1、公因數和公倍數【知識要點】1、一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身，一個數因數的個數是有限的。一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。一個數最大的因數等于這個數最小的倍數。2、幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，用符號 ，表示。幾個數的公倍數也是無限的。3、兩個數公有的因數，叫做這兩個數的公因數，其中最大的一個，叫做這兩個數的最大公因數，用符號（ ， ）。兩個數的公因數也是有限的。4、兩個素數的積一定是合數。舉例：35=15，15是合數。5、兩個數的最小公倍數一定是它們的最大公因數的倍數。舉例：6，8=24，（6，8

2、）=2，24是2的倍數。6、求最大公因數和最小公倍數的方法：倍數關系的兩個數，最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數。舉例：15和5，15，5=15，（15，5）=5素數關系的兩個數，最大公因數是，最小公倍數是它們的乘積。舉例：3，7=21，（3，7）=1一個素數和一個合數，最大公因數是，最小公倍數是它們的乘積。5，8=40，（5，8）=1相鄰關系的兩個數，最大公因數是，最小公倍數是它們的乘積。9，8=72，（9，8）=1特殊關系的數（兩個都是合數，一個是奇數，一個是偶數，但他們之間只有一個公因數1），比如4和9、4和15、10和21，最大公因數是，最小公倍數是它們的乘積。一般關系的兩個數

3、，求最大公因數用列舉法或短除法，求最小公倍數用大數翻倍法或短除法?！纠}講解】例1、一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？能截多少正方形？要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說，正方形的邊長要盡可能大，截完后又正好沒有剩余，這樣正方形邊長一定是60和36的最大公約數。（36、60）12（6012）（3612）15個例2、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每個花束里的紅玫瑰花的朵數相同，白玫瑰花的朵數也相同，最多可以做多少個花束？每個花束里至少要有幾朵花？要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰

4、花做花束，每束花里的紅白花朵數同樣多，那么做成花束的的個數一定是96和72的公約數，又要求花束的個數要最多，所以花束的個數應是96和72的最大公約數。1、最多可以做多少個花束（96、72）24 2、每個花束里有幾朵紅玫瑰花96244朵3、每個花束里有幾朵白玫瑰花72243朵 4、每個花束里最少有幾朵花4+37朵例3、一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？解：這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：964+1=25（個）后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可

5、不重新挖。由于4和6的最小公倍數是12，所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。9612+1=9（個）96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。知識點：公因數和最大公因數練習：1、寫出下面每組數的最大公因數。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 21和36（ ） 22和55 （ ）2、=5（、都是非零的自然數），和的最大公因數是（ ）。3、和是相鄰的兩個非零的自然數，和的最大公因數是（ ）。4、把一張長18cm，寬12cm的長方形紙，分成同樣大小的正方形且沒有剩余，每個小

6、正方形邊長最大是（ ）厘米，最少可分成（ ）個。5、兩根鋼管，甲管長36分米，乙管長40分米，把它們截成同樣長的小段而且沒有剩余，每小段最長（ ）分米，最少可截成（ ）段。知識點：公倍數與最小公倍數練習：1、寫出下面每組數的最小公倍數。 3和5 （ ） 4和8 （ ） 1和13 （ ） 13和26 （ ） 4和9 （ ） 17和51 （ ） 21和36（ ） 22和55 （ ）、2、=5（、都是非零的自然數），和的最小公倍數是（ ）。3、和是相鄰的兩個非零的自然數，和的最小公倍數是（ ）。4、一種長方形的地磚長8厘米，寬6厘米，用這種地磚鋪成一塊正方形，至少需要（ ）塊地磚。正方形的面積最少是

7、（ ）平方厘米。5、暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。7月31日兩人同時參加游泳訓練，（ ）月（ ）日他們又再次相遇。6、暑假期間，小林和小軍都去參加游泳訓練。小林每6天去一次，小軍每8天去一次。8月1日兩人同時參加游泳訓練，（ ）月（ ）日他們又再次相遇。7、3和7是21的（ ）因數 公因數 倍數 8、8是24和64的（ ）因數 最大公因數 倍數 【綜合練習】一、填空（共20分）1、最小的素數是（），最小的合數是（）。2、18的因數有（ ），24的因數有（ ），它們的公因數有（）。3、在120的自然數中，既不是素數又不是合數的數有（），既是素數又是偶數

