1、九、圖形的相似與全等張建良 常熟市實驗中學【課標要求】1、圖形的相似（1）了解比例的基本性質，了解線段的比、成比例的線段，會判斷已知線段是否成比例.通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割. （2）通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方. （3）了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件及其主要性質. （4）了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小. （5）通過典型實例觀察和認識現實生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）.（6）能建立適當的坐標系，描述物體變換的位置.能

2、靈活運用不同的方式確定物體的位置.（7）在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化.2、圖形的全等（1）了解圖形全等的概念，知道根據圖形全等的概念識別全等圖形；知道全等圖形的對應邊、對應角相等，會利用圖形的全等解決一些簡單的問題.（2）經歷三角形全等的識別方法（若兩個三角形的三邊分別對應相等，則兩個三角形全等；若兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等，則兩個三角形全等；若兩個三角形的兩角及其夾邊分別對應相等，則兩個三角形全等）的探索過程，在與三角形相似的比較中加深認識，并運用這些方法識別三角形的全等.（3）經歷直角三角形全等的特殊識別方法（如果兩個三角形的斜邊及其一條直角邊分別對應相等，那

3、么這兩個直角三角形全等）的探索過程，并會運用各種方法識別三角形的全等.3、命題與證明（1）了解命題、定義、公理的含義，會區分命題的題設（條件）和結論.（2）結合具體的例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立逆命題不一定成立.（3）通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的.（4）掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據.4、尺規作圖（1）掌握下列基本作圖：畫一條線段等與已知線段、畫一個角等于已知角、畫角的平分線、畫線段的垂直平分線、畫一條線段的垂線.（2）會利用基本作圖畫三角形：已知三邊畫三角形；已知兩邊及其夾角畫三角形；已知兩角及其夾邊畫三

4、角形；已知底邊及其底邊上的高畫等腰三角形.（3）探索如何過一點、兩點和不在同一直線上三點作圓.（4）了解尺規作圖的步驟，對于尺規作圖題，會寫已知、求作和作法.（不要求證明）【課時分布】圖形的相似及其全等在第一輪復習時大約需要7個課時，其中包括單元測試.下表為內容及課時安排（僅供參考）.課時數內容比例線段、相似三角形的判定2相似三角形的性質及其應用全等三角形的判定1圖形相似和全等的綜合訓練圖形相似和全等單元測試與評析【知識回顧】 相似比k=1命題證明定義、命題、公理、定理證 明三角形全等三角形全等的識別直角三角形全等的識別圖形的全等基本作圖圖形的相似對應邊成比例，對應角相等的兩個多邊形是相似多邊

5、形相似三角形的識別方法和性質相似三角形相似多邊形坐標與圖形的運動坐標表示物體的位置1、知識脈絡2、基礎知識比例線段，若（或ab=cd），則四條線段a、b、c、d叫做比例線段.比例基本性質：若，則ad=bc. 在比例中運用設k法.相似多邊形，對應邊成比例，對應角相等.（識別方法）相似三角形的相似比（當k=1時,得特殊的相似三角形，稱為全等三角形）.相似三角形的判定定理：(1)如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么兩個三角形相似；(2)如果一個三角形的兩邊分別與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角對應相等，那么兩個三角形相似；(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊

6、對應成比例，那么兩個三角形相似；(4)如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似相似三角形的性質定理：(1)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的對應邊成比例，對應角相等.(2)若兩個三角形相似，它們對應中線的比，角平分線的比，高的比都等于相似比.(3)若兩個三角形相似，它們周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性質解決一些實際問題.畫相似圖形，利用位似方法，把一個多邊形放大和縮小.全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.命題、定理、公理.五種基本作圖及簡單的作圖題.3、能力要求例1 已知ABC中，ACB

7、=90，CDAB于D， ADBD=23且CD=6.ABCD求（1）AB；（2）AC. 【分析】設AD=2k，BD=3k.根據直角三角形和它斜邊上的高，可知ABCACDCBD.通過相似三角形對應邊成比例求出其中k的大小；但是如果根據用射影定理，那么就可以直接計算出k的大小.解：設AD=2k，BD=3k（k 0）.ACB=90， CDAB.CD2=ADBD，62=2k3k，k=.AB=.又AC2=ADAB，AC =.【說明】解題的方法可以不止一種，本題采用了補充的射影定理來解，其中通過設k法將兩線段的比轉化成兩線段的長2k和3k，建立關于k的等式.在含有比例的解題中設k法是常用的解題方法之一.例2

8、 已知ABC中，ACB=90，CHAB，HEBC，HFAC.ABCFEH求證：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC.【分析】從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH,根據矩形的性質可知EF=CH,HF=EC.要證明三角形相似，從條件中得FHE=CHB=90,由全等三角形可知，HEF=HCB,這樣就可以證明兩個三角形相似.【證明】HEBC，HFAC，CEH =CFH=90.又ACB=90，四邊形CEHF是矩形.EF=CH,HF=EC，FHE=90.又HE=EH，HFE EHC.HEF=HCB.FHE=CHB=90，HEFHBC.【說明】在這一題

9、的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發，發現有用的信息，從結論出發，尋找解決問題需要的條件.解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關系.培養學生良好的思維習慣.CEADMB例3 兩個全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結ME，MC.試判斷EMC的形狀，并說明理由.【分析】判斷一個三角形的形狀，可以結合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形.這樣就可以轉化為另一個問題：嘗試去證明EM= MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形.這時思考的問題就可以轉化為這樣一個新問題：如何構造

