1、追求數學課堂的本來面目第七次課題會成果綜述章建躍一、概述“中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐”課題組第七次會議，于2008年10月17日19日在浙江省嘉興市秀州中學舉行。本次會議由浙江省嘉興市教研室、嘉興市秀州中學承辦。值得一提的是，秀州中學是數學大師陳省身先生的母校，在這所百年老校舉行課題會，使我們有一種歷史的厚重感，也有一份為發展中國數學教育事業、使我國走向世界數學強國而努力的使命感。參加本次課題會研究課和評課活動的代表，除課題組成員外，還有山西省各地市教研員、課標實驗省指導組成員近30人，上海市部分中學的數學老師，嘉興市高中教師等200多人。課題組成員在第六次課題

2、會議后都投入了大量時間和精力，積極開展研究工作。通過深入反思，課題組在第六次研討會的基礎上，總結出一批研究成果，集中發表在中國數學教育2008年第10期和第11期，這些成果在本次會議上進行了展示。在高中課標教材實驗的推進過程中，許多課題組成員在各級各類課改研討活動中大力介紹我們的課題成果，擴大了課題成果的影響面；省、市教研員在自己的工作平臺上，以課題組的研究模式為藍本，創造性地開展教研活動，切實地提高了教研活動的針對性和有效性。課題組的“中期研究報告”在第11屆國際數學教育大會的TSG4上，作為大會接受論文進行報告，與會者對我們的案例表現出濃厚興趣。另外，“中期研究報告”在中學數學教學參考20

3、08年第7、8、9、10期連載，引起廣大讀者的較大反響，北京、湖北、安徽、天津、廣東、山西、河南等多個省市都邀請我們介紹課題進展及研究成果。這些活動對于擴大我們課題組的影響面、推廣研究成果，都產生了積極作用。本次會議議題有兩項：第一，以“任意角三角函數”、“曲線與方程”的研究課為載體，對“核心概念、思想方法的教學設計與實踐”開展研討；第二，研討課題后續工作。陶維林、白濤、郭慧清、桂思銘等四位老師為本次會議開設研究課。特別值得一提的是，本次會議邀請我國著名的老一輩數學教育工作者陳振宣先生作關于數學思維能力培養的專題報告。陳先生已87歲高齡，但他仍然精神矍鑠，精力充沛，思路清晰，思維敏捷。他的演講

4、不但使與會者分享到他長期研究數學教育所取得的成果，聆聽到他對數學教育改革的真知灼見，更重要的是他對中華民族崛起的責任感、對數學教育發自內心的熱愛、對數學教改的全身心投入，以及他對我們課題組的殷切期待，都深深地感動著全體課題組成員。二、會議成果1課題研究指導思想的深化本課題研究的核心理念是“凸現數學本質，強化概念教學，全面實現數學課程的育人價值”；在具體實踐上，抓中學數學核心概念、思想方法的教學，在“理解數學，理解學生，理解教學”基礎上開展教學設計研究。作為一項行動研究，我們強調“實踐基礎上的理論概括”，全體成員根據自己對數學教育的理解，從不同角度出發進行反思、總結，這是一個必要的階段。隨著研究

5、的深入，在中學數學核心概念、思想方法結構體系的構建和教學設計實踐上，需要更進一步地明確指導思想。我們認為，陳振宣先生提出的“以自然辯證法、思維科學理論和數學發展史為指導”的建議是中肯的，值得大家深入思考、貫徹。另外，在研究過程中，學習理論的指導也很重要。例如，本次的研究課的兩個教學內容，“曲線與方程”是“直線與方程”“圓與方程”的上位概念，學生的學習是上位學習；“任意角三角函數的概念”是“函數概念”的下位概念，學生的學習是下位學習（一般函數概念下的具體函數），但又不能簡單化（并不是直接的“數集到數集的映射”）。如果有學習理論為指導，相應的教學設計和課后反思、評價將會更加到位。2教學設計的“立意

