1、專接本高等數學知識點與公式一、三角函數1特殊角度:角度函數030456090角a的弧度0兀/6兀/4兀/3兀/2sin01/2V2/2V3/21cos1V3/2a/2/21/20tan0V3/31V32和差角公式：3sin（*二1：，）=sin:cosi-二cos二sin:cos（：）=cos二cosI二sin二sin:tan：工-tan:1二tan：tan:tan（：£二F1）co"cot：二1cot（、=I'）:：cotI二cot二和差化積公式：及a+Pa-Psin二二sin=2sincos22,z.Roa+p.aPsin；一sin=2cossin22fya+P

2、a-Pcos：lcos：=2coscos22Ra+Pa-Pcos-：cos=2sinsin224倍角公式:sin2-2sin二cos二222.2cos2-2cos:-1=1-2sin:-cos:-sin;2,ctg2:ctg1一12ctg-tg2：=2tg;,21-tg:5化簡公式：-22sinxcosx=16三角函數圖象：222.21tanx=secx1cotx=cscxjiarcsixnarcccxs=2taxnsinxco)s¥3jcoxt二、極限運算相關公式1極限存在：1.1準則I(夾逼準則)：如果數列xn、yn及Zn滿足條件:(1)從某項起，即3n0=N,當nan0時，有y

3、n<xn<zn,(2)limyn=a,limzn=a,n.n：.那么數列xn的極限存在，且limxn=a.n:,1.2(1)準則:0當xWU(x0,r)(或x>M)時，g(x)<f(x)h(x),(2)limg(x)=A,limh(x)=A,-x0-x0(x)二)(x).)那么則limf(x)存在，且等于A.1.3準則II:單調有界數列必有極限.12有界函數父無分小=無分小：limxsi1=0x0x3高次幕：&#0,b0#0,m和n為非負整數時，有limmm4m-2a°xaxa?xJ，b0xn-b1xn4b0xn-ambnb。n:二m(4) 一重要極限

4、：limsq=1x01.5 .第一重要極限：lim(1+)=e,xf：x6 .無窮小替換公式：XT0時sinxxtanxxlim(1+x)x=e,1c特別地lim(1)=en>:nlni(十x)xxe一1xarcsinxx2,x1-cos(2arctanxxn'1+x_1)n三連續與間斷:limAy=limf(x0+Ax)-f(x0)l=0或lim.x.0.x，0xXofx=fXo2間斷:跳躍型：左極限#右極限limf(x)#limf(x)第一類：J"xT"可去型：極限值#函數值limf(x)=f(x)、Tx0無窮型第二類：非第一類(特點是：極限不存在);震蕩

5、型四、導數定義:1點導數：fKAljm包=十f(x0+Ax)-f(x0)或dimf(x)-f(x0)J0二x-x-0Hxx兇x-x02導函數:fx=limy=lim.x0xLJ0f(xx)f(x)x3切線：yy0=f(xo)(xx0)五導數公式：1基本初等函數導數公式：(1)(C)'=0(C是常數)(3)(sinx)'=cosx法線:(4)1y-y。=(x-xo)f(x。)(xJ)=x山(cosx)=-sinx(5) (tanx)'=sec2x(secx)'=secxtanx(6) (cotx)-csc2x(8)(cscx)=-cscxcotx(9)(ax)&#

6、39;=axlna(11)(Wax);去(10)(ex)=ex，一、,1(12)(lnx)x(13)(arcsinx)=_1_-1-x2(14)(arccosx).1-x2(15)(arctanx)(16)(arccotx)=-2復合函數的求導法則:3 .反函數的導數公式4 .隱函數的求導方法：曳=電？叫或dxdudxy(x)=f(u)-(x)F(x,y(x)=0求上式中確定的隱函數y(x)的導數的方法是：上式兩邊對自變量x求導，在求導時應用復合函數的求導法則，把y看作中間變量.5 .由參數方程確定的函數的求導方法一階導:dx：(t)二階導：察dx6 .對數求導法將函數表達式的等號兩邊取對數，

7、利用對數性質將表達式化簡，然后利用復合函數的求導法則，將等式兩邊對自變量求導，最后得到函數的導數，這種求導數的方法稱為對數求導法.六中值定理：1羅爾定理：如果函數f(x)滿足(1)在閉區間a,b上連續；(2)在開區間(a,b)內可導；(3)在區間端點處函數值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)內至少有一點-(a<-<b),使得f'(')=02拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足(1)在閉區間a,b上連續；(2)在開區間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少存在一點Ma<-<b),使得f(a)-f(b)=fb-a).推論如果函數f(x)在區間I

