1、2020-2021中考數學一圓的綜合的綜合壓軸題專題復習附答案解析、圓的綜合1 .如圖 1,直角梯形 OABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45°.* %(1) OC的長為(2) D是OA上一點，以BD為直徑作OM, OM交AB于點Q.當。M與y軸相切時，sin / BOQ=；(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度，從點O沿線段OA向點A運動；同時動點D以相同的速度，從點 B沿折線B- C-。向點O運動.當點P到達點A時，兩點同時 停止運動.過點 P作直線PE/ OC,與折線O-B- A交于點E.設點P運動的時間為t(秒).求當以 B、D、E為頂點的三

2、角形是直角三角形時點E的坐標.【答案】(1)4; (2) 3 ; ( 3)點 E 的坐標為(1,2)、( ：，10)、(4,2).【解析】分析：(1)過點B作BHLOA于H,如圖1 (1),易證四邊形 OCBH是矩形，從而有OC=BH,只需在4AHB中運用三角函數求出 BH即可.(2)過點B作BHLOA于H,過點G作GF, OA于F,過點B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖1 (2),則有 OH=2, BH=4, MN LOC.設圓的半徑為 r,則 MN=MB=MD=r.在RBHD中運用勾股定理可求出 r=2,從而得到點 D與點H重合.易證 AFGA ADB,從而可求出 AF

3、、GF、OF、OG OB、AR BG,設 OR=x,利用 BR2=OB2 - OR2=BG2-RG2可求出x,進而可求出BR在RORB中運用三角函數就可解決問題.(3)由于4BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(/BDE=90°,Z BED=90 °,Z DBE=90 °)討論，然后運用相似三角形的性質及三角函數等知識建立 關于t的方程就可解決問題.詳解：(1)過點 B 作 BHLOA 于 H,如圖 1 (1),則有 /BHA=90°=/ COA,OC/ BH. BC/ OA,，四邊形 OCBH是矩形，. .OOBH, BC=OH. OA=6

4、, BC=2, . AH=0A-OH=OA- BC=6 - 2=4. ZBHA=90 °, Z BAO=45 °,tan / BAH= BH =1,. BH=HA=4,. OC=BH=4.HA故答案為4.(2)過點B作BHOA于H,過點G作GF± OA于F,過點B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖 1 (2).由(1)得：OH=2, BH=4. OC與。M 相切于 N, MN ±OC.設圓的半徑為 r,則MN=MB=MD=r.BC± OC, OA± OC,BC/ MN/OA. BM=DM, CN=ON, .-.MN=

5、- ( BGOD) , . OD=2r 2 ,2OD OH =2r 4 .在 RtA BHD 中, ZBHD=90 °, . . BD2=BH2+DH2,(2r) 2=42+ (2r 4) 2.解得：r=2,DH=0,BD是。M的直徑，GF± OA, BDXOA,AF GF AG 1即點D與點H重合，BD± 0A, BD=AD./BGD=90 °,即 DG,AB, . BG=AG.GF/ BDAAFGAADBAD BD AB 2，- AF=1AD=2,2GF=1BD=2, .-.OF=4, 2 OG= Vof"_GF2 = " 22

6、=2 亞. 1同理可得：OB=2 而，AB=472，BG=-AB=2 72 .2設 OR=x,貝U RG=2 J5 -x.BR± OG,Z BRO=Z BRG=90 °,BR2=OB2 - OF2=BG2- RG2,. (2石)2-x2=(2右)2- (2 x)2解得：x=W5 , .BF2=OB2-OR2= (275 ) 252 366.5=,. Br在 RtA ORB 中，sin/BOR=BR 6-5 3=5OB 2,5,3故答案為一.5(3) 當/BDE=90°時，點D在直線 此時 DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, 解得：t=1,則 OP

7、=CD=DB=1.PE上,BD=t,如圖2.OP=t. 則有2t=2. DE/ OC, BD& BCO,DEBDOC BC 21DE=2,EP=2,點E的坐標為(1,2).當/ BED=90°時，如圖3.,ADBEAOBC, / DBE=OBC, / DEB=Z BCO=90BE DB BE tBC OB '2 _ 2M '. PE/ OC,Z OEP=Z BOC. ZOPE=Z BCO=90 °,AOPEABCO,OE OP OE t * _OB=三'2?5=2'75t.OE+BE=OB=2 .5, 5t+15-t=2 55 .解得