6、”問題教學設計始終要把數學教學的“育人”目標放在心上，也就是要認真考慮本堂課在培養學生的數學思維能力、發展學生的智力、培育學生的理性精神上能做點什么，這也就是教學設計的“立意”問題。應當肯定，本次研究課中，幾位老師都特別注意了這個問題：“任意角的三角函數的概念”的教學設計注意通過與“銳角三角函數”概念的因襲與擴張關系，引導學生參與“定義任意角三角函數的過程”；“曲線與方程”的教學設計特別強調“坐標法”這一解析幾何根本大法的滲透，注意通過具體事例的概括、辨析，引導學生從新的高度（聯系、關系、運動、軌跡、一一對應等）認識已有對象，培養學生思維的嚴謹性。當然，“細節決定成敗”。有了適切的“立意”，借

7、助怎樣的載體來落實，也是一個值得細究的問題。例如，“曲線與方程”的教學中，采用什么例子可以使學生對“完備性”“純粹性”的印象深刻，并在今后的學習中逐步深入地體會其真諦，養成相應的表達習慣，進而形成一種基本素養，就是一個需要精心設計的問題。3教學設計與課堂教學的關系教學設計是“預設”的，課堂教學是“生成”的，這兩者一定存在落差，這是人所共知的。關鍵是如何加強教學設計的預見性，這樣才能實現課堂教學的有效性，教學質量也才有保證。教學是科學也是藝術。教學設計更多地體現了“科學性”的一面。一個好的設計需要有好的老師去實施，這是由教學的“藝術性”特征所決定的。本次活動表明，教學設計應當能較好地解決“數學理

8、解”和從數學知識發生發展過程角度構建教學過程、設計“問題串”引導學習的問題，也能解決從分析新舊知識關系入手的概念學習認知分析問題。應當說，這對教師的專業化發展具有奠基性作用，是提高課堂教學質量的關鍵之一。但是，教學設計很難解決與學生情況、教學環境緊密相關的“教學機智”問題。所以，我們的課題研究成果，應當爭取成為“無聲的高水平教練”，要把教學的“科學性”一面解決好，使其他教師在學習、理解課題成果時能感到啟發性大，使他們愿意在我們的教學設計的引導下改進自己的教學。4教學設計的課堂檢驗從杭州市和有的老師反饋的情況看，我們給出的教學設計的基本思路和設計文本，與課堂教學實踐之間具有較好的適應性，具有引領

9、廣大數學教師改進課堂教學的作用，但也有許多值得修正的地方。許多課題組成員已經看到，課題研究進展到今天，已經到了通過教學實踐檢驗，獲得修改已有教學設計的實踐依據，并對教學設計進行修改的時候了。在課堂檢驗過程中，科學地搜集數據需要一定的規范化操作。實驗中應當考察哪些指標，如何收集相應的數據，還需要進一步研究。為了增強課題成果的科學性、實踐性和操作性，可以采取對比性研究，對教學設計方案進行實踐檢驗。具體的，可以選擇一章內容，分別用課題組的教學設計和組外教師的教學設計進行教學實踐，每課內容進行對比分析，記錄好數據，在完成全章教學后再進行學習檢測，得出對比數據，再進行統計分析。三、反思成果綜述整體上看，

10、本次活動的反思水平比以往有較大提高。這些反思成果，概括起來看，仍然是對“理解數學、理解學生、理解教學”的認識上的深化，也就是以“任意角三角函數”“曲線與方程”兩個概念的教學設計和課堂教學為載體，從數學（概念的內涵、背景、相關概念和概念的發生發展過程等）、學生學習（數學概念認知分析）以及兩者之間矛盾關系的理解入手，提出能真正實現概念教學目標的教學設計方案。眾所周知，正確的指導思想能使我們把握好教學的大方向，但只有思想還遠遠不夠，我們不能讓學生成為“眼高手低”的空談者，這就需要有反映學生數學學習規律，能真正促進學生的數學理解、發展學生的數學思維、提高學生數學能力的具體方法和措施。既有思想、又有方法

