1、浙江大學1998年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題：（10分）（1） 寫出玻爾-索末菲量子化條件的形式。（2） 求出均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。（利用玻爾-索末菲量子化條件求，設(shè)外磁場強度為）第二題：（20分）（1） 若一質(zhì)量為的粒子在一維勢場中運動，求粒子的可能能級。（2） 若某一時刻加上了形如，（）的勢場，求其基態(tài)能級至二級修正（為一已知常數(shù)）。（3） 若勢能變成，求粒子（質(zhì)量為）的可能的能級。第三題：（20分）氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)形如，為玻爾半徑，為歸一化系數(shù)。（1） 利用歸一化條件，求出的形式。（2） 設(shè)幾率密度為，試求出的形式，并求出最可幾半徑

2、。（3） 求出勢能及動能在基態(tài)時的平均值。（4） 用何種定理可把及聯(lián)系起來？第四題：（15分）一轉(zhuǎn)子，其哈密頓量，轉(zhuǎn)子的軌道角動量量子數(shù)是，（1） 試在角動量表象中求出角動量分量，的形式；（2） 求出的本征值。第五題：（20分）若基態(tài)氫原子處于平行板電場中，電場是按下列形式變化，為大于零的常數(shù)，求經(jīng)過長時間后，氫原子處于態(tài)的幾率。（設(shè)為微擾哈密頓，；（當）。第六題：（15分）（1） 用玻恩近似法，求粒子處于勢場，（）中散射的微分散射截面。（設(shè)粒子的約化質(zhì)量為）。（2） 從該問題中，討論玻恩近似成立的條件。浙江大學1999年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題：（10分）（1）

3、試求出的自由電子及能量為、質(zhì)量為克的質(zhì)點的德布羅意波長。(,)（2）證明一個自由運動的微觀粒子對應(yīng)的德布羅意群速度，即為其運動速度。第二題：（10分）（1）證明定態(tài)中幾率流密度與 時間無關(guān)。（2）求一維無限深勢阱中運動的粒子在第個能級時的幾率流密度。第三題：（15分）（粒子處于一維勢阱（取的恒定常量）中運動，（1）畫出勢能的示意圖，設(shè)粒子質(zhì)量為，（2）求解運動粒子的能級。（）(寫出所滿足的方程)第四題：（10分）一維諧振子，其勢能為，（為常量）。若該諧振子又受一恒力作用，試求其本證能量及能量本證函數(shù)。該振子的質(zhì)量為。第五題：（20分）（1）寫出線性、厄米算符的定義。（2）判斷下列算符中，哪一個

4、是線性厄米算符？ a., b., (為恒定實常數(shù)) c.， 為線性厄米算符，為虛宗量。（3）證明厄米算符對應(yīng)有實得本證值。（4）若算符、為厄米算符，,若在分別為、的本證值，證明： ,若，則必取。第六題：（20分）設(shè)哈密頓算符在能量表象中形如，其中、遠大于或為實數(shù)，試（1）寫出未微撓哈密頓量與微撓哈密頓量的合理形式。（2）證明為厄米算符（、全為厄米算符本證值）。（3）若，用微擾論起初其本征能量（至二級）。（4）若，試求其本征能量（至一級）。第七題：（15分）用玻恩近似計算粒子（質(zhì)量為）被形如的勢場散射時的微分散射截面，并說明其特點。（為常數(shù)）浙江大學2000年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科

5、目 量子力學第一題：（20分）（1）下列說法哪個是正確的？對不正確的說法給予修正。a.量子力學適用于微觀體系，而經(jīng)典力學適用于宏觀體系。b.電子是粒子，又是波。c.電子是粒子，不是波。d.電子是波，還是粒子。（2）a.厄米算符的定義是什么？算符是否厄米？ b.等式是否成立？何時成立？（3）若太陽為一黑體，人所能感受的太陽光能量的最大的波長為，太陽半徑，太陽質(zhì)量，試估算太陽質(zhì)量由于熱輻射而損耗 所需要的時間。（斯特藩常數(shù)）第二題：（20分）若有一粒子，質(zhì)量，在有限深勢阱中運動，為某一正常數(shù)。（1） 試推出其能量本征值所滿足的方程。（2） 如何求能量本征值？試作出求解本征值的草圖。（3） 若粒子不

