1、第20章 數據的整理與初步處理一. 教學內容：21.1 算術平均數與加權平均數21.2 平均數、中位數和眾數的選用學習目標理解平均數的概念和意義，會計算一組數據的算術平均數和加權平均數能利用計算器計算一組數據的平均數在具體情境中理解加權平均數的概念，體會“權”的意義，知道算術平均數與加權平均數的聯系與區別理解中位數、眾數的概念和意義，會求一組數據的中位數、眾數二. 重點、難點： 1. 重點：加權平均數的計算方法掌握中位數、眾數等數據代表的概念 2. 難點：加權平均的原理選擇恰當的數據代表對數據做出判斷三. 知識梳理：1. 算術平均數的意義如果有n個數：，那么這組數據的平均數，這個平均數叫做算術

2、平均數平均數是我們日常生活中經常用到的、比較熟悉的的概念，如平均分、平均身高、平均體重、平均產量等等，由公式可知，平均數與給出的一組數據中的每一個數的大小都有關系，所以平均數是這組數據的“重心”，反映了這組數據的平均狀態，是描述一組數據集中趨勢的特征數字中最重要的數據，也是衡量一組數據波動大小的基準2. 加權平均數一般地，對于f1個x1，f2個x2，fn個xn，共f1f2fn個數組成的一組數據的平均數為這個平均數叫做加權平均數，其中f1，f2，fn叫做權，這個“權”，含有權衡所占份量的輕重之意，即（i1，2，k）越大，表明的個數越多，“權”就越重加權平均數的計算公式與算術平均數的計算公式，實際

3、上是一回事一般情況下，當一組數據中有很多數據多次重復出現時，加權平均數的計算公式是算術平均數計算公式的另一種表現形式，用加權平均數公式計算更簡便3. 用計算器求平均數4. 扇形統計圖的制作扇形統計圖：利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，即用圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的各個部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫扇形統計圖扇形統計圖的特點：扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小根據統計圖可以直接看出統計對象所占的比例和每部分相對總體的大小制作步驟：利用各部分與總體間的百分比關系求出各個扇形的圓心角，計算方法是：圓心角360百分比；畫出表示總體的圓，并在圓上畫出表

4、示各部分的扇形的區域，加以標注；寫出所繪制的扇形統計圖的名稱扇形統計圖利用圓和扇形來表示總體和部分的關系，統計圖中圓的大小與具體數據無關各扇形所占的百分比之和為15. 中位數與眾數中位數：把一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數；中位數的計算：先將數據按從小到大的順序重新排列，如果有奇數個數據，則處在最中間的那個數就是中位數；如果有偶數個數據，則處在最中間的兩個數據的平均數就是中位數眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數眾數的計算：求眾數時只要看在一組數中重復出現次數最多的數據就是眾數如果有兩個或兩個以上數據重復出現

5、的都最多，那么這幾個數據都是這組數據的眾數當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數通常的“最佳”、“最受歡迎”、“最暢銷”等等的評選活動都是用投票的方法取眾數得到的6. 平均數、中位數和眾數的選用平均數、中位數和眾數的特點：平均數、中位數、眾數都是用來描述一組數據的集中趨勢這三個統計量的各自特點是：平均數的大小與一組數據里的每個數據均有關系，其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動；眾數著眼于對各數據出現頻率的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往是我們關心的一種統計量；中位數則僅與數據的排列位置有關，即當一組數據按從小到大的

6、順序排列后，最中間的數據為中位數，因此，某些數據的變動對它的中位數沒有影響平均數、中位數、眾數從不同的側面提供了一組數據的面貌，正因為如此，我們把這三種數作為一組數據的代表平均數、中位數、眾數分別表示一組數據的一般水平、中等水平、和多數水平，都能反映一組數據的集中趨勢它們互相之間可能相等也可能不相等，沒有固定的大小關系，但是三個統計量不總是有實際意義、總是合適的，它們都有各自的適用范圍這就產生了該選用哪一個統計量的問題了相比之下，平均數是最常用的指標由于計算平均數時，要用到每一個數據，所以它對數據的變化比較敏感有時能獲得較多的信息但當數據中含有極個別特別大或特別小的數據時，它就不能很好地反映一