8、上的導數為零，那么f(x)在區間I上是一個常數.七洛必達法則：limf僅)=limf(x).FxFx八導數的幾何應用：1函數單調性的判定法設函數f(x)在a,b上連續，在(a,b)可導.(1)如果在(a,b)內(x)>0,那么函數f(x)在la,b】上單調增加；(2)如果在(a,b)內(x)<0,那么函數f(x)在b,b上單調減少.如果把這個判定法中的閉區間換成其它各種區間(包括無窮區間)，結論也成立.2函數的極值2.1 極值存在的第一種充分條件：0設函數f(x)在點xo處連續，且在xo的某個去心鄰域U(x°,6)內可導.(1)若xw(xo6,xo)時，f(x)A0,而在

9、xw(xo,xo+6)時，f'(x)<0,貝f(x)在xo處取得極大值；(2)若xw(xo6,xo)時，f(x)co,而在xw(xo,xo+6)時，fr(x)>o,則f(x)在xo處取得極小值；o(3)若xEU(xo,a時，f'(x)的符號保持不變，則f(x)在xo處沒有極值.2.2 極值存在的第二種充分條件設函數f(x)在點xo處具有二階導數且f'(xo)=o,1'(xo)#。，那么(1)當f"(xo)<o時，函數f(x)在xo處取得極大值；(2)當f”(xo)Ao時，函數f(x)在xo處取得極小值.3函數最大值和最小值的求法：極值

10、點與端點值比較得最值4曲線的凹凸性、拐點4.1 曲線的凹凸及拐點概念：4.2 曲線y=f(x)的凹凸性及拐點的判定方法.(1)凹凸性判斷：設f(x)在區間kb】上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那么如果在(a,b)內f"(x)Ao,則f(x)在hb】上的圖形是凹的；如果在(a,b)內f"(x)<o,則f(x)在kb】上的圖形是凸的.當區間不是閉區間時，判定方法類似.(2)拐點判斷：區間(a,b)上曲線y=f(x)存在拐點的判定方法求f*(x);令f"(x)=0,求出該方程在(a,b)內的根，另外，求出f"(x)不存在的點；設函數y=f(x)

11、在點x0處連續，在x0的某一去心鄰域內二階可導，且f“(x0)=0(或f"(x0)不存在),那么當f"(x)在x°左右兩側鄰近異號時，則點(x°,f(x0是曲線y=f(x)的拐點;當f*(x)在x°左右兩側鄰近同號時，則點(x°,f(x°)不是曲線y=f(x)的拐點.九、導數在經濟中的應用1邊際函數：經濟函數對其自變量的導數，稱為該經濟函數的邊際函數(邊際值).例如如果某產品的成本函數C=C(x),其中x表示產量，則C=C<x)稱為邊際成本.2需求彈性：設Q=Q(P)為某種商品的需求函數，其中P表示價格，稱刈=一胎芍為

12、該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性.需求彈性的經濟含義：價格每上漲1%時所引起的需求量減少的百分數.3成本：某產品的總成本是指生產一定數量的產品所需的全部經濟資源投入的價格或費用總額，它由固定成本和可變成本組成.平均成本是生產一定量產品，平均每單位產品的成本，邊際成本是總成本的導數.在其它生產要素不變的情況下，產品的成本是產量的函數，設C為成本，&為固定成本.C2為可變成本，C為平均成本，C'為邊際成本，Q為產量，則有總成本函效C=C(Q)=Ci,C2(Q)平均成本函數C=C(Q)=2a.2QQQ邊際成本函數C=C(Q)4收益：總收益是生產者出售一定量產品得到的全部收入.平均

13、收益是生產者出售一定量產品，平均每出售單位產品所得到的收入，即單位產品的售價；邊際收益為總收益的導數.收益為產量的函數，設P為商品價格，Q為商品量，R為總收益，R為平均收益，R為邊際收益，則有商品價格P=P(Q)總收益函數R=R(Q)=QP(Q)平均收益函數R二R(x)=RQ)=P(Q)Q邊際收益函效R,=R(x)=QP(Q)P(Q)5利潤：利潤是生產者出售一定量產品所得到的總收益與總成本之差.L=R-C當邊際收益與邊際成本相等時，利潤最大，即R'=C1十不定積分的性質：(1) f(x)二g(x)dx=f(x)dx二g(x)dx(2) kf(x)dx=kf(x)dx(k=0)(3) l

14、-ff(x)dxLf(x)或dff(x)dx=f(x)dxdx(4) JF(x)dx=F(x)+C或dF(x)=F(x)-(13)1J-x2dx=arcsinxC(15)卜一基本積分公式：(1)10dx=C(3) jx%x=x"+CJ11 -(5)-dx=lnx+Cxsinxdx=-cosx+C2(9)secdx=tanx+C(11) secxtanxdx=secxC17dx=arctanxC1 x2(2)1dx=dx=xC1V一(4)fadx=a+Clna(6)exdx=ex+C(8)cosxdx=sinxC2(10)cscxdx=-cotx+C(12)cscxcotxdx-csc