6、作一維運動，而是三維運動，試求出至少存在一個本征能的條件。第三題：（20分）（1） 量子力學中，若不顯含時間，則力學量為守恒量的定義是什么？守恒量的本征態(tài)有何特點？（2） 本征值簡并的概念是如何表述的？一維運動的粒子（勢場為），其能級是否簡并？（3） 在一維勢場中運動的粒子，其動量是否守恒？（4） 試說出氫原子問題中的量子躍遷的選擇定則的內(nèi)容。第四題：（25分）若一二維諧振子哈密頓量為：，（為一小量）（1） 用微擾論，求其基態(tài)的能量修正（至項）及第一激發(fā)態(tài)的能量修正（至項）（2） 如何求出非微擾論的本征能量？試求之，并同微擾論的結(jié)果比較。（3） 相干態(tài)的定義為：，為一維線性諧振子的哈密頓量，試

7、證明，相干態(tài)是測不準關(guān)系取最小值時的狀態(tài)。第五題：（15分）質(zhì)量為的粒子受到勢能為的場的散射（為某一正常數(shù)），在入射能量極低的條件下，計算其微分散射截面。（球貝塞爾函數(shù)，）。浙江大學2001年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題：（15分）（1） 試確定，在溫度下，空腔輻射的最大能量密度所對應(yīng)的光子的波長是多少？（2） 此時，光子的對應(yīng)能量為多少？（3） 光電效應(yīng)中，如何測定某金屬板的脫出功？第二題：（20分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)：（1） 問測量氫原子的能量，所得的可能值及相應(yīng)的幾率為多少？（2） 問測量氫原子的角動量平方，所得的可能值及相應(yīng)的幾率為多少？（3） 問測量氫原子的角

8、動量分量的可能值及相應(yīng)的幾率為多少？第三題：（20分）（1） 一質(zhì)量為的粒子于勢場中運動，求該粒子的能級及對應(yīng)的本征波函數(shù)？（2） 若一質(zhì)量為的粒子與勢場中運動，求束縛態(tài)能級所滿足的方程。（3） 若一質(zhì)量為的粒子于三維勢場中運動， ，則若欲得二個束縛能態(tài)，其勢能值至少應(yīng)為多少？第四題：（15分）（1）何謂厄米算符，試寫出其定義，及判斷算符是否厄米？（2）計算對易子的值？（3）證明厄米算符有實的本證值？（4）試說明為何要力學量對應(yīng)為厄米算符？下面二組題（五、六題與七、八題）任選一組解答。第五題：（15分）證明對任何束縛態(tài)，粒子動量的平均值為零。第六題：（15分）如果氫原子的核不是點電荷，而是半徑

9、為表面分布著均勻電荷的小球，計算這種效應(yīng)對氫原子基態(tài)能量的一級修正。（已知，為玻爾半徑）第七題：（15分）一質(zhì)量為的高能粒子被勢場散射，較小，為入射波矢。 （1）用哪種方法計算其散射截面較為合理？ （2）試指出在哪些方向上，散射粒子最少？第八題:(15分)試寫出定態(tài)微撓論中對非簡并態(tài)微擾的能級修正（至二級）浙江大學2002年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題：從下面四題中任選三題（15分）（1）試說明光電效應(yīng)實驗中的“紅限”現(xiàn)象，為何光電效應(yīng)實驗中有所謂截止頻率的概念？（2）如何從黑體輻射實驗的Planck公式中推出Stefan公式？（只要求給出思路）。根據(jù)該公式，能否做出