7、般水平了這時就要選用其它的統計量或者像歌唱比賽那樣去掉一個最高分，去掉一個最低分了四、典型例題例1：某班第一小組有12人，一次數學測驗成績如下：85、96、74、100、96、85、79、65、74、85、65、80，試計算這12人的數學平均分分析：最簡單的方法就是把12個數據全部加起來，再除以12即可但是面對這樣一組數字相對比較大的數組時，可以想辦法，把數字的大小先降下來，這里可以以80為基準，每個數都減去80組成一個新數組，計算出平均數后，再加上80就得到原數組的平均數解：（解法一）利用平均數公式得：平均分82（分）；（解法二）每個數都減去80后建立新數組為：5、16、6、20、16、5、

8、1、15、6、5、15、0，則新數組的平均數為：2所以原數組的平均分80282（分）例2：我校舉行文藝演出，由參加演出的10個班各派一名同學擔任評委，每個節目演出后的得分取各個評委所給分的平均數，下面是各評委給七年級三班一個節目的分數評委編號12345678910評分7.207.257.007.1010.007.307.207.106.207.15該節目的得分是多少分?此得分能否反映該節目的水平?你對5號和9號評委的給分有什么看法?你認為怎樣計算該節目的分數比較合理?為什么?分析：本題涉及到關于樣本的選取要具有代表性的問題，因為有些數據對樣本平均數的影響很大（如5號和9號的數據），因此，為了公

9、正、合理應去掉一個最高分和一個最低分，以減少它們對平均數的負面影響，保證評判的公正性解：平均分為：7.35（分）此得分不能反映該節目的水平；5號評委的給分偏高，9號評委的給分偏低，他們都脫離實際，不能公正地代表節目的實際水平；去掉一個最高分和一個最低分，這樣可以避免某些特殊數據帶來的負面影響，保持評判的公正性例3：若一組數據的平均數是12，那么另一組數據的平均數是多少?分析：平均數是將各個數據的和除以數據的個數求得的，因此，我們可以先求出已知數據的總數，再找出另一組數據與它的聯系，從而求解解：因為12 所以60所以15例4：某人事部經理按下表所示的五個方面給應聘者記分，每一方面均以10分為滿分

10、，如果各方面的權數及四個應征者得分如下（單位：分），問誰受聘的可能性最大?條件權數張三李四何五白六學歷157988經驗158778社交76854效率86567外貌55678分析：誰受聘就應看誰的分數高，只要應用加權平均數分別計算各人的平均分，比較大小就可以了解：張三的平均分6.8（分）；李四的平均分7.32（分）；何五的平均分6.86（分）；白六的平均分7.28（分）平均分結果顯示李四的分數最高，所以李四受聘的可能性最大例5：下表是某班20名學生的一次語文測驗成績統計表：成績（分）5060708090人數（人）23xy2若20名學生的平均成績是72分，請根據上表求x、y的值分析：這里有兩個未知

11、量，就應得到關于它們的兩個等量關系，不難發現，一個是從總人數方面，另一個是從平均數方面得到兩個等量關系，從而列方程組進行求解解：由題意得：解得例6：如圖，這是某晚報“百姓熱線”一周內接熱線電話的統計圖，其中有關環境保護問題的電話最多，共70個，請回答下列問題本周“百姓熱線”共接到熱線電話多少個?根據以上數據繪成扇形統計圖分析：學會讀圖獲取信息是關鍵圖中“環境保護問題的電話”達35%，共70個，可求出“百姓熱線”電話的總數，再根據各種電話所占的百分比計算出扇形圓心角的度數解：7035%200，即本周“百姓熱線”共接到熱線電話200個；分別計算出其他項目在扇形統計圖中的圓心角的度數：奇聞軼事：36

12、0O5%18；其他投拆：36015%54O；道路交通：36020%72O；環境保護：36035%126；房產建筑：36015%54；表揚建議：36010%36畫扇形統計圖，如圖所示例7：為了培養學生的環境保護意識，某校組織課外小組對該市做空氣含塵調查，下面是一天每隔2小時測得的數據如下：0.03，0.04，0.02，0.03，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03.（單位：克/立方米）求出這組數據的眾數和中位數.若國家環保局對大氣飄塵的要求為平均值不超過每立方米0.025克，問這天該城市的空氣是否符合國家環保局的要求?分析：這組數據的眾數就是出現次數最多