10、一對全等三角形？根據已知點M是直角三角形斜邊的中點，產生聯想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MD= MB= MA.連結M A后，可以證明MDEMAC.【答】：EMC的形狀是等腰直角三角形.【證明】連接AM,有題意得,DE = AC，AD=AB，DAE+BAC=90. DAB=90. DAB為等腰直角三角形. 又MD= MB，M A= MD= MB，AMDB，MAD=M AB=45. MDE=MAC=105， DMA=90.MDEMAC. DME=AMC，ME=MC.又DME+EMA=90，AMC+EMA=90.MCEM.EMC的形狀是等腰直角三角形.【說明】構造全等三角形是解決這個問

11、題的關鍵，那么構造全等又如何進行的呢？對條件的充分認識和對知識點的聯想可以找到添加輔助線的途徑.構造過程中要不斷地轉化問題或轉化思維的角度.會轉化，善于轉化，更能體現思維的靈活性.在問題中創設三角板為情境也是考題的一個熱點.例4 如圖，已知MON=90，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在MON內部.（1）當頂點B在射線ON上移動到B1時，連結AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）設AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D.求證：；（3）連結CC1，試猜想ACC1為多少度？并證明你的猜想.【分析】用尺規作

12、圖畫出符合題意的等邊三角形AB1C1是對問題（2）研究的關鍵.分別以A、B1兩點為圓心，AB1長為半徑作弧，兩弧的交點即為點C1.然后把等積式改寫比例式，找出所需的兩個相似三角形.【解】 （1）如圖所示；NOACQB1MC1D（B）【證明】（2）AOC與AB1C1等邊三角形，ACB=AB1D=60.又CAQ=B1AD, ACQAB1D；(3) 猜想ACC1=90.證明:AOC和AB1C1為正三角形,AO=AC，AB1=AC1，OAC=C1AB1，OAC-CAQ=C1AB1-CAQ，OAB1=CAC1 .AO B1 AC C1.ACC1=AOB1=90.【說明】問題中要求學生畫出正AB1C1，是

13、對學生理解能力和動手能力的考驗,教材中安排的五種基本作圖，教學中應當給予一定的重視.同時通過比例線段確認要證的相似三角形是常用方法之一. 問題(3) 是一道結論開放的問題，根據對已知條件的分析，對圖形的觀察，猜想直角，再根據所推斷出的目標，去證明猜想是正確的.這樣既培養學生的合情推理能力，也給了學生一個探索的平臺.例5 (1)已知如圖，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60.求證：AC=BD,APB=60.(2) 如圖，在AOB和COD中，OA=OB,OC=OD, AOB=COD=,則AC與BD間的等量關系式為_；APB的大小為_.(3) 如圖，在AOB和COD中，O

14、A=kOB,OC=kOD(k1), AOB=COD=,則AC與BD間的等量關系式為_；APB的大小為_.BACDOPACBOPDACBPOD【分析】要證AC=BD，在圖可以找AC 與BD所在的兩個三角形全等。即證明AOCBOD可以解決.求APB的度數可以通過三角形內角和轉化成AOB的度數. (2)、 (3)題的答案，可以“復制”（1）題中的解題思路來完成.【證明】AOB和COD為正三角形, OA=OB， OD=OC，AOB=60，COD=60.AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BOD.AOCBOD ，AC=BD.OAC=OBD，APB=AOB= 60.(2)AC與BD間的等量關系式為AC

15、=BD；APB的大小為.(3)AC與BD間的等量關系式為AC=kBD；APB的大小為180-.【說明】三個問題的設計是一個逐步深入的過程,有特殊到一般的過程,圖形的展示是一個動態過程,但在變化中卻蘊含著不變的事項,例如解決問題時都用到了AOC和BOD，都用到了三角形內角和定理來決定APB與的大小關系. (2) 、(3)小題的解決思路可從題(1)中吸取.這也是這樣一類變式題常用的思維方法.例6 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學進行設計加工方案，甲設計方案如圖(1),乙設計的方案如圖(2) . 你認為那位同學設計

16、的方案較好？試說明理由.（加工損耗忽略，計算結果可保留分數）【分析】方案(1),設正方形的邊長為x m，通過相似三角形對應邊成比例建立方程,求出邊長. CA(1)BDEF(2)CBADEGFHP方案(2), 設正方形的邊長為xm,通過相似三角形對應高的比等于相似比建立方程, 求出邊長.【解】方案(1)：有題意可知, DEBA，得CDECBA.；方案(2):作BHAC于H. DEAC，得BDEBAC.如圖(1)加工出的正方形面積大.綜上所得，甲同學設計的方案較好. 【說明】利用相似三角形的性質解決實際問題，讓學生感受生活中的數學.在解決幾何中相關的一些計算問題時往往可以轉化方程來討論.當然在教學中可將問題改成：請你給出設計方案，并加于說明.” 這樣更突出了問題的探究性，讓學生自主探究也是新課標所倡導的.【復習建議】1、在復習中注重分析方法的培養，既能對已知條件能夠展開豐富的聯想，又能反推解決目標問題所需的條件.多注重與學生思維分析上交流的，抓住問題的“思考點” . 學好圖形相似和全等是掌握平行四邊形、圓知識的關鍵.2、在復習相似這一單元的計算題方面，要善于利用相似三角形的相關知識建立方程. 通過方程將某些幾何問題轉化為代數問題來解答.3、在復習相似與全等這一單元的證明題方面