8、的有（）。4、自然數按因數個數的多少可以分成（）、（）和（）。5、1082至少加上（）是3的倍數，至少減去（）才是5的倍數。6、一個數的最大因數是13，這個數的最小倍數是（）。7、兩個自然數a、b的最大公因數是1，它們的最小公倍數是（）。8、如果A223，B233，那么它們的最大公因數是（），最小公倍數是（）。9、一個數是3的倍數，又是5的倍數，還有因數7。這個數最小是（）。10、一個數既是30的因數、又是45的因數，最大的是（）。11、用0、1、2三個數字排成的所有三位數中，同時是2、3、5的倍數的數有（）。12、如果兩個數的最大公因數是1，它們最小公倍數是91，那么這兩個數的和最大是（）。

9、二、判斷題（共5分）1、兩個連續自然數（0除外）它們的最大公因數是1。（ ）2、在24的因數中，是素數的只有2和3。（ ）3、5和7沒有公因數，但5和7有公倍數。（ ）4、所有的偶數都是合數。（ ）5、兩個數的公倍數一定比這兩個數都大。（ ）三、選擇題（共5分）1、任何兩個奇數的和是（ ）。A奇數 B合數 C偶數2、兩個素數的積一定是（ ）。A素數 B合數 C奇數3、任何兩個自然數的（ ）的個數是無限的。A公倍數 B公因數 C倍數4、A是B倍數，那么它們的最小公倍數是（ ）。AAB BA CB5、兩個數的最大公因數是15，最小公倍數是90，這兩個數一定不是（ ）。A15和90 B45和90 C

10、45和30四、寫出每組數的最大公因數（共12分）32和1 12和18 72和4878和117 23和60 12和60五、寫出每組數的最小公倍數（共12分）4和155和790和309和1513和39 6和13六、列式計算（共8分）1、一個自然數被3、5除都余1，這個數最小是多少？2、五個連續奇數的和是425，最小的一個是多少？七、解決問題（共38分，第8題3分，其余每題5分）1、一枝鋼筆的價錢是18.6元，比一枝圓珠筆貴10.9元，一枝圓珠筆多少元?（列方程解答）2、小明的媽媽比小明大26歲，爸爸今年38歲，比媽媽大4歲，小明今年多大了？（列方程解答）3、甲、乙兩人到圖書館去借書，甲每4天去一次

11、，乙每5天去一次，如果7月1日他們兩人在圖書館相遇，那么他們下一次同時到圖書館是幾月幾日？4、有兩根小棒分別長20分米，28分米。要把它們都截成同樣長的小棒，不許剩余，每根小棒最長能有多少分米？5、一個長方形的面積是24厘米，它的長和寬都是整厘米數，這樣的長方形有多少種？6、在一張長40厘米，寬32厘米的長方形紅紙上裁出同樣大小，面積最大的正方形，并且沒有剩余。一共可以裁出多少個這樣的正方形？7、五（1）班學生人數不超過50人，在分小組做游戲時，可以分為每組6人或者每組8人，兩種分法都剛好分完。這個班的學生可能有多少人？8、園林工人在一段公路的一邊每隔4米栽一棵樹，一共栽了17棵?，F在要改成每

12、隔6米栽一棵樹。那么，不用移栽的樹有多少棵？【解決問題】1、甲、乙兩人到圖書館去借書,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他們兩人在圖書館相遇,那么他們下一次同時到圖書館是幾月幾日？2、一塊長方形紙片,長18厘米,寬12厘米,把它剪成同樣大小的邊長是整厘米數的正方形且沒有剩余,最少可以剪多少個？3、同學們做了24朵紅花和56朵黃花,把這些花分成相同的若干束,最多可以分成幾束？每束里紅花和黃花各有幾朵？4、五（1）班學生做早操，每行12人或16人都正好站成整行，這個班不到50人，這個班究竟有多少人？5、一塊磚長42厘米，寬26厘米，用這樣的磚鋪成一塊正方形地，至少要多少塊？6、有一筐蘋果

13、，無論是平均分給8個人，還是平均分給18人，結果都剩下3個，這筐蘋果至少有多少個？【拓展練習】1、學校操場長96米，從一端起到另一端每隔4米插有一面小紅旗。現在要改成每隔6米插一面紅旗。問可以不必拔出來的小紅旗有多少面？2、某校同學們做操,把學生分為10人一組,14人一組,18人一組,都恰好分完,這個學校至少有多少個學生？3、有一列數1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,從第三個數開始,每個數是都前面兩個數的和,前100個數中偶數有多少個？4、1路、2路和5路車都從東站發車，1路車每隔10分鐘發一輛，2路車每隔15分鐘發一輛，而5路車每隔20分鐘發一輛。當這三種路線的車同時發車后，至