8、：t=5, .-op=5,335Cp-5,5- pc- 2210OE=，- pe=VOEOP =，5 10、,點E的坐標為（一,）.3 3當/ DBE=90°時，如圖4.此時 PE=PA=6-t, OD=OC+BC- t=6-t.貝U有 OD=PE, EA= TpE_PAr=V2 （6t） =6& >/2?t,.BE=BA- EA=4/ -（6夜-亞）=亞-2后PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90 °,，四邊形 ODEP是矩形，.DE=OP=t, DE/ OP,/ BED=Z BAO=45 :在 RtA DBE 中,cosZ BED=-BE- = ,

9、DE=&BE, .t = 42（&A 2 行）=2t -4.解得：t=4, .OP=4, PE=6-4=2, .點 E 的坐標為（4, 2）.綜上所述：當以 B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標為（1,2）、（5,嗎（4,2）8工點睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數的定 義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數學思想，有一定的綜合性.2.如圖，AB是。的直徑，弦CD±AB,垂足為H,連結AC,過BD上一點E作EG/ AC交CD的延長線于點 G,連結AE交CD于點F,且EG=FG連結C

10、E(1)求證：/G=/ CEF(2)求證：EG是。的切線；(3)延長AB交GE的延長線于點 M ,若tanG =-, AH=3j ,求EM的值.4,【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) 空叵.8【解析】試題分析：(1)由AC/ EG,推出/G=/ACG,由AB± CD推出AD AC，推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可證明；(2)欲證明EG是。的切線只要證明 EG± OE即可；(3)連接OC.設。的半徑為r.在RtOCH中，利用勾股定理求出 r,證明AH HC AHCAMEO,可得 ，由此即可解決問題；EM OE試題解析：(1)證明：如圖 1.

11、 AC/ EG,ZG=Z ACG, / AB± CD,AD AC， . / CEF=/ACD, ，/G=/CEF, / ECF=/ ECG,AECfAGCE(2)證明：如圖2 中，連接 OE. GF=GE, . . / GFE=/GEF=/AFH,- 0A=OE,/ OAE=Z OEA, /AFH+/FAH=90 ；ZGEF+Z AEO=90 ；Z GEO=90 ； .-.GE± OE,.EG是。O的切線.(3)解：如圖3中，連接OC.設。的半徑為r.在 RtAHC 中，tan Z ACH=tan Z G= AH- = 3 , AH=3/3,HC 4'HC=4y/3

12、 ,在 RtHOC中,. OC=r, OH=r 3向，HC=473,，（r 3后（4百）2225.3r , r=,AH HC. GM/AC, ，/CAH=/M, / ZOEM=ZAHC, AHC MEO, . EM OE3<34.3EM 25.3.EM = 25J8點睛：本題考查圓綜合題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、勾股定 理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，正確尋找相 似三角形，構建方程解決問題嗎，屬于中考壓軸題.3.如圖，已知 RtABC中，C=90°, O在AC上，以OC為半徑作 OO,切AB于D點，且BC=BD(1)求

13、證：AB為。的切線；(2)若 BC=6, sinA=3,求。的半徑；5(3)在(2)的條件下，P點在。上為一動點，求 BP的最大值與最小值.A【答案】（1）連OD,證明略；（2）半徑為3; （3）最大值3J5+3 , 375-3.【解析】分析：（1）連接OD, OB,證明OD®4OCB即可.（2）由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-,然后求出 OD的長度即可.55（3）由三角形的三邊關系，可知當連接OB交。O于點E、F,當點P分別于點E、F重合時，BP分別取最小值和最大值.詳解：（1）如圖：連接OD、OB.在AODB和OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;.

14、,.ODBAOCB (SSS/ ODB=/ C=90 :.AB為。的切線.sinA= b BC=6,AB=10, BD=BC=6,.AD=AB-BD=4,. sinA= 3 ,cosA=4 ,55.OA=5, OD=3,即。的半徑為：3.（3）如圖：連接OB,交。為點E、F,由三角形的三邊關系可知：當P點與E點重合時，PB取最小值.由（2）可知：OD=3, DB=6, -OB= 32 623 5.PB=OB-OE=3.5 3.當P點與F點重合時，PB去最大值， PB=OP+OB=36.5 .點睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知識 全等三角形判定與性質的理解.關鍵是對三角函數值、勾股定