11、的教學才能使學生“會想也會做”。可以認為，在對“如何做”的思考方面所取得的進步是本次課題活動的主要成果。這里我們不做面面俱到的總結，只從幾個側面概括一下大家的反思成果。1高立意與低起點對課堂教學的“高立意”大家有共識，因為唯有這樣才能使學生在學習數學知識的過程中學會數學地思維，養成理性精神，從而真正體現數學教育的育人功能。這就要求我們努力地挖掘數學知識蘊含的育人資源，并設法融入在課堂教學中。現在的問題是“如何做”。概括大家的想法，可以發現比較一致的意見是：解決這一問題的首要原則是設計能充分體現概念所反映的數學思想方法的“低起點”問題，以此為載體展開概念的概括活動，這也是“教學以學生的已有認知基

12、礎為出發點”的具體體現。我甚至想，如果教學真正做好了“有思想的低起點”，那么“什么樣的學生都能對付”。例如，李昌官老師認為，在“曲線與方程”的教學中，由于學生已經學習了直線與方程、圓與方程，并有通過直線的方程、圓的方程研究直線的性質、圓的性質、直線與直線的位置關系、點到直線的距離、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等幾何問題的經歷，對坐標法通過曲線的方程來研究曲線的性質也有所了解，因此應當先提出“深層次的問題”，如“為什么能利用方程來研究曲線的性質？”“這種方法的可靠性由什么來保證？”這樣自然地想到要考察曲線與方程之間的內在聯系。在這樣的思想指導下（實際上就是先要有“高立意”），再考察已經學

13、過的直線的方程、圓的方程等概念，以及直線與直線的方程、圓與圓的方程之間的關系，從中體會“你就是我，我就是你”的等價關系（實際上就是從“低起點”出發），然后再概括出“曲線的方程”“方程的曲線”的概念。又如，程海奎教授在“曲線與方程”的教學設計分析中，通過剖析“純粹演繹模式”“歸納演繹模式”“類比歸納模式”等幾種設計的成敗得失，從既要讓學生理解“曲線與方程”的概念、又要讓學生體會“為什么要引入這個概念”（“曲線的方程”和“方程的曲線”概念在解析幾何中的地位和作用）出發，以學生熟悉的“直線與方程”“圓與方程”為載體，在給出抽象概念之前，先讓學生經歷較完整的“求曲線的方程由方程討論曲線的簡單性質（對稱

14、性）”的過程，使學生建立起“純粹性”“完備性”的充分體驗，體會到引入曲線與方程概念的必要性與合理性后，再給出嚴格的數學定義，并借助反例引導學生進行概念辨析，使學生不僅理解概念，而且也從內心接受“曲線的方程”“方程的曲線”這樣“顛來倒去”的數學定義。我認為，程教授的這一教學設計值得一試。當然，“低起點”到底在哪里，“低”到什么程度，不同的設計者可能有不同的看法，這是由新概念與學生頭腦中已有認知結構的復雜關系所決定的。認知結構是網狀的，因而新舊知識的聯系是多途徑的，所以學習的起點往往不是唯一的，這就有一個取舍問題。總原則應該是“就近”，但也不排除“繞個彎子”，主要看學生對已學知識的掌握水平。例如：

15、“曲線與方程”的教學起點，可以是對“曲線上所有點的集合”與“方程F(x，y)=0的解為坐標的點所成的集合”的等價性的討論；也可以是“函數”與“函數的圖像”的關系的討論；還可以是“直接從定義出發，再用具體例子說明”；還可以是直線與直線的方程、圓與圓的方程之間的關系的討論。這些想法都有一定的道理，但確實有是否有利于學生建立曲線與方程的概念的差異。例如，以“函數”與“函數的圖像”為起點的做法可能會干擾學生認識當前概念，因為函數及其圖像是反映兩個變量之間變化規律的數學模型，而“方程與曲線”的概念是“用代數方法討論曲線的幾何性質”的理論基礎，兩者的內容、方法都有較大差異。而程教授的方案值得一試的理由則在

