1、數學史中無窮概念發展軌跡及其對教學的啟發1. 前言“無窮”這一概念自古以來在數學中一直占據著重要的位置， 與其有關的運算法則也無時不受到的爭計。從某種意義上說，“無窮”可算是數學當中最迷人的概念之一。事實上， 在數學發展過程中一直存在著兩種針鋒相對的“無窮”觀：實無窮與潛無窮。簡而言之，實無窮是把“無窮”看作一個既存的現有實在，是一個穩定的無限整體；而所謂潛無窮是把“無窮”當成一個不斷發展不斷延續的過程， 并非一個現成的固定不變的存在，與之相反恰恰是永遠不能夠終結的過程，所以只能是“潛在的”無窮。 數學史當中，這兩種無窮觀時而分庭抗禮，時而不加區分地交織在一起，在數學發展的同時，也反映出人的自

2、身思維層次的不斷發展。2. 歷史發展軌跡2.1 “無窮”思想的起源關于“無窮”思想的萌芽直可追至兩千多年前。 在中國 莊子一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭。”在古希臘， 畢達哥拉斯學派發現了第一個無理數，并認識了這樣一種與以往信念中構成世界的單位自然數完全不同的性質，即不可公度性，亦可理解為一種從十進制的直觀上不可窮盡表達的量。不難發現“實無窮”、 “潛無窮”這兩種無窮觀實質上來自于古典自然哲學家們對世界本原的兩種基本觀念的對立：即組成世界的本原的最小不可分或無限可分性。此即實無窮與潛無窮的思想源頭。嚴格意義上的概念則是由亞里士多德首先提出的。他指出必須將“潛在無窮”與“真空的無窮

3、”加以區分， 并只承認潛無限的意義。亞氏的區分其最直接目的是對芝諾悖論的反駁。芝諾悖論當時是為反駁運動與變化而提出來的，其中最著名的“阿基里斯追烏龜”： 跑得最快的阿基里斯永遠追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲的速度大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過乙開始的A點，但甲到了 A點，則乙已進到A1點，而當 甲再到A1點，則乙又進到A2點，依次類推，直到無窮，兩者距 離雖越來越近，但甲永遠追不上乙。顯然這與事實是截然相反的，這凸現了當時對“無窮”理解的混亂。然而問題的癥結何在呢？2.2 微積分曲折發展中的“無窮”但在隨后幾個世紀中，由于宗教神學的統治，在意識形態上與神學相契合的實無窮觀

4、念在數學中也一直占據著統治地位。隨著時代的發展，實踐中出現更多新數學問題，有待數學家們加以解決，如曲線切線問題、曲線形面積問題、瞬間速度問題、變力做功問題用現代數學語言，總的可以歸結為求導與求積兩大類問題。面對新的問題，初等數學方法越來越無力，需要的是新的數學思想和工具，不少數學家都曾為此做出不懈努力，并取得了一定成績。 事實上科學史學家的研究發現，微積分思想在遠古時期已經出現，阿基米德的窮竭法自是不必多說，我國魏晉時期數學家劉徽也提出了“割圓術”， 并闡述道： “割之彌細， 所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”但公正地來說， 是牛頓和萊布尼茲突破性地意識到求導與求積這

5、兩類問題本質上是一種運算的互逆過程，并以無窮小思想為基礎，成功運用無限過程的運算，創立了微積分學。微積分學出現后，成為解決眾多問題的有力的工具，并在實際應用中獲得了巨大成功。我們將其運用在芝諾悖論上，問題的癥結會立馬清晰起來：甲“永遠”追不上乙的過程只不過是一個無窮收斂級數求和的問題。因為按照芝諾的推理過程，將甲乙每一段相距長度設為an, 通過積分考察可以發現數列an 的和構成一個極限值，而芝諾頂多證明的是：對于 n均有an0。在數學分析當，當n時，有anf0,且a1+a2+a3+an其和值趨近于一個常數，其意義在于：甲只不過是在某一段有限的空間（或時間）長度內追不上乙。而芝諾將這一段有限的空

6、間（或時間）進行了一個無限收斂的級數劃分，無意中用有限長度的無限劃分的概念取代了長度的無限延伸概念。這便澄清了因對不同層次的“無窮”概念的混淆而導致的悖論。微積分學的創立雖然獲得了巨大的成功，但必須指出，當時 對微積分基礎“無窮小”的理解仍然停留在一種不可分量的最終元素， 亦即“實無窮”的觀念上。 而積分早期的無窮小觀念邏輯并不嚴密，無窮小量的“同一性”被忽視， 又致使“貝克萊悖論”出現。貝克萊悖論，引起了一定程度的混亂，從而導致了數學史上第二次數學危機。但在實踐中微積分方法又確實取得了巨大的成功，人們被迫于一個尷尬的境地：通過錯誤的數學方法來得出正確的結論（或者如貝克萊所說的“錯上加錯才得到