14、少要過多少分鐘又有這三種路線同時發車？5、從小明家到學校原來每隔50米安裝一根電線桿，加上兩端的兩根一共是55根電線桿，現在改成每隔60米安裝一根電線桿，除兩端的兩根不用移動外，中途還有多少根不必移動？6、在一根長100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一個紅點，同時自右到左每隔5厘米染一個紅點，染后沿紅點將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？【挑戰奧數】【例題講解】在求18與12的最大公約數與最小公倍數時，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把18與12的最大公約數與最小公倍數相乘，那么（18，12）18，12=（23）（2332） =（233

15、）（232）=1812。也就是說，18與12的最大公約數與最小公倍數的乘積，等于18與12的乘積。當把18，12換成其它自然數時，依然有類似的結論。從而得出一個重要結論：兩個自然數的最大公約數與最小公倍數的乘積，等于這兩個自然數的乘積。即，（a，b）a，b=ab。例1、兩個自然數的最大公約數是6，最小公倍數是72。已知其中一個自然數是18，求另一個自然數。解：由上面的結論，另一個自然數是（672）18=24。例2 、兩個自然數的最大公約數是7，最小公倍數是210。這兩個自然數的和是77，求這兩個自然數。分析與解：如果將兩個自然數都除以7，則原題變為：“兩個自然數的最大公約數是1，最小公倍數是3

16、0。這兩個自然數的和是11，求這兩個自然數。”改變以后的兩個數的乘積是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，兩個因數的和是11的只有56，且5與6互質。因此改變后的兩個數是5和6，故原來的兩個自然數是75=35和76=42。例3、 已知a與b，a與c的最大公約數分別是12和15，a，b，c的最小公倍數是120，求a，b，c。分析與解：因為12，15都是a的約數，所以a應當是12與15的公倍數，即是12，15=60的倍數。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，說明c沒有質因數2，又因為a，b，c=120=2335，所以c=15。因為a是c

17、的倍數，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b。”當a=60時， b=（a，b）a，ba =1212060=24；當a=120時， b=（a，b）a，ba =12120120=12。所以a，b，c為60，24，15或120，12，15?！揪毩暋?、兩個自然數的最大公約數是6，最小公倍數是72。已知其中一個自然數是18。求另一個自然數。2、兩個自然數的最大公約數是7，最小公倍數是210。這兩個自然數的和是77。求這兩個自然數。3、兩個數的最大公因數是9，最小公倍數是90，求這兩個數分別是多少？4、已知兩個數的積是3072，最大公因數是16，求

18、這兩個數。5、已知A與B的最大公約數為6，最小公倍數為84，且AB42，求B。6、兩個數的最大公約數為12，最小公倍數為180，且較大數不能被較小數整除，求這兩個數。7、甲乙兩數的最大公約數為75，最小公倍數為450，當這兩個數分別為何值時，它們差最小。【課后練習】一、填空 1、（7,9）在平面圖上表示是第（）列第（）行的位置。 2、30以內3的倍數有（ ），4的倍數有（ ），3和4的公倍數有（），最小公倍數是（）。3、在12、15、36、64、450、950六個數中，是3的倍數有 （），是5的倍數的有（），是2的倍數的有（）；是2和5的公倍數的有（），是2和3的公倍數的有（），是3和5的公倍

19、數的有（）；同時是2、3和5的公倍數的數是（）。 4、18的因數有（），60的因數有（），18和60的公因數有（），最大公因數是（）。 5、一個合數的因數至少有（ ）個，例如：（）。 6、如果A=237，B=257，那么A和B的最大公因數是（），最小公倍數是（）。 7、用0、3、5、7四個數組成一個同時是2和5的倍數的四位數，最大是（），最小是（）。 8、要使601既是2的倍數，又是3的倍數，那么里可以填（）。 9、身份證上數字編碼的頭兩位數字表示的是（）。 二、判斷 1、如果ab=4（a、b為整數）那么a和b的最大公因數是4。 （ ） 2、一個數最小的倍數與它最大的因數相等。 （ ） 3、任何一個自然數的因數至少有2個。 （ ） 4、1和任何自然數（0除外）都沒有公因數。 （ ） 5、兩個素數的最小公倍數是它們的乘積。 （ ） 三、選擇1、 1、2、4、8是8的（ ） A、因數 B、公因數 C、素數2、12是（）的最大公因數。 A、1和12 B、12和24 C、3和43、一個兩位數個位和十位上都是合數，并且它們的最大公因數是1，那么這兩位數可能是（ ） A、49 B、59 C、69 4、a 是一個素數，則a的倍數有（ ）個 A、1個 B、2個 C、無數個 5、如果b是一個