16、于它是在學生熟悉的背景中討論新的問題，而且是一個坐標法思想指導下的“求曲線的方程由方程討論曲線的性質”的完整過程。同樣，“任意角三角函數的概念”的教學起點也可以有不同的考慮。大多數老師認同“以銳角三角函數概念為起點”。不過，實踐表明，這一起點與任意角三角函數的概念并不是“就近”的，其原因是銳角三角函數的定義以直角三角形為載體，關注的是“解決直角三角形的邊角關系問題”，而對它的函數本性的認識并不作為重點，銳角三角函數并沒有被納入函數概念體系中。因此，要使銳角三角函數概念成為教學的起點，還需要一個較長的過程鋪墊：回顧定義坐標化（全新的學習）“單位化”（取r=1，全新的學習），而且還要冒“學生無法把

17、任意角的三角函數的概念納入到函數的概念中”的風險。因此，張曜光老師提出的“函數概念統領下的教學設計”的起點是：圓心在原點的圓周上的點的坐標隨角的變化而變化的“操作、觀察”，先讓學生建立起“任意給定一個角，圓周上就有唯一的一個點P(x，y)與之對應”的直觀感受，把注意力集中在三角函數的“函數特性”上，能使學生認清其對應關系、定義域和值域等，從而真正把握三角函數的“本來面目”。受張老師觀點的啟發，我想，“現在角的范圍擴大了我們應該如何定義sin,cos,tan呢？”這一問題不是本源性的，以此作為引發認知沖突的轉折性問題，既不本質也不夠大氣，這樣做很難讓學生感受到引入任意角三角函數概念的必要性，因此

18、應考慮更本源性的引入背景。是否可以在“函數是描述客觀世界變化規律的數學模型”的思想指導下，以“如何建立圓周運動的數學模型”為教學起點，調動象限角、弧度制、單位圓、銳角三角函數等相關知識，在建立函數模型的過程中水到渠成地引入任意角三角函數的概念。這樣，既可以使學生知道這一概念的背景、解決的問題，也可以使他們感受運用函數概念建立模型的過程和方法，還可以讓他們體會三角函數在物理學科中的重要性。如果這樣的設計思想能夠實現，那么其效果是一舉多得的。2數學概念教學的基本環節對于概念教學的重要性我們已經有了充分的認識，“核心概念的教學要不惜時、不惜力”是大家的共識。在以往的研究中，我們曾經總結過概念教學的核

19、心、基本步驟和注意點：概念教學的核心是概括，就是將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概念。數學教學要“講背景，講思想，講應用”，概念教學則要強調讓學生經歷概念的概括過程。概念教學的基本步驟是背景引入；典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、綜合；概括共同本質特征得到概念的本質屬性；下定義（準確的數學語言描述）；概念的辨析以實例（正例、反例）為載體分析關鍵詞的含義；用概念作判斷的具體事例形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”建立與相關概念的聯系。概念教學的注意點：第一，數學概念的高

20、度抽象性，決定了對它的認識過程的曲折性，不可能一步到位，需要一個螺旋上升、在已有基礎上再概括的過程；第二，人類認識數學概念具有“漸進性”，個體對數學概念的認識要“重演”人類的認識過程，因此學習像函數這樣的核心概念，需要區分不同年齡階段的概括層次（如變量說、對應說、關系說等），這也是“教學與學生認知水平相適應”的本意所在；第三，為了更有利于學生開展概括活動，例子的選擇至關重要，“一個好例子勝過一千條說教”；第四，“細節決定成敗”，必須安排概念的精致過程，即要對概念內涵進行“深加工”，對概念要素作具體界定，讓學生在對概念的正例、反例作判斷的過程，更準確地把握概念的細節；第五，在概念的系統中學習概念

