1、高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)課題：函數(shù)的值域與最大(小)值海南華僑中學(xué)教師：李道才一基礎(chǔ)知識(shí)：(1)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性及互為反函數(shù)的關(guān)系。(2)由于圖象法是認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)的重要方法，也是記憶和掌握函數(shù)性質(zhì)的有效工具。掌握下表內(nèi)容，有助于提高研究函數(shù)的能力，特別是有助于數(shù)形結(jié)合思想與方法融會(huì)貫通。函數(shù)圖象直觀顯示函數(shù)的性質(zhì)(表)圖象的特征函數(shù)要素或性質(zhì)關(guān)于X軸的覆蓋范圍定義域關(guān)于Y軸的覆蓋范圍值域上升或下降單調(diào)性關(guān)于原點(diǎn)或Y軸對(duì)稱奇偶性關(guān)于直線y=x對(duì)稱互為反函數(shù)圖象局部或整體的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)極值性二、目的要求：(1)使學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的值域及最大值或最小值的求法。(2)使學(xué)生掌握利用配方法、反函

2、數(shù)法、判別式法、化歸法、換元法、單調(diào)性法及數(shù)形結(jié)合法求簡(jiǎn)單函數(shù)的值域。(3)要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題中具體的已知條件求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值或最小值。(4)使學(xué)生理解函數(shù)的極值與最值是不同的概念。(5)使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合法(多變量)求函數(shù)的最值。(6)通過(guò)運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力；通過(guò)最值解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“效率”與“節(jié)儉”的意識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的能力及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1 .教學(xué)重點(diǎn)(1)在求函數(shù)的值域與最值時(shí)，大量的實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系多是采

3、用二次函數(shù)表示之，使問(wèn)題得以解決；如是復(fù)雜函數(shù)多是經(jīng)過(guò)換元成二次函數(shù)，轉(zhuǎn)復(fù)雜為簡(jiǎn)單來(lái)解決問(wèn)題的。因此使學(xué)生熟練、牢固掌握二次函數(shù)的定義、性質(zhì)是本節(jié)的重點(diǎn)。(2)教學(xué)論中指出了教科書(shū)中現(xiàn)有理論知識(shí)，要有應(yīng)用的技能、技巧教材的內(nèi)容、要有反映生活、建設(shè)上的實(shí)際材料。這一準(zhǔn)則對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)尤其重要。對(duì)于學(xué)習(xí)的學(xué)生，在教學(xué)中必須結(jié)合實(shí)際的、具體的教材，才能通過(guò)理解抽象的理論；才能通過(guò)學(xué)習(xí)獲得應(yīng)用技能、技巧并能熟悉抽象的理論的用途和用法；特別是才能達(dá)到思想性準(zhǔn)則的要求。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。而函數(shù)最值問(wèn)題，它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。例如，在制定生產(chǎn)計(jì)劃的時(shí)侯，要考慮怎樣合理安排勞動(dòng)力，才能

4、使勞動(dòng)生產(chǎn)率最高；在調(diào)運(yùn)物資的時(shí)候，要考慮怎樣制定一個(gè)合理的方案，才能使運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用最省;成品的設(shè)計(jì)要考慮到怎樣才能使所用的材料最省等。也就是說(shuō)函數(shù)最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最體現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合的教材之一。所以,利用二次函數(shù)性質(zhì)、反函數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法求函數(shù)的值域及最值是重點(diǎn)。教材內(nèi)容分解表知識(shí)點(diǎn)(求函數(shù)值域及最值)學(xué)習(xí)水平了解理解掌握,熟練掌握綜合運(yùn)吵函數(shù)的極值與最值概念二次函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)法Cd換元法單調(diào)性法判別式法化歸法數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法(多變量)2 .教學(xué)難點(diǎn)(1)能充分地利用已知條件及題設(shè)中的隱條件(定義域及其變化等)來(lái)解題，為本節(jié)的難點(diǎn)。(2)函數(shù)最值求法甚多，各種方法都必須具備熟