15、理、4.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧Ab .1用直尺和圓規作出 Ab所在圓的圓心o；（要求保留作圖痕跡，不寫作法 ）2若AB的中點C到弦AB的距離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析；（2） 50m【解析】分析：1連結AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據垂徑定理的推論，由C為AB的中點得i1八到 OC AB , AD BD -AB 40，則 CD 20,設 e O 的半徑為 r,在 RtVOAD中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.詳解：1

16、如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,qc為Ab的中點，OC AB, 1 AD BD - AB 40 , 2設e O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 222r (r 20)40 ,解得 r 50,即AB所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于 把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題.5.矩形ABCD中，點C (3, 8) , E、F為AB、CD邊上的中點，如圖 1,點A在原點處，點B在y軸正半軸上，點 C在第

17、一象限，若點 A從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位 長度的速度運動，點 B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形 ABCD在平面內滑動,如圖 2,設運動 時間表示為t秒，當點B到達原點時停止運動.(1)當t=0時，點F的坐標為;(2)當t=4時，求OE的長及點B下滑的距離;(3)求運動過程中，點 F到點O的最大距離;(4)當以點F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，求 t的值.【答案】(1) F (3, 4) ; (2) 8-473;(3) 7;(3)當0、E、F三點共線時，點 F到點O的距離最大，FO=OE+EF=.國1圉2(4) t的值為或.55試題分析：(1)先確定出DF,進而彳#出點F的坐標;

18、(2)利用直角三角形的性質得出/ABO=30。，即可得出結論;(3)當O、E、F三點共線時，點F到點O的距離最大，即可得出結論;(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當 t=0 時.-AB=CD=8, F 為 CD 中點，DF=4,F (3, 4)； (2)當 t=4 時，OA=4.在 RtABO 中，AB=8, Z AOB=90°,./ABO=30 ；點E是AB的中點，OE=：AB=4, BO=4>/3 ,，點B下滑的距離為8 4石.(4)在 RtADF 中，FD2+AD2=AF2,加=巧2 AD2=5,設 AO=ti 時，。5與乂軸 相

19、切，點 A 為切點，.FAI 0A,ZOAB+Z FAB=90° . / Z FAD+Z FAB=90°,/ BAO=Z FAD. / BOA=Z D=90 :RtA FA& RtA ABO,ABFAAO 8 tlFE ' . 5 3 '.ti=24 ,設A8t2時，OF與y軸相切，B為切點，同理可得，t2=02. 55綜上所述：當以點 F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，t的值為_24或名.55點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質，直角三角形的性質，中點的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質，切線的性質，解(2)的關鍵是得出/AB83

20、0。，解(3)的關鍵是判斷出當 O、E、F三點共線時，點F到點O的距離最大，解(4)的關鍵是 判斷出RHFA&RtABD,是一道中等難度的中考常考題.6.如圖，Rt ABC內接于。O, AC BC , BAC的平分線AD與。O交于點D ,與 BC交于點E ,延長BD ,與AC的延長線交于點 F ,連接CD , G是CD的中點，連接OG.(1)判斷OG與CD的位置關系，寫出你的結論并證明(2)求證：AE BF ；若OG gDE 3(2 J2),求。O的面積.【答案】(1) OG, CD (2)證明見解析(3) 6兀【解析】試題分析：(1)根據G是CD的中點，利用垂徑定理證明即可；(2)先

21、證明4ACE與4BCF全等，再利用全等三角形的性質即可證明；(3)構造等弦的弦心距，運用相似三角形以及勾股定理進行求解.試題解析：(1)解：猜想 OG, CD.證明如下：如圖1,連接OC、OD. OC=OD, G是CD的中點，由等腰三角形的性質，有OG± CD.(2)證明：AB是。的直徑，./ACB=90°,而/CAE=/CBF (同弧所對的圓周角相等).在 RtACE 和 RtA BCF 中，/ Z ACE=Z BCF=90°, AC=BC, /CA&/CBF,RtA ACE RtA BCF ( ASA), ，AE=BF.(3)解：如圖2,過點O作BD的

22、垂線，垂足為1H,則H為BD的中點，.,.OH=-AD,即2AD=2OH,又 / CAD=Z BAD?CD=BD, OH=OG. Z DBE=Z DAC=Z BAD, /.RtABDE RtAADB在 RtA BDE和 RtADB 中,BD DE 目.2 ,即 bd2=ad?de,AD DBBD2 AD DE 2OG DE 6(2 又 BD=FD，BF=2BD，BF2 4BD2242 柩，設 AC=x,則 BC=x, AB=J2xAD 是/BAC 的平分線， . / FAD=/BAD.在 RtABD和 RtAFD 中，/ Z ADB=Z ADF=90°, AD=AD, /FAD=/B

