1、教育部課題雙曲線與其標準方程 雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程2012220122月月 我們知道歷史上是古希臘人最早研究圓錐曲線，公元前我們知道歷史上是古希臘人最早研究圓錐曲線，公元前262到到公元前公元前192阿波羅尼寫出阿波羅尼寫出圓錐曲線圓錐曲線進行系統的研究。進行系統的研究。 在當時的社會，生活生產實踐中有雙曲線的存在嗎？古希臘人在當時的社會，生活生產實踐中有雙曲線的存在嗎？古希臘人是如何發現雙曲線的？是如何發現雙曲線的？ 對于圓錐曲線的最早發現，眾說紛紜。有人說，古希臘數學家對于圓錐曲線的最早發現，眾說紛紜。有人說，古希臘數學家在求解在求解“立方倍積立方倍積”問題時，發現了圓錐曲

2、線：設問題時，發現了圓錐曲線：設x、y為為a和和2a的的比例中項，即。比例中項，即。a：x=x：y=y：2a，則，則x2=ay,y2=2ax，xy=2a2，從，從而求得而求得x3=2a3。又有人說，古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截。又有人說，古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截時發現了與時發現了與“立方倍積立方倍積”問題中一致的結果。還有認為，古代天文問題中一致的結果。還有認為，古代天文學家在制作日晷學家在制作日晷（gui）時發現了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的時發現了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光照在日晷上，桿影的移圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光

3、照在日晷上，桿影的移動可以計時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。動可以計時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發明在古代就已失傳。日晷按照日影測定時刻的儀器然而，日晷的發明在古代就已失傳。日晷按照日影測定時刻的儀器 。 但從近代開始，生活中出現了有雙曲線的物體即建筑物。它們但從近代開始，生活中出現了有雙曲線的物體即建筑物。它們是人類研究了雙曲線的性質后根據雙曲線的性質建造的。不知道雙是人類研究了雙曲線的性質后根據雙曲線的性質建造的。不知道雙曲線的性質，建筑物是造不出來的。曲線的性質，建筑物是造不出來的。 在古希臘雖然知道雙曲線，但古希臘人不知道知識在古希臘

4、雖然知道雙曲線，但古希臘人不知道知識就是力量，知識就是生產力。在古希臘知識是有錢人的消就是力量，知識就是生產力。在古希臘知識是有錢人的消遣遣,是人本身具有的探索大自然奧秘的好奇心才追求知識。是人本身具有的探索大自然奧秘的好奇心才追求知識。到了近代，培根（到了近代，培根（1561-1626），英國文藝復興時期最重要的散作家、哲學家。）才提出來知識就是力量。才提出來知識就是力量。正在建設中金沙江上的正在建設中金沙江上的溪落渡水電站溪落渡水電站: :雙曲拱壩雙曲拱壩雙曲線及其標準方程雙曲線及其標準方程橢圓的定義？橢圓的定義？1F2F 0, c 0, cXYO yxM,探索研究平面內與兩個定點平面內與

5、兩個定點F1、F2的的距離的和等于常數（大于距離的和等于常數（大于F1F2）的點軌跡叫做橢圓。）的點軌跡叫做橢圓。思考思考：如果把橢圓定義中的如果把橢圓定義中的“距離之和距離之和”改為改為“距距離之差離之差”，那么點的軌跡是怎樣的曲線？，那么點的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內與兩個定點平面內與兩個定點F1、F2的距離的差等于常數的距離的差等于常數的點的軌跡的點的軌跡 ”是什么？看圖分析動點看圖分析動點M滿足的條件：滿足的條件：等于等于2a或或-2a需要死記硬需要死記硬背嗎？背嗎？答：根據答：根據圖像知道圖像知道哪長哪短。哪長哪短。 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2

6、|=2c 焦距焦距.02a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？yoF2F1Mx 古希臘人只在幾何角度對圓錐曲線做出研究，到古希臘人只在幾何角度對圓錐曲線做出研究，到17世紀，笛世紀，笛卡爾橫空出世，給數學帶來新方法那就是用代數角度研究幾何。卡爾橫空出世，給數學帶來新方法那就是用代數角度研究幾何。F2F1MxOy求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：二、二、 雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直線為所在的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系的中點為原點建立直角坐標系2.2.設點設點設設M（x , y）,則則F1(-c,0),F2(c,

7、0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化簡化簡aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即為此即為焦點在焦點在x軸上的軸上的雙曲線雙曲線的標準的標準方程方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，思考：若建系時思考：若建系時,焦點在焦點在y軸上呢軸上呢?看看 前的系數，哪一個為正，則前的系數，哪一個為正，則在哪一個軸上在哪一個軸上22, yx定定 義義 方方 程

8、程 焦焦 點點a.b.ca.b.c的關的關系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓雙曲線雙曲線F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab 對于橢圓、雙曲線到底是對于橢圓、雙曲線到底是a大大 b大還是才大還是才c大？是啊大？是啊a2 =b2 +c2 還是還是c2 =a2 +b2 ?需要死記硬背嗎？需要死記硬背嗎？ 答：只要一畫出橢圓、雙曲線的圖像從圖像上看一目

