1、第六節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)典例(2018 全國(guó)卷n )已知函數(shù) f(x)=gx3a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).解(1)當(dāng) a= 3 時(shí)，f(x)=1x3-3x2-3x-3,3 2f (x)= x 6x 3.令 f (x)=0,解得 x=3243或 x=3+2y3.當(dāng) xC(oo, 3- 2也)U (3+2, +8)時(shí)，f (x)0；當(dāng) xC(3 243, 3 + 243)時(shí)，f (x)0,3所以f(x)=0等價(jià)于2.3a=0.x + x+ 13設(shè)g(x)=Mx; 3a,2,x2fx2+2x+3則g (X)=

2、 (X2+x+120,僅當(dāng) x= 0 時(shí)，g (x)= 0,所以g(x)在(一8, + OO)上單調(diào)遞增.10, 63故g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又 f(3a 1) = 6a2+ 2a 3= 6 a 故f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).解題技法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法直接法令f(x)=0,則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)回圖法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫(huà)出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可定理法利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)函數(shù) f(x)= ln x+m, m R.x當(dāng)m = e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)

3、= f (x) x零點(diǎn)的個(gè)數(shù).3解：由題意知，當(dāng) m = e時(shí)，f(x)=ln x+ e(x0), x.x e則 f (x)=T,x，當(dāng) xC(0, e)時(shí),f (x)0, f(x)在(e, + 00)上單調(diào)遞增,當(dāng) x=e時(shí)，f(x)取得極小值 f(e)= ln e+ e=2,e，f(x)的極小值為2.x 1 m x(2)由題息知 g(x) = f (x) - 3= x- x2- 3(x0),令 g(x)=0,得 m= 1x3+x(x0).3一1 設(shè) (f)(x)=- 3+x(x0),3則 4 (x)=x2+1 = (x1)(x+1).當(dāng) xC (0,1)時(shí)，4 (x)0, Mx)在(0,1

4、)上單調(diào)遞增;當(dāng) xC(1, +8)時(shí),-(x)3時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；32當(dāng)0m2時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；3當(dāng)m=2或mW0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；32一當(dāng)0mW時(shí),函數(shù)g(x)有兩個(gè)季點(diǎn).3考點(diǎn)二已知零點(diǎn)存在情況求參數(shù)范圍典例(2019 重慶調(diào)研)設(shè)函數(shù) f(x)= x2 + ax+ ln x(a C R).(1)當(dāng)a= 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在3, 3 上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),當(dāng)a = 1時(shí)，1 2x2x+1f (x)=- 2x-1+；=；,x.x

5、.*1令f (x)=0,得x = 2(負(fù)值舍去)，,1 ,當(dāng) 0x0;1 一，當(dāng) x2時(shí)，f (x)0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為o, 1單調(diào)遞減區(qū)間為 g, +8；.(2)令 f(x)=x2+ax+ ln x=0,得 a=xlnA x令 g(x)=x-lnxx,其中 xC 3, 3，,一.1 ln x x2+ln x 11則 g (x)=1 x2-=x2，令 g (x) = 0,得 x=1,當(dāng)3Wx1 時(shí)，g (x)0;當(dāng) 10,，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3,g(x)min=g(1)=1,函數(shù) f(x)在 3, 3 I上有兩個(gè)零點(diǎn)，gg ：-= 3ln 3 + 3, g(

6、3)=3ln3,3ln 3 + 13 ln3, 33實(shí)數(shù)a的取值范圍是j, 3 臂!解題技法本題是已知區(qū)間上有零點(diǎn)，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.由于有些函數(shù)圖象較為復(fù)雜，也沒(méi)有 固定的形狀特點(diǎn)，所以在研究此類問(wèn)題時(shí)，可以從兩個(gè)方面去思考：(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，估計(jì)出函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件；(2)也可以先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)情況，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況， 推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò) 多次求導(dǎo)，層層推理得解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x,若關(guān)于x的方程f(x)=x210x+m