21、，即要通過概念的應用，形成用概念作判斷的“操作步驟”的同時，建立相關概念的聯系，這是一次新的概括過程。應當說，上述總結對概念教學具有指導意義，而且也有操作性，但從研究的角度看，還需要進一步深入到細節中去。本著“拿來主義”的精神，陳雪梅老師運用“數學概念的二重性理論”和杜賓斯基的“APOS理論模型”，分析了任意角三角函數概念的教學設計和課堂教學中的成敗得失，并在理論指導下提出了改進建議。從上述總結中可以看到，我們強調了數學概念教學不僅要讓學生知道概念的定義，而且要讓學生知道概念的背景，知道概念所反映的思想方法，知道如何用概念作判斷，知道當前概念與相關概念的聯系。為什么要強調這些呢？原因是數學概念

22、的二重性：過程對象、算法結果、操作行為結構關系和與之相應動態靜態，細節整體；歷時（繼時）共時（同時）的特性。由于概念的形成往往要經歷由過程轉變為對象的認知過程，因此概念教學應當遵循“過程先于對象”的認知發展順序。具體而言，為了讓學生真正把握概念的本質（對象）并能應用，在教學設計中我們就應當精心、有序地安排動作、過程、對象和圖式結構等心智結構的建構過程，使學生經歷從低層級的心智結構向高一層級心智結構的發展過程，并精選載體（數學問題），促進不同水平上心智結構之間的相互作用。用我們熟悉的語言來說，就是：概念教學必須以典型、豐富的具體例證為載體，讓學生經歷從具體到抽象的歸納、概括過程而理解概念的本質，

23、并建立相關概念的聯系。順便提及，對于一線教師而言，因為在長期的教學實踐中積累了大量經驗，因此他們采取的教學方法、措施等與理論之間都有較大的“不謀而合”,但因為不知道有相關理論指導而不能實現“實踐基礎上的理論概括”。因此，要使自己成長為專家型教師，理論學習是必須的。另外，如果理論素養上去了,教學會更自覺,有效性也就更強了。3如何促進學生的概念理解在促進學生的概念理解方面，除了精心預設教學過程外，還需要根據課堂教學實際調整教學設計，以使學生真正卷入數學概念的生成過程，達成對概念的本質認識。其中包括提出適切性更強的引導性問題，組織思考力度更大的概括活動，對概念的“多元聯系”的表達，組織比較性更鮮明的

24、變式訓練，還包括營造親和力更強的課堂氛圍。首先，具有親和力的課堂是促進學生優質高效地理解概念的先決條件。大家對陶維林老師的課堂教學藝術贊不絕口，他那始終面帶微笑的表情、商討性的語氣、激勵性的“追問”、“你是怎么想的？”“大家都是聰明人”等所營造的信任學生的心理氛圍、推遲判斷（不輕易否定學生的思考結果）、對學生思維成果的由衷贊嘆等等表現，都給人留下深刻印象。有了輕松愉悅的心理氛圍，才能有思維的積極性，這是概念理解的情感基礎問題。值得指出的是，陶老師在課堂中的做法是發自肺腑的，是以學生在數學學習中的實際表現為基礎的，沒有那種廉價表揚，因而顯得自然、親切和水到渠成。其次，教學設計中的“問題串”應該是教學過程的主線索，這是對一個好的教學設計的基本要求。但是，課堂中必然會出現許多源于學生的“即時問題”，這些問題真實地反映了學生對概念的理解狀況，無論對錯，都是促進學生概念理解的好素材，而且，正如李世杰老師指出的，這正是培養學生發現、提出和解決問題的機會。總之，概念教學不能由老師唱獨角戲，要注意通過挖掘學生中的問題，采取“追問”（考問）的方式，既促使學生自己不斷地明確問題，又達到暴露學生思維過程的效果，從而使我們的教學更加有的放矢，使學生的思維參與度得到實質性提高。第三，例子的選擇和順