7、了正確”）。這個局面一直到19 世紀才得到了改善，柯西、維爾斯特拉期等人引入極限論、實數論，使微積分理論嚴格化，從而避免了貝克萊悖論，圓滿解決了第二次數學危機。這一次對微積分的基礎的嚴密考察和重新定義，從根本上說關鍵在于用極限方法代替了無限小量方法。所謂極限方法亦現在的每一個理工科大學生在學習數學分析的初期都要接觸到的“？八?1極限方法。毫無疑問，這是一次“潛無窮”的偉大勝利。那如果我們在數學分析當中是不是可以嘗試將“實無窮”的觀念堅持到底呢？2.3 數學基礎中的“無窮”由于潛無窮概念在微積分基礎重建工作中大獲全勝，所以當康托爾在他的集合論當中把全體自然數看作一個集合（亦即把無限的整體作為了一

8、個構造完成了的東西）時， 他對完成了的作為整體的“實無窮”的肯定自然遭到了當時許多數學家們的攻擊。但他并未止步，反而以前所未有的方式，繼續正面探討無窮，終于在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了意義十分深遠的理論。康托爾提出無窮集合的概念，其最具革命性的飛躍認識是無窮集合之后的一一對應關系的基本原則，以此尋求無窮集合的“多少”關系。 他把兩個能一一對應的集合稱為同勢，利用勢的關系他將無限集進行了分類。他最終證明了在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次，并且根據無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數”， 由此建立起關于能夠無窮延伸下去的無窮的超限數理

9、論。整座數學大廈，通過各極限理論、實數理論、自然數論的層層遞歸， 最終將其嚴格性與融貫性歸結到集合論，數學絕對嚴格的目的似乎就要達到了。但就在希爾伯特喊出最后沖鋒的口號不久，羅素發表了自己發現的關于集合論自身存在悖論的觀點。羅素構造了一個集合 U, U由所有不屬于自身的集合組成，但 U 是否屬于自身呢？如若U 屬于自身，則 U 并擁有“不屬于自身”的性質，矛盾；如若U不屬于自身，則根據此性質可知U并屬于自身，同樣矛盾。羅素悖論相當簡潔明了，不得已使成為數學基石的集合論陷入自相矛盾中，由此引發了第三次數學危機。危機產生后，包括羅素本人在內的眾多數學家投入到解決危機的工作中去。集合論公理系統的提出

10、，對無限集合的構造方法進行了一定的限制；而羅素公理系統更是對邏輯層次進行了明確的劃分，并規定不可隨意越過鴻溝向高層次肆意跨入。實質上， 這些公理化方法都只是在某一個層面上避免了“羅素悖論”而并沒有真正解決“羅素悖論”， 這只是在表層上解決了第三次危機，而筆者甚至對最終是否能夠解決亦保留懷疑。盡管如此，隨著公理化集合論的進展，對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以后的形式系統進行研究的數理邏輯出現了。 而現代數理邏輯因其基礎集合論對實無窮的肯定又為“無窮大”、 “無窮小”重新進來微積分提供一個合適的框架。 通過運用無窮小量重新刻劃微積分，美國邏輯學家羅賓遜建立了“非標準分析”方法，與建立在極限理

11、論之上的“標準分析”相對應，但現在的數學家們已經越來越傾向于將這二種方法看作為等價的方法。 這樣便從某種意義上回答了上面那個是否能將實無窮堅持到底的問題。3. 教學啟示將數學史中的“無窮”觀加以整理對比， 兩種無窮的差別可以規范為如下兩點：其一， 從生成的角度看，潛無窮永遠是現在進行式(going) ，而實無窮卻是完成式(gone) 。其二，從存在的角度看，潛無窮是動態的、不完全確定的、構造性的和潛在的，而實無窮則是靜態的、固定的、非能行的、不可構造的和獨立存在的。這兩點同時可以視為兩種無窮觀的基本性質。而這兩種無窮觀不容混淆原則又是指：無條件承認，潛無窮與實無窮無論從生 成角度還是從存在角度

12、看，都不存在任何意義上的等同。就數學教學者而言，通過縱觀數學史中“無窮”觀的發展與 對比，使之深刻理解到這兩種觀點的根本差異之所在，同時在運用辯證法思維把握好二者相互對應存在的關系的基礎上，面對不同階段的教學任務相應地向學生介紹不同觀點的側重點，達到開拓學生思維、促進其對方法的靈活掌握、加深其對數學基礎觀念 理解的作用。這便是用發展的觀點看待數學觀點進步對數學教學 的啟示意義。具體來說，從古典時期到中世紀再到近代和現代，歷史中的主流無窮觀反復經歷了 “實無窮一一潛無窮”這樣一個此消彼 長的過程，最后到達當代這樣一個兩者并重的時期，這樣一個過程同樣可以借鑒到數學教學中來。例如，在中學數學對函數求

13、導與無窮收斂數列求和的教學 中，已經可以適當引入潛無窮概念來引導學生去理解“無限縮小 的過程”的觀念，因為盡管在此之前的小學數學教學當中沒有關 于無窮概念的教學任務，但現代心理學表明人的意識在天性上有 將一切過程、關系等非實體性概念實體化的趨勢，那些未受到過 潛無窮觀念熏陶的孩子一般情況下都有著實無窮觀念的傾向性， 所以應當相對有意識地向他們介紹潛無窮的觀念，適當地加以引導。尤其在大學階段作為理工科大學生基本素質的分析數學教學 當中，更是有必須對柯西極限理論加以潛無窮觀的解釋，明確地培養學生面對無窮的“發展過程”意識 （相應地可以將這個階段 的教學工作類比于數學史上近代的極限理論嚴格化時期）。但對于數學專業的學生或