23、AD,RtAABD RtA AFD (ASA) ,，AF=AB=72X，BD=FD, .CF=AF:-AC=72x X (夜 1) X在RtBCF中，由勾股定理，得:BF2 BC2 CF2 x2 (V2 1) x2 2(2 后 x2,由、，得2(2J2)x2242J2)，»2=12,解得：x2J3或2x/3(舍去)，ABJ2xJ22器2屈,，OO 的半徑長為J6,.So。=兀？( J6)2=6兀.點睛：本題是圓的綜合題.解題的關鍵是熟練運用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判 定與性質.7.如圖，AB是圓。的直徑，射線 AMLAB,點D在AM上，連接 OD交圓。于點E,過點D作DC=D

24、A交圓。于點C （A、C不重合），連接 OC、BC CE（1）求證：CD是。的切線；（2）若圓。的直徑等于2,填空： 當AD=時，四邊形 OADC是正方形； 當AD=時，四邊形 OECB是菱形.【答案】（i）見解析；（2）1 ；J3.【解析】試題分析：（1）依據SSS證明OAD0OCD,從而得到/OCD=/ OAD=90;（2） 依據正方形的四條邊都相等可知AD=OA;依據菱形的性質得到 OE=CE則4EOC為等邊三角形，則 Z CEO=6O0,依據平行線的性 質可知/ DOA=60 ,利用特殊銳角三角函數可求得AD的長.試題解析：解：. AMXAB,/ OAD=90 :-. OA=OC, O

25、D=OD, AD=DC,.OADAOCD,/ OCD=Z OAD=90 :OCX CD,.CD是。O的切線.(2)二.當四邊形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案為：1.二.四邊形OECB是菱形， .OE=CE又 OC=OE.OC=OE=CE/ CEO=60°.1. CE/ AB,/ AOD=60 :在 RtA OAD 中,/ AOD=60 , AO=1, AD=月.故答案為：啊.點睛：本題主要考查的是切線的性質和判定、全等三角形的性質和判定、菱形的性質、等 邊三角形的性質和判定，特殊銳角三角函數值的應用，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.8.四邊形 ABCD內接于OO,點E為AD

26、上一點，連接 AC, CB, / B=/ AEC.(1)如圖1,求證：CE=CD(2)如圖 2,若/B+/ CAE=120, / ACD=2/ BAC,求/BAD 的度數;圖二(3)如圖3,在(2)的條件下，延長CE交。O 于點 G,若 tan/BAC= 53 ,11EG=2,求AE的長.圖3【答案】(1)見解析；(2) 600; (3) 7.【解析】試題分析：(1)利用圓的內接四邊形定理得到ZCED=ZCDE.(2)作 CHU DE 于 H,設/ECh=% 由(1) CE=CD 用“表示 / CAg / BAC,而 /BAD=/BAC+/CAE. (3)連接 AG,作 GNXAC, AM，E

27、G,先證明 / CAG=/BAC,設 NG=5 J3m,可得AN=11m,利用直角n AGM, n AEM,勾股定理可以算出 m的值并求出 AE長.試題解析：(1)解：證明：二.四邊形ABCD內接于OO./ B+/D=180 ,° / B=/AEC, / AEG / D=180 ; / AEG / CED=180 ；/ D=Z CEQ .CE=CD(2)解：作 Chl± DE于 H.設/ ECH= a,由(1) CE=CD / ECD=2 a, / B= Z AEC, / B+Z CAE=120 ； / CAEnZ AEC=120 ；/ ACE=180 - ZAEC- /

28、ACE=60 °, / CAE=90 - / ACH=90 - ( 60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACH / HCD=60 + 2 a, / ACD=2Z BAC, /BAO3",/ BAD=Z BAG / CAE=30 + a+30 - a=60 :(3)解：連接 AG,彳GN± AC, AM ± EG, / CED=/AEG, /CD田/AGE, /CED=/CDE / AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=1 ,2/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30 - a+2a=Z BAC,

