1、第六講第六講 隨機變量及其分布隨機變量及其分布二二 2. 延續型隨機變量延續型隨機變量在前面我們學習一類離散型隨機變量，主要特點是它僅僅取有限或可數個值取有限或可數個值，并且取每個值的概率大于 0。 但在實際問題中，我們時常需要考慮另外一類隨機變量，如，隨機地向0,1區間上投點其落點的位置；日光燈泡的使用壽命；測量誤差等，對于這些數量關系，我們都不可能要求它們取事先指定的可數個值。實際上，它們在0,1、(0,)和(,) 上取值。更為重要的是，它們取每個給定值的可能性均為 0。 這時，我們該怎樣刻畫這些隨機變量呢？. 讓我們從隨機地向0,1區間上投點開始，令X表示其落點的位置。正如幾何概率模型中

2、所說的，X取每個點的可能性都相同，并且我們可以考慮落在一個區間或一個集合內的概率。 如計算 ()P aXb ()P XB 這只與區間長度ba或B的長度|B有關， 即 ()P aXbba () |P XBB 正如物理中計算物質質量一樣，我們說X具有均勻概率密度函數 1, 01( )0, xp x其它 一 般 地 ， 考 慮(,)R =- 一 個 函 數:( )p xp x， 如果滿足 1. ( )0p x 2. ( )1p x dx- = 那么稱( )p x為R上的一個概率密度函數。 注: 條件 2 并不是很強的限制，因為當 ( )p x dxM- = 時，我們可以令( )( )/pxp xM*

3、=即可得到一個概率密度函數。 條件 1 要求( )p x所對應的曲線完全位于 x軸的上方，事實上，曲線上方的面積有著重要的概率意義。 如果一個隨機變量:XRW 滿足 ()( )baP aXbp x dx=, ab , 那么稱X為連續性隨機變量，具有概率密度函數( )p x。 (注意：這里實際上要求:( )aXb F F , ab ) 這時，對任何x- ， 那么稱X服從參數為l的指數分布分布，記作exp( )Xl:。 相應的分布函數為 ： 0, 0 ( )1, 0 xxF xex 圖形示范 正如前面學過的幾何分布一樣，指數分布也具有無記憶性，即 (|)()yP Xxy XxeP Xyl-+= 我

4、們今后還會看到：指數分布和 Poisson 分布有著密切的聯系。 (3). 正態分布正態分布 其中 m- ，那么稱X服從參數為2,m s的正態分布，記作2( ,)XNm s:。 如果隨機變量在(,)-上取值，具有概率密度函數 221()( )exp,22xp xxmsps驏-=-桫- 圖形示范 當20,1ms=時，我們稱為標準正態分布。正態分布這個名稱也許首先 F.Galton 在 1885 年之前給出，它被認為是最重要的一種概率分布。根據著名的中心極限定理(以后將介紹)，在自然界和人類社會中許多現象都可由正態分布加以描述。 (1) 驗證上述( )p x確實為密度函數，即 ( )1p x dx

5、- = (2) 分析( )p x的圖形性質和特點 (3) 人們通常用( )xF表示標準正態分布的分布函數， 即 221( )2uxxedup- F= 對于一般的正態分布隨機變量2( ,)XNm s:，其分布函數( )F x可由( )xF來表示： 這個積分并沒有一個顯性函數表示，因此人們已建立了一個表備用。 學查分布函數表221()( )exp22xuxF xdummssps- 驏驏-=-= F桫桫2( ,):(0,1)XXNNmm shs-=:例例. . 設(2,9)XN:, 求(520)PX， 那么稱X服從參數為,a b的G分布，記作( , )Xa bG:。 這里G函數( )bG被定義為 1

6、( )xxedxbb- G= 特別，1b=如果1b=，那么X正是前面介紹過的參數為a的指數分布； 如果12a=, 并且對某個正整數n使得2nb=， 那么我們稱X服從參數為n的2c分布，記作2( )Xnc:。 (5). Cauchy 分布分布 如果隨機變量在(,)- 上取值，具有概率密度函數 那么稱X服從 Cauchy 分布。 21( ),(1)p xxxp=+- ， 那么稱X服從參數為,a b的 Beta分布，記作( , )XBa b:。 11( ) ( )(1), 01()( ) 0, xxxp x其它 注意到 Beta 函數( , )Ba b和 Gamma 函數間的關系： 上述( )p x

7、確實是密度函數。 1110()( ,):(1)( ) ( )Bxxdx 特別，如果1ab=，那么X服從0,1上的均勻分布。 (7). Weibull分布分布 其中,0a b， 那么稱X服從參數為,a b的Weibull 分布。 如果隨機變量在0,)上取值，具有概率密度函數 1, 0( ) 0, xxexp x其它 特別，如果1b=，那么X服從參數為 a的指數分布。 其分布函數為 1, 0( ) 0, xexF x其它 3. 普通隨機變量普通隨機變量以上我們引見了兩類典型的隨機變量及其分布： (1) 離散型隨機變量取有限或可列個值，其分布可用分布列描寫，分布函數是階梯型函數； (2) 延續型隨機

8、變量在一個或幾個不相交的區間內取值，具有密度函數，分布函數是處處延續的，并具有導數。 但我們應該強調，除了這兩種以外，還存在其它類型的隨機變量。 令 ( )1, (, )X TX Hqq= -= 考慮下列隨機試驗： 投擲一枚硬幣，出現正面的可能性為p；如果出現正面，那么繼續投擲一次標槍，標槍的傾斜角度q為(0,2 )p上的均勻分布。 這時，樣本空間為 ,(, ):02 THqqpW = 其中H代表正面，T代表反面。 該函數除1-點外處處連續，X既不是離散型隨機變量，也不是連續型隨機變量。 那么該隨機變量X取值為 10,2 p-，其分布函數( )F x如下 0 1 , -10( ) , 02 2

9、 1, 2xqxF xxqpxx， 嚴格來說，上式應寫成 對一般的隨機變量，我們主要使用分布函數來刻畫其取值的規律。給定一個概率空間(, F, P)， 假設:XRW 是一個隨機變量，那么定義 ( )()F xP Xx= 作為分布函數。 ( )(:( )F xPXxww=注意到P是從F到0,1上的一個函數，或者說，只有對F中的集合或事件A，( )P A才有定義。 因此， 為了對每個x， 我們能很好地定義( )F x， 那么需要 :( )XxwwF。這就導致了隨機變量的嚴格數學定義： 給給定定一一個個概概率率空空間間(, F F, P), 如如果果對對每每個個x，:( )XxwwF F，那那么么稱稱:XRW 是是關關于于F F的的可可測測函函數數。 這這樣樣的的函函數數，我我們們稱稱其其為為定定義義在在概概率率空空間間(, F F, P)上上隨隨機機變變量量。 事實上，如果X是隨機變量，那么對任何 Borel集B，都有 :( )XBww撾F 這一性質對我們今后的討論很重要。 從概率的性質可推出，一個隨機變量的分布函數具有下列性質： 1. lim( )0 xF x，lim( )1xF x 2. ( )F x 單調增加 3. ( )F x左極限存在