15、xC1(14) dx=arccosxC1-x2,、一1(16)frdx=arccotx+C21x十二第二類換元法積分:1f(x,Ja2_x2)4x=asint-<t<；、22J2f(x,<a2+x2)/vx=atant-<t<i<22Jfx,一x2-a2令x二asect題型u,dv的選法目的FnGXx、esinxcosx>dxu=Pn(x),dv=J,Isinx；>dxcosx降低n次多項式Pn(x)的次數nx,arcsinxarccosx1./3xU=«lnx'arcsinxarccosxJ>,dv=Pn(xJdx“消”

16、函數符號ln,arcsinx等xsinxe)>dxcosxU=dvjsinx：cosx'或=exdxu=exsinx"dv='i>dxcosx“回頭積分”十三分部積分法：Judv=uv-Jvdu十四定積分基本性質：1.bbbfx二gxdx=fxdx二gxdxaa'abb2. kkf(xdx=kff(xdx(k是常數).bcb3. ff(xdx=ff(xdx+ff(xdx(c是常數).aac，bb4.如果在區間a,b上f(x)mi.貝Uf(xdx=fdx=ba.,a-a5.如果在區間a,bUf(x)>0,則bf(xdx之0(aMb),a推論1如

17、果在區間a,b】上，f(xAg(x).則f(x)dxEg(x)dx(a<b).a-a推淪2bbff(xdx«Jf(xfaxaa(a<b).6.設M及m分別是函數f(x)在區間kb】上的最大值及最小值，則b、m(b-a夕ff(xdx«M(ba)(acb).'"a7.(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間a,b】上連續，則在la,b上至少存在一個點1，使下式成立：bf(xdx=f«ga)(a<t<b)十五變上限函數的導數：(x)d.0f出，(1) =f9(xy?中'(x)dx上限含有未知變量(函數)的導數：上限代入

18、被積函數乘以上限的導數d,bf(t)dt1(2) -JxlJ=_f切稼X?邛'(x)dx下限含有未知變量(函數)的導數：下限代入被積函數乘以下限的導數，然后添負號d(：f(t)dt(3) Ix=fb(x四朝x)fS(xjl?b(x)dx上、下限含有未知變量(函數)的導數：上限代入被積函數乘以上限的導數一下限代入被積函數乘以下限的導數.十六積分區間對稱，被積函數的奇偶性1 .若f(x)在La,a】上連續且為偶函數，則J”f(xdx=210f(xdx.2 .若f(x)在La,a】上連續且為奇函數，則f(xdx=0.,_a十七分部積分法：udv=Lv】b-fvduaaa十八無窮限反常積分：t

19、bb1 afxdx=tlim;afxdx2之fxdx=tlim;tfxdx.T0-.：i0t3.fxdx=.fxdx+，ofxdx=Jim.，tfxdx+tlim_ofxdx全微分：dz=zdxdydu=、dxdy'dz:xfy；:x；:y*全微分的近似計算：z:、dz=fx(x,y)；：x+fy(x,y)；y多元復合函數的求導法：z=fu(t),v(t)dz十九多元函數微分法及應用dtz=fu(x,y),v(x,y):x當u=u(x,y),v=v(x,y)時，:zuzv-r-+；：u；：xN頭二十多元函數的極值及其求法:du=dx;x隱函數的求導公式:隱函數F(x,y)=0,隱函數F

20、(x,y,z)=0,dMx,二v,dxdydydx.:z,2d_y=(_Fi)+=(一Fx)dydx:xFyNFydx_:zFyyFz設fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CAC-B2A0時,AC-B2：二0時,AC-B2=0寸，入<0,(%)0)為極大值:>0,(%,丫0)為極小值無極值不確定常數項級數等比數列:1qq2，q1-q(n-1)n2調和級數：i1j是發散的1、正項級數的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：二1時,級數收斂=nim>n,則P>1時，級數發散=1時,不確定2、比值

21、審斂法:二十二級數審斂法：設：；=lim57：二1時,則4P>1時,級數收斂級數發散。=1時，不確定3、定義法：sn=u1+u2+un;limsn存在，則收斂；否則發散。nF二交錯級數U1-u2+u3-u4+（或-u1+u2-u3+，unA0）的審斂法萊布尼茲定理:一Un之Un4一一，一如果交錯級數滿足上:，那么級數收斂且其和SMUi,其余項rn的絕又t值rnMUn中】hmun=0nnn中n一河（1）u1+u2+un+-，其中un為任意實數；川二“2|-"u3TUn如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對收斂級數；一十二絕對收斂與條件收斂：如果（2）發散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數。調和級數：工1發散，而£（-1）收斂；nnp_1時發散p.1時收斂1x：二1時，收斂于1-xx_1時，發散二十四哥級數：數軸上都收斂，則必存在R,使。>R時發散，其中R稱為收斂半徑。求收斂半徑的方法：設lim|a桂=P,其中an,n,anan+是的系數，則P=0時,RPR二二P=F