29、 . tan / BAO 511. .設 NG=573m,可得 AN=11m, AG=AG2_AM 2 =14m, / ACG=60 ；1. CN=5m, AM =8 3m m , MG = JaG2 AM 2 =2m=1, . .m=l ,2.CE=C=CG- EG=10m- 2=3,AE= Jam 2 em 2 = W2+(4點2 =7.9.如圖，DABCD勺邊AD是 ABC外接圓。的切線，切點為 A,連接AO并延長交BC于 點E,交。O于點F,過點C作直線CP交AO的延長線于點 P,且/ BCP= / ACD.(1)求證：PC是。的切線；(2)若/B= 67.5 °, BC=

30、2,求線段PC, PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積 S.【答案】(1)見解析；(2) 1 【分析】(1)過C點作直徑CM,連接MB,根據CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90°, 再根據 AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圓周角定理可得 / BAC= Z M, / BCF ZACD,從 而可推導得出/ PCM=90°,根據切線的判定即可得；(2)連接OB,由AD是。的切線，可得ZPAD= 90。，再由BC/ AD,可得API BC,從而得BE= CE= 1 BC= 1 ,繼而可得到/ABC=/ACB= 67,5 ；從而得到Z BAC= 45 °,由圓周2

31、角定理可得Z BOC=90,從而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根據已知條件可推導得出oe= ce= i, pc= oc= Joe2 ce2短，根據三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】(1)過C點作直徑CM,連接MB,.CM為直徑，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90

32、76;, CMXPC, .PC與。O相切；(2)連接OB,AD是OO的切線，切點為 A,OAXAD,即 / PAD= 90 :1. BC/ AD,/1/AEB=/PAD= 90 , /.API BC. . BE= CE= - BC= 12.AB= AC,Z ABC= Z ACB= 67.5 ；/ BAC= 180 ABC- / ACB= 45 :/ BOC= 2/ BAC= 90 °,-. OB= OC, APXBC,/ BOE= / COE= / OCE= 45p / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ； .OE=CE= 1 , PC= OC= Jo

33、e2 ce2 V2，S= Sa poc S 扇形OFC= -、2、, 23602P c【點睛】本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、扇形面積等，綜合性較 強，準確添加輔助線是解題的關鍵.10.如圖1,是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數從M點開始(即M點的讀數為0),如圖2,把這個量角器與一塊 30。(/CAB= 30。)角的三角板拼在一起，三角板的 斜邊AB與量角器所在圓的直徑 MN重合，現有射線 C繞點C從CA開始沿順時針方向以每 秒2°的速度旋轉到與 CB,在旋轉過程中，射線 CP與量角器的半圓弧交于 E.連接BE.(1)當射線CP經過AB的中點時，點E處的讀

34、數是 ,此時4BCE的形狀是;(2)設旋轉x秒后，點E處的讀數為V,求y與x的函數關系式；(3)當CP旋轉多少秒時，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x<45 ; ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根據圓周角定理即可解決問題；(2)如圖2-2中，由題意/ACE= 2x, / AOE= y,根據圓周角定理可知 /AOE= 2/ACE 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分兩種情形分別討論求解即可；【詳解】解：(1)如圖2 1中，. /ACB= 90 °, OA= OB,.-，oa=ob=

35、 OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；點E處的讀數是60 : / E= / BAC= 30 : OE= OB,/ OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案為60。，直角三角形；(2)如圖2-2中，. /ACE= 2x, /AOE= y, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0蟲w 45 .BC,(3) 如圖2-3中，當EB= EC時，EO垂直平分線段,. ACa BC,1. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 °,1 ./ ECA= Z AOE= 15

36、,2.x=7.5.若2-4中，當BE= BC時,易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；,.OE= OB,.OBE是等邊三角形，/ BOE= 60 ;/ AOB= 120 ；1/ ACE= - ZACB= 60 ;.x=30,綜上所述，當CP旋轉7.5秒或30秒時，4BCE是等腰三角形；【點睛】本題考查幾何變換綜合題、創新題目、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解 題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.11.如圖，。的直徑AB=26, P是AB上懷與點A、B重合)的任一點，點 C、D為。上 的兩點

37、，若/APD=/BPG則稱/CPD為直徑AB的 回旋角 若/BPC=/DPC= 60°,則/CPD是直徑AB的 回旋角”嗎？并說明理由;13(2CD的長為一兀，求回旋角/ CPD的度數；4【答案】(1)/CPD是直徑AB的回旋角”，理由見解析;(3)滿足條件的AP的長為3或23.【解析】【分析】(3)若直徑AB的回旋角”為120°,且4PCD的周長為24+13J3,直接寫出AP的長.(2)回旋角”/CPD的度數為45。；(1)由/CPD / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直徑 AB的 回旋 角”；(2)利用CD弧長公式求出ZCOD= 4