10、什么測溫儀器？（3）你認為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。（4）你能從固體與分子的比熱問題中得出哪些量子力學的概念？第二題（20分）：設(shè)氫原子處于狀態(tài)：（1）測量該原子的能量，測得的可能值為多少？相應(yīng)的幾率為多少？（2）測量該原子的角動量平方，測得的可能值為多少？相應(yīng)的幾率又為多少？（3）測得的角動量分量的可能值和相應(yīng)幾率為多少？第三題：（20分）一質(zhì)量為的粒子處于勢場中運動，若（1）則該粒子的本征能量為多少？（2），為已知常數(shù)，則該粒子的本征能量為多少？特征長度為多少？（3），是一個給定的常數(shù)，則該粒子滿足的方程為何？（4）能量為的平行粒子束，以入射角射向

11、平面，在區(qū)域，在區(qū)域，。試從量子力學的角度，分析粒子束的反射及折射規(guī)律。（用及表示反射幾率及折射幾率。第四題：（15分）（1） 如何證明一個算符為厄米算符？算符是否為厄米算符？（2） 若，計算對易子。（3） 證明厄米算符對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)相互正交。（4） 為何物理量要用厄米算符來表示？下面二組試題（五題、六題與七題、八題），任選一組解答第五題：（15分）在一維諧振子問題中，若諧振子的質(zhì)量為相互作用勢用來表示，其中，為一常數(shù)。若，問其位移的平均值與時間的關(guān)系為何？第六題：（15分）如果有一二能級系統(tǒng)，其相應(yīng)的能級的能量分別為，哈密頓算符的有關(guān)矩陣元為， ， 其中，為已知常數(shù)，滿足一切近似條

12、件。問：（1） 若以，為零級近似波函數(shù)，至一級近似，本征能量為何？（2） 至二級近似，本征能量為何？第七題：（15分）若有一質(zhì)量為的低能粒子被一強勢場散射，若散射時的有效質(zhì)量為，勢場形式為，為一已知常數(shù)。問：（1） 使用玻恩近似還是用分波法比較合適？（2） 試問相移的正弦與散射勢能及散射波函數(shù)的關(guān)系為何？（3） 求出零級近似下的微分散射截面。（4） 若不知道勢場的具體形式，能否利用散射實驗來確定？第八題：（15分）試證固體物理中常用的Thomas-Reiche-Kuhn求和規(guī)則：，其中，為系統(tǒng)的二個任意的能態(tài)，為任意兩個能級的能量，為粒子的質(zhì)量。浙江大學2003年攻讀碩士學位研究生入學考試試題

13、考試科目 量子力學第一題（35分）：1.如果和是某一體系含時薛定諤方程的兩個解1）它們的線性迭加，（，是常數(shù)），是否滿足同樣的含時薛定諤方程？2）若令，你認為是否滿足同樣的含時薛定諤方程？2.質(zhì)量相同的兩個粒子分別在寬度不同的兩個一維無限深勢阱中，試問窄勢阱中粒子的基態(tài)能量低，還是寬勢阱中的基態(tài)能量低？3.1）你是否認識這三個矩陣 在量子力學中他們稱為什么？ 2）大家知道，為量子力學中最基本的對易關(guān)系（這里和分別是位置算符和動量算符）你是否記得角動量，之間的對易關(guān)系？請寫出來！ 3）請算一下第二題（20分）：有一個雙勢阱（與量子前沿問題有關(guān)）這里，試寫出各區(qū)域內(nèi)波函數(shù)的合理形式以及連接各區(qū)域的

14、邊界條件（不必具體求解）第三題（25分）：處在均勻電場中的二維帶電諧振子的哈密頓量為（其中電場強度為常數(shù)）（1）求出其能級。（2）電場的大小會產(chǎn)生什么影響？第四題（20分）：如果把原子實看作由一個點核和價電子均勻分布在半徑為的球內(nèi)所組成，那么其散射勢可表示為其中，試用玻恩近似求微分截面。浙江大學2004年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題（35分）：（1）由正則對易關(guān)系導出角動量的三個分量 的對易關(guān)系。（2）證明厄米算符的本征值為實數(shù)。（3）什么是量子力學中的守恒量，它們有什么性質(zhì)。（4）寫出測不準關(guān)系，并簡要說明其物理含義。（5）寫出泡利矩陣 滿足的對易關(guān)系。第二題（30