13、的數據，是0.03；中位數需按從小到大的順序排列，然后取中間兩個數的平均數即是中位數能否符合要求，關鍵是看平均數與0.025的大小，若平均數小于0.025就符合，否則，就不符合解：由眾數的定義和題意知這組數據中0.03出現的次數最多，故這組數據的眾數是0.03將這組數據按從小到大的順序排列得到：0.01，0.01，0.02，0.03，0.03，0.03，0.03，0.03，0.04，0.04，0.04，0.05.其中最中間的兩個數據都是0.03，所以這組數據的中位數是0.03這天測得的數據的平均數為：0.03也就是說這天城市的空氣飄塵的平均值為0.03克/立方米，大于國家環保局的規定0.025

14、克/立方米，所以這天該城市的空氣不符合國家環保局要求例8：某公司銷售部有營銷人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售定額，統計了這15人某月的銷售量如下：每人銷售件數1800510250210150120人數113532求這15位營銷人員該月銷售量的平均數、中位數和眾數；假設銷售部負責人把每位營銷員的月銷售額定為320件，你認為是否合理，為什么?如不合理，請制定一個比較合理的銷售定額，并說明理由分析：平均數受極個別數據影響，而中位數和眾數不受極個別數據影響根據這些知識對本題進行解答即可解：平均數為： 320（件）；中位數是210件，眾數是210件不合理因為15人中有13人的銷售額達不到320

15、件，320件雖然是這組數據的平均數，但它受1800件這個特殊值的影響，使它不能反映營銷人員的一般水平而中位數反映的一組數據的中等水平，眾數反映的是一組數據的大多數的水平，所以把每位營銷員的月銷售額定為210件比較合適例9：如圖，公園里有甲、乙兩群游客正在做團體游戲，甲群游客的年齡分別是12，12，12，13，14，15，16，16，27；乙群游客的年齡分別為：3，4，4，5，5，6，6，6，55，60分別求出兩群游客年齡的平均數、眾數和中位數甲、乙兩群游客年齡的平均數能代表他們各自的年齡特征嗎?如果不能代表，那么哪個數據能代表?分析：我們把一組數據中其值過大（或過小）的數據看作異常數（或異常值

16、），如本例中乙群游客的55和60就是異常數，有異常數時，其平均數可能相差較大，這時用中位數或眾數來描述這組數據的一般水平比較合適解：甲群游客：平均數15（歲），眾數是12歲，中位數是14歲乙群游客：平均數15.4 （歲），眾數是6歲，中位數是5.5歲甲群游客年齡的平均數能代表他們的年齡特征，乙群游客年齡平均數不能代表他們的年齡特征用中位數或眾數來代表他們各自的年齡特征比較合適5、 課堂小結：請同學們回顧我們這節課學習了什么知識？用自已的語言概括出來。6、 布置作業：練習冊7、 板書設計1、 平均數2、 加權平均數3、 中位數4、 眾數例1例2例3一.教學內容：21.3 極差、方差與標準差第21

17、章 數據的整理與初步處理小結與復習二. 重點、難點： 1. 重點：認識算術平均數、加權平均數，并能靈活計算、應用；認識平均數、中位數和眾數，會選擇恰當的數據代表對數據進行評價； 會求一組數據的極差、方差與標準差，并會用它們表示一組數據的離散程序；能借助計算器求平均數、標準差 2. 難點：靈活計算算術平均數、加權平均數、極差、方差與標準差； 在理解平均數、中位數、眾數、極差、方差與標準差意義的基礎上，對生活中的某些數據發表自己的看法，做出合理的判斷和預測，解決一些實際問題，培養統計意識，提高數據處理能力三. 知識梳理：（一）極差、方差與標準差： 極差 用一組數據中的最大數據減去最小的數據所得到的