38、5。，作CH AB交。于E,連接PE,利用 /CPD為直徑AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到r 一八1/OPE+/ CPD+Z BPC= 180 ；即點 D, P, E三點共線， Z CED= - Z COD= 22.5 ,2得到 / OPE= 90° 22.5 = 67.5 °,貝U / APD= / BPC= 67.5 :所以 / CPD= 45° ； ( 3)分出情況P在OA上或者OB上的情況，在 OA上時，同理(2)的方法得到點 D,巳F在同一條 直線上，得到 4PCF是等邊三角形，連接 OC, OD,過點

39、。作OGL CD于G,利用sin/DOG,求得CD,利用周長求得 DF,過O作OHLDF于H,利用勾股定理求得OP,進而得到 AP;在OB上時，同理OA計算方法即可 【詳解】/CPD是直徑AB的 回旋角”，理由：ZCPD=Z BPC= 60°,/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,/ BPC= / APD,/ CPD是直徑AB的回旋角”；(2)如圖 1 ,AB= 26,.OC= OD= OA= 13,設/ COD= n°,-. .13Cd的長為國4n n13 131804n = 45, / COA 45 &#

40、176;,作CH AB交。于E,連接PE/ BPG= / OPE,/ GPD為直徑AB的回旋角”，/ APD= / BPG,/ OPE= / APD, / APD+Z GPD+Z BPG= 180 : / OPE+Z GPD+Z BPG= 180 ； 點D, P, E三點共線，1/ GED= ZGOD= 22.5 ,2/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°/ APD= / BPG= 67.5 ,°/ GPD= 45 ；即：回旋角”/GPD的度數為45。， 當點P在半徑OA上時，如圖2,過點G作G。AB交。于F,連接PF,PF= PG,同(2)的方法得，點D,巳

41、F在同一條直線上，直徑AB的回旋角”為120 ；/ APD= / BPG= 30 °,/ GPF= 60 ; .PGF是等邊三角形，/ GFD= 60 ；連接OG, OD,/ GOD= 120 ；過點O作OGL GD于G,/1 ,.GD=2DG, /DOG= - /GOD= 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 2 GD=13 3, .PGD的周長為 24+13 3，.PD+PG= 24, PG= PF, .PD+PF= DF= 24,過O作OHDF于H, .DH= 1DF= 12,2在 RtOHD 中，OH= Jod2 DH25在 RtAOHP中，

42、/ OPH= 30°,.OP= 10,.-，AP=OA- OP= 3；當點P在半徑OB上時，同的方法得，BP= 3,.AP = AB- BP=23,即：滿足條件的 AP的長為3或23.【點睛】本題是新定義問題，同時涉及到三角函數、勾股定理、等邊三角形性質等知識點，綜合程度比較高，前兩問解題關鍵在于看懂題目給到的定義，第三問關鍵在于P點的分類討論12.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c經過點 A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三點.圖 圖(1)試求拋物線的解析式；(2)點P是y軸上的一個動點，連接 PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經過點T (

43、- 4, 0) , Q為直線l上的動點，當以 A、B、Q為頂點 所作的直角三角形有且僅有三個時，試求直線l的解析式.3 23【答案】(1) y -x -x 3; (2) 5PA+4PC的最小值為18; ( 3)直線l的解析式 8443,3人為 y-x3或y x3.4 4【解析】【分析】(1)設出交點式，代入 C點計算即可(2)連接AC、BC,過點A作AEL BC于點E,過 點P作PD)± BC于點D,易證CDMA COB,得到比例式PC -PD ,得到PD=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,當點 A、P、D在同一直線上時，5

44、PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面積法求出 AE=18 ,即最小值為18 ( 3)取AB中點F, 5以F為圓心、FA的長為半徑畫圓，當/BAQ= 90°或/ ABQ=90°時，即AQ或BQ垂直x軸, 所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使/ BAQ= 90。或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90時，只有一個滿足條件的點Q, .直線l與。F相切于點Q時，滿足/ AQB=90 °的點Q只有一個；此時，連接 FQ,過點Q作QGi±x軸于點G,利用cos/QFT求出 QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時，分