15、分）：二維諧振子的哈密頓量為（1）求出其能級。（2）給出基態(tài)波函數(shù)。（3）如果，試求能級的簡并度。第三題（30分）：有一個質(zhì)量為的粒子處在如下勢阱中（這里）（1）試求其能級與波函數(shù)。（2）問通過調(diào)節(jié)勢阱寬度，能否讓勢阱中的粒子有一定的幾率穿透出來。（3）如果你認為可以，試確定參數(shù)的取值范圍。第四題（20分）：原子序數(shù)較大的原子的最外層電子感受到的原子核和內(nèi)層電子的總位勢可以表示為，試求其基態(tài)能量。第五題（20分）：求哈密頓量為的本征值和本征矢量，試分析時有何特點。（提示：泡利矩陣中的下標，表示第一個粒子和第二個粒子，因此可用矩陣的直乘理解，即為等等）第六題（15分）：有一個量子體系，假如你已經(jīng)

16、知道基態(tài)和激發(fā)態(tài)的波函數(shù)分別是，對應(yīng)于，把兩個全同粒子（不考慮它們之間的相互作用）放到該系統(tǒng)。（1）對于自旋為零的粒子，寫出基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)。（2）對于自旋為的粒子，寫出基態(tài)波函數(shù)。浙江大學2005年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題：簡答題（28分）（1）寫出測不準關(guān)系；（2）寫出泡利矩陣；（3）對于，（為常數(shù)），下列力學量中哪些是守恒量？，（4）能級的簡并度指的是什么？第二題：（21分）（1）電子在二維均勻磁場中運動，試寫出描寫該系統(tǒng)的哈密頓量；（2）現(xiàn)有三種能級，請分別指出他們對應(yīng)的是哪些系統(tǒng)。（3）放射性指的是束縛在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出來

17、，你認為這與什么量子效應(yīng)有關(guān)？第三題：（只需選做（A）、（B）中一題）（20分）已知氫原子的基態(tài)波函數(shù)為，求（A） 勢能的平均值；（B） 動能的平均值。第四題：（21分）考慮一維階梯勢，若能量的粒子（）從左邊入射，試求該階梯勢的反射系數(shù)和透射系數(shù)。第五題：（20分）將質(zhì)子看作是半徑為的帶電球殼，（其中為基本電荷值，為玻爾半徑，），計算由于質(zhì)子（即氫原子核）的非點性引起氫原子基態(tài)能級的一級修正。第六題：（選做（A）、(B)其中一題即可）（20分）（A）求一粒子被半徑為的不可穿透硬球散射的波相移。（B）試求屏蔽庫倫場的微分散射截面。（提示：可直接用中心勢散射的玻恩近似公式的化簡形式），其中。第七題

18、：（20分）一個量子點中的單電子能級有兩個本征值和，并且都是非簡并的。其中，它們相應(yīng)的單電子空間波函數(shù)分別為和。試求該量子點中有兩個電子時（電子的自旋為），基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能級簡并度（假定電子間無相互作用）。浙江大學2006年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題（50分）簡答題：（1）從坐標與動量算符的對易關(guān)系（等）推出角動量算符與動量算符的對易關(guān)系。（2）請用泡利矩陣，定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量對易關(guān)系。（3）量子力學中的可觀測量算符為什么應(yīng)為厄米算符？（4）你知道量子力學中的哪些效應(yīng)在經(jīng)典物理中沒有對應(yīng)。（5）設(shè)為的非簡并本征函數(shù)，相應(yīng)的能量本征值