18、差來反映這組數據的變化范圍，這個差就稱為極差 方差 定義 一組數據中各數據與這組數據的平均數的差的平方和的平均數叫做這組數據的方差 方差的意義 方差是反映一組數據波動大小的量，它表示的是一組數據偏離平均值的情況方差越大，數據組的波動就越大 方差的計算公式 數據x1，x2，x3， ，xn的方差是 S2（x1）2（x2）2（x3）2（xn） 注意：上面的計算公式是一般情況下計算方差的辦法； 當數據組中的數據個數比較少且絕對值比較小時，又可以采用下面的公式來計算方差： S2（x12x22x32xn2）n2 如果數據組中的每一個數比較接近于常數a時，也可以采用下面的公式計算方差： S（x12x22x3

19、2xxn2）n2（其中x1、x2、x3xn分別等于x1a、x2a、x3axna，是數據組x1、x2、x3xn的平均數） 標準差 方差的算術平方根叫做標準差 標準差和方差一樣，也是反映一組數據波動大小的指標同樣，標準差越大，數據組的波動就越大（二）本章知識回顧：1. 平均數、眾數與中位數平均數、眾數、中位數都是描述數據的“集中趨勢”的“特征數”平均數：求個數，的平均數為（），當給出的一組數據，都在某一常數a上下波動時，一般選用簡化的平均數計算公式，其中是每個數值與a的差的平均數，a是取接近于這組數據平均數中比較“整”的數 當所給個數據中出現次，出現次，出現次，且，則（）這個平均數叫做加權平均數，

20、其中，叫做權加權平均數的權：當一組數據中各數據分布情況（或者說比重大小）不同，分布情況（比重大小）稱為各個數據的權注意：這三種計算平均數的方法，在具體問題中要靈活使用眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據，叫做這組數據的眾數眾數不唯一，可以有一個，也可以有幾個，也可以沒有中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數 平均數、中位數和眾數的區別與聯系： 聯系：平均數、中位數和眾數都反映了一組數據的集中趨勢，其中以平均數最為重要 區別：平均數的大小與這組數據里每個數據均有關系，任一數據的變動都會引起平均數的變動中位數僅與數據的排列位置

21、有關，某些數據的變動對它的中位數沒有影響當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述其集中趨勢眾數主要研究各數據出現的情況的考查，其大小只與這組數據中的某些數據有關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，我們往往關心眾數注意：在實際問題中，到底選擇哪一個去說明一組數據的特征，要視情況而定2. 扇形統計圖繪制扇形統計圖的基本步驟：根據有關數據先算出各部分在總體中所占的百分數 100%各部分數據/總體數據；根據百分數計算出各部分扇形圓心角的度數部分總體的百分數360；按比例，取適當半徑畫一個圓；按扇形圓心角的度數用量角器在圓內量出各個扇形圓心角的度數；在各扇形內寫上相應的名稱及百分數，并用不同的

22、標記把各扇形區別開來；寫上統計圖的名稱及制作日期等（2）扇形統計圖的特征：扇形統計圖適合相對統計數據，可清楚地表示出各部分數量占總量的百分比3. 極差、方差與標準差極差：用一組數據中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差最大值最小值方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：（）2（）2（）2說明：這一公式可簡單記憶為“方差等于差方的平均數”標準差：標準差 極差、方差與標準差異同點：共同點：極

23、差、方差與標準差都是表示一組數據離散程度的特征數 不同點：極差表示一組數據波動范圍的大小，一組數據極差越大，則它的波動范圍越大；方差和標準差反映了一組數據與其平均值的離散程度的大小方差（或標準差）越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好4. 實際應用通過計算平均數、方差來判斷數據的集中或離散程度，從而對現實生活中的實例進行分析和判斷，并做出評價或提出建議注意評價要客觀、合理，建議要符合實際同時這部分知識還可以與方程、不等式等知識結合，出現一些綜合題解決這類題必須弄清基本概念，掌握一些典型題的解法，靈活運用題中的數據和信息，明確解題目標四、典型例