45、別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點為A ( - 2, 0)、B (4, 0) . y = a (x+2) ( x- 4)把點C (0, 3)代入得：-8a=3.二拋物線解析式為 y= - (x+2) (x- 4) = - x2+ x+3884(2)連接 AC BC,過點A作AE± BC于點E,過點P作PD)±BC于點D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB. .CD。COBPC PDBC OB- B (4, 0) , C (0, 3)1- OB= 4, OC= 3, BC= Job2_OC2 =54.PD= P

46、C5，5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 (PA+PD5當點 A、P、D在同一直線上時， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB, AE± BCSa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE22ABn OC 6 3 18AE= -BC 55-5AE= 185PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點F,以F為圓心、FA的長為半徑畫圓當/BAQ= 90°或/ABQ= 90°時，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個滿足的點Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 / AQB= 90時

47、，只有一個滿足條件的點Q當Q在。F上運動時(不與 A、B重合)，/AQB= 90 °，直線l與。F相切于點Q時，滿足ZAQB= 90的點Q只有一個此時，連接FQ,過點Q作QGi± x軸于點G / FQ90.F 為 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中點 .F (1, 0) , FQ= FA= 3- T (-4, 0), FQ 3.TF= 5, cos/QFT=TF 5»FG 3RtA FGQ 中，cos/ QFT= 一FQ 5“39FG= - FQ= 一12555 xQ= 194 , QG= #Q2 FG2 J32955,54 12若點Q在x軸上方，則Q(一,

48、一)5 5設直線l解析式為：y= kx+b4kb 04 12解得:k b5 53，直線 l： y -x 34#412右點Q在x軸下方，則Q (,)553 八. .直線 l： y x 343綜上所述，直線l的解析式為y 3x 3或y【點睛】本題是二次函數與圓的綜合題，同時涉及到三角函數、勾股定理等知識點，綜合度比較高，需要很強的綜合能力，第三問能夠找到滿足條件的Q點是關鍵，同時不要忘記需要分情況討論13.如圖，線段BC所在的直線 是以AB為直徑的圓的切線，點 D為圓上一點，滿足 BD= BC,且點C、D位于直徑AB的兩側，連接 CD交圓于點E.點F是BD上一點，連接EF,分 別交AB、BD于點G

49、、H,且EF= BD.(1)求證：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的長.【答案】 見解析；(2) - ,33【解析】【分析】(1)根據EF= BD可得EF= ?d ,進而得到BE = DF,根據 在同圓或等圓中，同弧或 等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進而可證.(2)連接DF,根據切線的性質及垂徑定理求出GF、GE的長，根據 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等 ”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數求出ZBHG,進而求出/BDE的度數，確定 BE所對的圓心角的度數，根據 /DFH= 90。確定DE為直徑，代入 弧長公式即可求解.【詳解】(1)EF= BD

50、, Ef= ？D Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/C(2) .AB是直徑，BC為切線， ABXBC又 EF/ BC, .ABEF,弧 BF哪 BE,1GF= GE= (HF+EHE HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD, / FBD / FDB= / BDE= / BFH,-.HB=HF= 2cosZ BHG= "° = L / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 °，/DFH= 90； DE為直徑，DE= 4 J3 ,且弧 BE所對圓心角=60：，弧 BE= g *46=

51、V3【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長公式等相關知識，掌握圓周角的有關定理，切線的性質，垂徑定理及弧長公式是解題關鍵14.如圖，點 A, B, C, D, E在。上，AB± CB于點 B, tanD=3, BC=2, H 為 CE延長線 上一點，且 AH= 10 , CH 5 2 .H（1）求證：AH是。的切線；（2）若點D是弧CE的中點，且 AD交CE于點F,求證：HF=HA;（3）在（2）的條件下，求EF的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3） J10 J2【解析】【分析】（1）連接AC,由AB± CB可知AC是。的直徑，由圓周角定理可得 / C=/ D, 于是得到tanC=3,故此可知 AB=6,在RtABC中，由勾股定理得： AG= 40,從而可得 AC2+AH2=CH2,根據勾股定理的逆定理可得AC± AH,問題得證；（2）連接DE、BE,由弦切角定理可知 ZABD=Z HAD,由D是CE的中點，可得/CED=/ EBD,再由圓周角定理可得 /ABE=/ ADE,結合三角形的外角即可證明/HAF=/ AFH,從而可證得