19、為，如果，其中可看作微擾。試寫出能級的微擾修正公式（寫到二級修正）。（6）什么叫受激輻射，什么叫自發(fā)輻射？（7）寫出由兩個自旋態(tài)矢構(gòu)成的總自旋為的態(tài)矢和自旋為的態(tài)矢。第二題（20分）：已知氫原子的基態(tài)波函數(shù)為，（1）求氫原子的最可幾半徑（即徑向幾率密度取最大值的值）。（2）求氫原子的平均半徑（即得平均值）。第三題（20分）：有一個質(zhì)量為的粒子在寬度為的無限深勢阱中運動。（1）求出其能級和波函數(shù)。（2）如果該粒子的自旋為，則能級二重簡并。加入磁場后Zeeman效應(yīng)會讓能級分裂，簡并消除。當磁場為某個特殊值時，又會出現(xiàn)簡并能級。試求該磁場的值。第四題（20分）：試求的能級。你覺得能級簡并度有什么特

20、點？提示：二維各向同性諧振子可用極坐標求解，能級為，為徑向量子數(shù)，為磁量子數(shù)。第五題（20分）：一個體系的哈密頓量為，其中為實數(shù)，泡利矩陣的下標，表示第一個粒子和第二個粒子，用矩陣的直乘理解即為等等。（1）求出其本征值。（2）對于不同的取值范圍，寫出相應(yīng)的基態(tài)矢量。第六題（20分：選做（A）、（B）、（C）其中一題即可）：（A）用玻恩近似求勢場的散射截面。（B）用分波法求勢場散射的波相移。（C）求一維方勢阱的透射系數(shù)，并給出發(fā)生共振透射的條件。浙江大學2007年攻讀碩士學位研究生入學考試試題考試科目 量子力學第一題（50分）簡答題：（1）寫出泡利矩陣的形式。（2）量子力學中的可觀測量算符為什么

21、要求是厄米算符？（3）放射性指的是束縛在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出來，你認為這與什么量子效應(yīng)有關(guān)？（4）試求質(zhì)量為的粒子處在長度為的一維盒子（可看成是無限深勢阱）中，試求他對盒子壁的壓力。（5）自發(fā)輻射和受激輻射的區(qū)別是什么？（6）寫出測不準關(guān)系，并簡要說明其物理含義。（7）請分別之處下列三種能級對應(yīng)的是哪些系統(tǒng)， ，（8），設(shè)為的能量本征值為的非簡并本征函數(shù)，如果可看作微擾。試寫出能級的微擾論修正公式（寫到二級修正）。第二題（25分）：有一個質(zhì)量為的粒子處在如下勢阱中（這里）（1） 求能級與波函數(shù)。（2） 你認為通過調(diào)節(jié)和中的哪一個參數(shù)值可以讓勢阱中的粒子有一定的概率穿透出來，

22、為什么？第三、四題（25分+25分）從如下（A）、（B）、（C）中選做二個即可！（A） 求屏蔽庫倫場的微分散射截面（提示：可直接用中心勢散射的玻恩近似公式的化簡形式）。（B） 用分波法求勢場散射的波相移。（C） 有一種冷原子有兩個能級簡并的態(tài)和，最近科學家在他們的冷原子“暗態(tài)”實驗中引入的激光場的效應(yīng)相當于如下微擾哈密頓量， 。求出該微擾哈密頓量引起的能級修正和所對應(yīng)得本征態(tài)。第五題（25分）：電子被束縛在簡諧振子勢場中：，若引入，則有，并有關(guān)系，。顯然基態(tài)應(yīng)滿足（1） 試求基態(tài)波函數(shù)和第激發(fā)態(tài)的波函數(shù)。（2） 如果該勢阱中有兩個電子（忽略它們間的相互作用），寫出他們的基態(tài)波函數(shù)（提示：電子的自旋為的全同粒子）。（3） 如果加入均勻磁場，問當很強，超過某臨近界時，上述基態(tài)還會是基態(tài)嗎？是具