9、了然。對答：只要一畫出橢圓、雙曲線的圖像從圖像上看一目了然。對于雙曲線圖像上是看不出來于雙曲線圖像上是看不出來a大還是大還是b大，所以就沒有大，所以就沒有a大還是大還是b大。大。討論：討論： 當 取何值時，方程 表示橢圓，雙曲線，圓 。nm、122 nymx解：由各種方程的標準方程知，當 時方程表示的曲線是橢圓nmnm , 0, 0當 時方程表示的曲線是圓0 nm當 時方程表示的曲線是雙曲線0 nm三、例題選講三、例題選講 0, 5,0, 521FF P例例1 已知兩定點已知兩定點 ,動點動點 滿滿足足 ,求動點求動點 的軌跡方程的軌跡方程P例例1 已知兩定點已知兩定點 ,動點動點 滿滿足足

10、,求動點求動點 的軌跡方程的軌跡方程變式訓練：已知兩定點變式訓練：已知兩定點 ,動點動點 滿滿足足 ,求動點求動點 的軌跡方程的軌跡方程 0, 5,0, 521FF PP變式訓練：已知兩定點變式訓練：已知兩定點 ,動點動點 滿滿足足 ,求動點求動點 的軌跡方程的軌跡方程xy22yx 、例例2 2 已知方程已知方程 表示雙曲線，表示雙曲線，求求 的取值范圍。的取值范圍。13922 kykxk分析：由雙曲線的標準方程知該雙曲線焦點可能在分析：由雙曲線的標準方程知該雙曲線焦點可能在 軸也可能在軸也可能在 軸，故而只要讓軸，故而只要讓 的系數異號即可。的系數異號即可。xy22yx 、例例3、已知、已知

11、 兩地相距兩地相距 ，在，在 地聽到地聽到炮彈爆炸聲比在炮彈爆炸聲比在 地晚地晚 ，且聲速為，且聲速為 ，求炮彈爆炸點的軌跡求炮彈爆炸點的軌跡.BA、m800ABs2sm/340BA、BA、BA、B分析：依題意有，爆炸地點距分析：依題意有，爆炸地點距 兩地的距離差值為兩地的距離差值為一個定值，故而可知，爆炸點在以一個定值，故而可知，爆炸點在以 為焦點的雙曲線為焦點的雙曲線上，又在上，又在 地聽到的晚，所以爆炸點離地聽到的晚，所以爆炸點離 較遠，應是靠較遠，應是靠近近 的一支。的一支。BA、BA、AA 答答: :再增設一個觀測點再增設一個觀測點C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩）兩處測得的爆

12、炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置的準確位置. .這是雙曲線的一個重要應用這是雙曲線的一個重要應用. .11222mymx隨堂練習隨堂練習m2或或m1求適合下列條件的雙曲線的標準方程求適合下列條件的雙曲線的標準方程a=4,b=3，焦點在，焦點在x軸上；軸上；焦點為焦點為(0,6),(0,6)，經過點，經過點(2,5)已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在y軸的軸的雙曲線，則實數雙曲線，則實數m的取值范圍是的取值范圍是_m2191622yx1162

13、022xy 我們知道除了根據雙曲線的定義這種運動方式產生的軌跡是雙我們知道除了根據雙曲線的定義這種運動方式產生的軌跡是雙曲線，那還有沒有其他的運動方式產生的軌跡是雙曲線。這些實驗曲線，那還有沒有其他的運動方式產生的軌跡是雙曲線。這些實驗會受到當時社會生產力即科技水平的限制嗎？即不管在古代、近代、會受到當時社會生產力即科技水平的限制嗎？即不管在古代、近代、現代、當代都可以實驗。現代、當代都可以實驗。雙曲線的簡單幾何性質雙曲線的簡單幾何性質P52例例5點點M(x，y)到定點到定點F(5，0)的距離和的距離和它到定直線它到定直線l:x=16/5的距離的比是常數的距離的比是常數5/4，求點，求點M的軌

14、跡。的軌跡。 與橢圓的簡單幾何性質與橢圓的簡單幾何性質P41例例6類比類比 P54習題習題2.2A組組5與與P42 習題習題2.1A組組7類比。類比。 這是圓錐曲線的第二定義，在開普勒（這是圓錐曲線的第二定義，在開普勒（15711630）的發現）的發現焦點和離心率下才成為可能。焦點和離心率下才成為可能。 1、設動圓、設動圓M恒過定點恒過定點A(-3,0),且與定圓且與定圓C:（x-3 ）2 + y2 =4外外切切,求動圓圓心求動圓圓心M的軌跡方程的軌跡方程 P54 習題習題2.2B組組3。應用：應用：1）已知）已知x軸上的一定點軸上的一定點A（1，0），），Q為橢圓為橢圓 上的上的動點，求動點，求AQ中點中點M軌跡方程。軌跡方程。1422 yx答案答案：1441222yx2）已知定圓）已知定圓C1： ，圓圓C2： ，動圓，動圓M和定圓和定圓C1外切和圓外切和圓C2內切，內切，