24、題例1. 小明所在小組的12位學生身高如下（單位：cm）：160，160，l70，158，170，168，158，170，158，160，l60，168求小明所在小組學生的平均身高（保留整數）分析：求平均數有3種方法，可根據實際情況選擇解：方法一：（160160l70158170168158170158160l60168）12163cm；方法二：整理這組數據：身高/cm158160168170相應人數3423（1583160416821703）12163cm；方法三：以160cm為基準，這12個數據為：0，0，10，2，10，8，2，10，2，0，0，8（10210821028）123.316

25、03.3163cm例2. 經初賽選拔，我市參加省數學競賽決賽的200人中，一中58人，二中47人，三中45人，四中30人，五中20人，請你繪制扇形統計圖表示參賽學生的分布情況分析：畫扇形統計圖之前要先計算每部分所占百分比，每部分扇形的圓心角度數解：各中學人數占參賽總人數的百分比，占扇形圓心角的度數用下面的表格表示：一中二中三中四中五中人數5847453020占總數的百分比29%23.5%22.5%15%10%圓心角104.484.6815436根據數據畫出扇形統計圖，如下圖所示：例3. 某校學生報要招聘記者一名，小明、小凱和小萍報名進行了三項素質測試，成績如下：（單位：分）學生采訪寫作計算機創

26、意設計小明706086小凱907551小萍608478分別計算三人的素質測試的平均分，根據計算，那么誰將被錄取？ 學校把采訪寫作、計算機和創意設計成績按5：2：3的比例來計算三人的測試平均成績，那么誰將被錄取？ 分析：注意算術平均數與加權平均數在實際問題中的應用解：小明平均分 （706086）372（分）， 小凱平均分（907551）372（分）， 小萍平均分（608478）374（分）， 所以，小萍被錄取 按照5：2：3比例，則小明的平均分72.8（分）；小凱的平均分75.3（分）；小萍的平均分70.2（分）所以，小凱被錄取例4. 用計算器求下列數據的平均數91，189，37，98，103，

27、103，107，86，97，99分析：按鍵順序為：例5. 有甲、乙、丙三種可混合包裝的食品，它們的單價分別是：每千克1.80元、2.50元、3.20元現取甲種食品50千克，乙種食品40千克，丙種食品10千克，把這三種食品混合后，每千克的價格是多少？分析：混合后的單價不僅與每種食品的單價有關，而且還與每種食品的質量（千克）有關，應選加權平均數公式來計算本題也可以理解為求混合后的單價解：根據加權平均數公式，得2.22元答：混合后每千克的價格是2.22元例6. 在一次數學知識競賽中，某班20名學生成績如下表所示：成績（分）5060708090人數23672分別求這些學生成績的眾數、中位數、平均數分析

28、：20個數據中，50出現2次，60出現3次，70出現6次，80出現7次，90出現2次，所以由加權平均數公式可得平均數又因為80出現的次數最多，所以眾數是80將20個數據從小到大排列，最中間的兩個數據都是70，所以這組數據的中位數是70解答：在這20個數據中，80出現了7次，出現的次數最多，即這組數據的眾數是80表中的20個數據可看成按從小到大的順序排列，其中最中間的兩個數據都是70，即這組數據的中位數是70 這組數據的平均數是：（502603706807902）2072故20名學生成績的眾數是80分，中位數是70分，平均數是72分例7. 某商場一天中售出運動鞋16雙，其中各種尺碼的鞋的銷量如下

29、表所示：鞋的尺碼/厘米23.52424.52526銷量/雙13462則這16雙鞋的尺碼組成的一組數據中，眾數和中位數分別是多少？通過以上計算，如果商場每10天進一次貨，對以上尺碼的運動鞋應怎樣進貨？說明理由分析：運用所學知識對市場經濟中某些問題進行科學預測，從而使其合理決策是十分重要的，對商場的銷售情況進行了解，通過對數據的計算、處理，從而對以后的進貨情況作出了相對準確地估算解答：眾數是25，中位數是24.75由知，25碼的鞋銷售量最大，一天銷售了6雙，其次是24.5碼，24碼，26碼，23.5碼其一天的銷售量分別為4雙，3雙，2雙，1雙依此估計商場10天的銷售量約為：25碼60雙，24.5碼40雙，24碼30雙