 由（1）知BC平面A1C1CA B1C1平面A1C1CA EF在平面A1C1CA內的射影為C1F，F為AC中點 C1FA1D EFA1D同理可證EFBD， EF平面A1BD E為定點，平面A1BD為定平面，故點F惟一解法二（1）同解法一（2） A1B1C1ABC為直三棱柱，C1C=CB=CA=2，ACCBD、E分別為C1

16、C、B1C1的中點，建立如圖所示的坐標系得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），B1（2，0，2），A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2） ，設平面A1BD的法向量為，即，得 平面ACC1A1的法向量，即二面角BA1DA的大小為（3）在線段AC上存在一點F，設F（0，0）使得EF平面A1BD欲使EF平面A1BD，由（2）知，當且僅當 ， 存在惟一一點F（0，1，0）滿足條件，即點F為AC中點例9 如圖：平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD為直角三角形，PAD=90°，且AD=2，又二面角PBCD的大小為45°，

17、E，F，G分別為PA，PD，CD的中點。（1）求證：PB/平面EFG；（2）求異面直線EG與BD所成的角；（3）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，說明理由。建立如圖空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）（1）設平面EFG的一個法向量，取則 PB平面EFG PB/平面EFG （2） ， 即EG與BD所成的角為（3）設存在Q點，并設Q（），平面EFQ的一個法向量為， 即Q（，2，0），且綜上所述：線段CD上存在點Q，

18、使得點A到平面EFQ的距離為0.8且CQ=例10 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=，AA1=，D為BC的中點，E為CC1上的點，且CE=。（1）求證：BE平面ADB1；（2）求二面角BAB1D的大?。?）以A點為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標系Axyz，可知A（0，0，0），B（，0，0），C（0，0），D（），B1（），E（）可得，于是得，可知BEAD，BEDB1，又ADDB1=D，故BE平面ADB1（2）由（1）知平面ADB1的法向量，面BAB1的法向量于是故二面角BAB1D的大小為【模擬試題】1. 如圖，在矩形ABC

19、D中，AB=2BC=2，E為AB中點，將B點沿線段EC折起至點P，連結PA，PC，PD，取PD的中點F。（1）求證：AF/平面PEC；（2）若平面PEC平面AECD，求異面直線PE，CD所成的角；（3）在條件（2）下，求F點到平面PEC的距離。 2. 如圖，三棱錐PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=AC，D是PB上一點，且CD平面PAB。（1）求證：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值。 3. 如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD底面ABCD，E為側棱PD的中點。（1）試判斷直線PB與平面EAC的關系（不必證明）；（2）求證：AE

20、平面PCD；（3）若AD=AB，試求二面角APCD的正切值；（4）當為何值時，PBAC。 4. 如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1中點。（1）求二面角A1BDM的大??；（2）求四面體A1BDM的體積。【試題答案】1.（1）證明：取PC的中點G，連結GE，GF，由條件知GF/CD，EA/CD，所以GF/EA 則四邊形GEAF為平行四邊形 FA/GE且GE平面PEC AF/平面PEC （2）平面PEC平面AECD，取CE的中點M PM平面AECD 在AEM中， PM=BM= PE=BE=EA= PA= EA/CD，PE，CD所成的角為PEA在AEP中，求得PEA=120

21、°，所以PE，CD所成的角為60°（3） AF/平面PEC 點F到平面PEC的距離等于點A到平面PEC的距離作AHCE交CE的延長線于H，平面PEC平面AECD AH平面PEC AH= 點F到平面PEC的距離即點A到平面PEC的距離為 2.（1）解： PC平面ABC，AB平面ABC PCAB CD平面PAB，AB平面PAB CDAB 又PCCD=C AB平面PCB（2）解法一：取AP的中點E，連結CE、DE PC=AC=2， CEPA，CE= CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA CED為二面角CPAB的平面角由（1）AB平面PCB ABBC又 AB=BC，AC

22、=2，求得BC=在中，在中， 二面角CPAB大小為（2）解法二： ABBC，AB平面PBC，過點B作直線PA，則AB，BC，以BC、BA，所在直線為、軸建立空間直角坐標系（如圖）設平面PAB的法向量為，A（0，0），P（，0，2），C（，0，0） ，則，即，解得，令得，設平面PAC的法向量為，則，即解得，令，得 二面角CPAB大小為（2）解法三： CD平面PAB， 是平面PAB的一個法向量取AC中點F， AB=BC=， BFAC又PC平面ABC，有平面PAC平面ABC BF平面PAC， 是平面PAC的一個法向量，設， 即，得由（1）知， ，而， ， ， 二面角CPAB大小為 3. 解法1：（1）PB/平面EAC（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，AEPD，又面PDC面PAD=PD所以，AE平面P