7、在區(qū)間1,3上有解，求 m的 取值范圍.解：方程f(x)=x2-10x+m在區(qū)間1,3上有解，3即ln x-x2+7x=m在區(qū)間1,3上有解.3令 h(x)= ln x x2+ 7x 3 則 h (x)=1_2x+ 7=J3x+1(2x-3) x 33x .當(dāng)xC 1,3時(shí)，h (x), h(x)隨x的變化情況如下表:x1。2)32息3)3h (x)十0一h(x)43極大值ln 3- 2h(1) = 4, h(3)=ln 3 20).(1)若k= 1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k的值.解：(1)若 k= 1,則 f(x)=xln x,定義域?yàn)?0, 十

8、 ),則 f (x)=1-1, x由 f (x)0,得 x1 ;由 f (x)0,得 0Vx0). x人，.In x -1 ln x令 g(x)=q-(x0),則 g (x)=一7一, x.x.當(dāng) 0x0;當(dāng) xe 時(shí),g (x)0, 要使f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),則k=.e1 kx 1法一：f(x)=kxln x, f (x)= k-=(x0, k0).x x當(dāng) 0x1 時(shí)，f (x)1 時(shí)，f (x)0. kk.Mx)在1，k 上單調(diào)遞減，在 5 +8；出單調(diào)遞增，f(x)min = f 尸 1-ln 1,f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.1-ln 7=0,即k = 1.ke法三：= k0,函數(shù)f(

9、x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線y= kx與曲線y= ln x相切,設(shè)切點(diǎn)為(x0, yc),由y= in x,得丫 =x,1k=一,x0y= kx05y= ln xq,k=1, .實(shí)數(shù)k的值為1.第8頁(yè)共8頁(yè)2.已知函數(shù) f(x)=x3+x2+ax+ b.(1)當(dāng)a=- 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線 y= ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的值.解：(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x)= x3 + x2 x+ b,則 f (x)=3x2+2x-1,11由f (x)0,得x3,所以函數(shù)f(x)的單倜遞增區(qū)間為(一,1)和弓，+8$f(x) ax= 0有兩個(gè)不等

10、(2)函數(shù)f(x)的圖象與直線y= ax恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于的實(shí)根.令 g(x)= f(x) ax= x3+x2+b,則 g (x)=3x2+2x.由 g (x)0，得 x0;3由 g (x)0,得一2x0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x)0,得 x0,得 xln a,，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, in a),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a,+8).人1(2)令 g(x)=0,得 f(x)= 0或 x=2,先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)aW1時(shí)，f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增且 f(0) = 0,f(x)在0,1上

11、有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(一00, 1)上單調(diào)遞減，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)1ae時(shí)，f(x)在(0, in a)上單調(diào)遞減，在(in a,1)上單調(diào)遞增.而 f(1) = e a-1,當(dāng) ea10,即 1ae-1 時(shí)，f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ea10,即e- 1ae- 1或a=2(、/e 1)時(shí)，g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)10),xx當(dāng)aw。時(shí)，f (x)0, f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，f(x)無(wú)極值.1當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x)0,得 0Vx-;a令 f (x)1.a故f(x)在3，1 單調(diào)遞增，在 g + 00 ,止單調(diào)遞減，.f(x)存在極大值

12、，極大值為fg ln ； + ：1,無(wú)極小值.綜上所述，當(dāng)aw 0時(shí)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)存在極大值，極大值為ln - +1- 1,a a 無(wú)極小值.,一 x 一 ，1 x(2)g(x) = ex-2, g (x)= ex , ee令 g (x)0,得 x1;令 g (x)1.則g(x)在(00, 1)上單調(diào)遞增，在(1, +8)上單調(diào)遞減.g(0) = 2, g(1) = 1-2, g(e)=；ee-2-2, ee當(dāng) xC(0, e時(shí)，g(x)C 2, 1- 2 由(1)得，當(dāng)aW0時(shí)，f(x)在(0, + 8)上單調(diào)遞增，此時(shí)在(0, e上f(x) = g(x)總有兩個(gè) 不相等的實(shí)數(shù)根不成立，因此 a0.a