5、練的函數(shù)性質(zhì)及其它有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)還須應(yīng)用特殊方法才能使問(wèn)題得以解決。因而很容易造成學(xué)生在解題中解法不當(dāng)或束手無(wú)策。所以求函數(shù)最值為主要難點(diǎn)。三.解難指導(dǎo)：為了解決難點(diǎn)，提高教學(xué)效果。教學(xué)過(guò)程中力爭(zhēng)做到以下幾點(diǎn):(1)著重注意從實(shí)際出發(fā)，從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)。(2)注重運(yùn)用對(duì)比的方法，反復(fù)比較幾個(gè)解法相近或有從屬關(guān)系的方法的異同。(3)堅(jiān)持結(jié)合直觀圖形或函數(shù)圖象來(lái)說(shuō)明、解題的思路及結(jié)果。(4)特別注意從已有知識(shí)出發(fā)，講清推理層次，啟發(fā)學(xué)生探索解題的途徑，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力。4 .教學(xué)用具：三角板與圓規(guī)。5 .教學(xué)過(guò)程：歡迎光臨。開(kāi)始師生問(wèn)好不正確不正確.不理解六.教自（一）復(fù)

6、習(xí)引入新亍餐寸說(shuō)一回際U 1正確引入例2, 3 （講解）師生對(duì)節(jié)而4沖4/解）理解教師：課堂小結(jié)（布置作業(yè)）結(jié)束謝謝!請(qǐng)批評(píng)指正復(fù)習(xí)舊知識(shí).提問(wèn)：（1）二次函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)?（2）求函數(shù)值域有哪些方法？.回顧： 求函數(shù)y=x V 1 2x的值域。y解:（換元法）令，1 2x =t師提問(wèn)(00),. x= (1-t 2) /2 ,y=f(t)=(1-t 2) /2-t=-1/2(t+1)2+1。t >0, 如左圖所示函數(shù)y=f(t)在0 , +00)上單調(diào)遞減，在0 , +00)上，t=0時(shí)，函數(shù)y有最大值, f(0)=-1/2 X (0+1) 2 + 1=1/2函數(shù)值域?yàn)閥 <1

7、/23(二)1小結(jié):引入新課：.在解題中遇到求復(fù)合函數(shù)（或復(fù)雜函數(shù)）的值域時(shí)，我們 可用換元法使之化為簡(jiǎn)單、熟悉的函數(shù)后再求之。一般地說(shuō)，多 是化為二次函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的值域：可先由函數(shù)y=fx(x)的定義域H求出內(nèi)函數(shù)t=y(x)的值域C,再由t6C和外函數(shù)y=f(t)的解析式可求出函數(shù)y=f(t)的值域D,即為求復(fù)合函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=lg(x2+4)值域。分析本題可看出函數(shù)y=lg(x2+4)是由函數(shù)y=lgt和函數(shù)t=x2+4復(fù)合而成的。首先，由函數(shù)y=lg(x2+4)定義域和函數(shù)t=x2+4的值域求出它們的交集確定為t的取值范圍；再由t的取值范圍和函數(shù)y=lgt的單調(diào)性即可。注意

8、考慮函數(shù)y=lgt的單調(diào)性是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)。(強(qiáng)調(diào))解：要使式子lg(x2+4)有意義，t”必須x2+4>0/當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)/x2>0;x2+4>04函數(shù)y=lg(x2+4)的定義域?yàn)閤6R,二次函數(shù)t=x2+4的圖象0x是開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)(如右圖)函數(shù)t=x2+4的值域?yàn)閠>4,函數(shù)y=lg(x2+4)的定義域?yàn)閤6R,t的取值范圍為t>4,又在4,+8)上函數(shù)y=lgt是單調(diào)遞增，y2g4(應(yīng)說(shuō)明理由)即函數(shù)y=lg(x2+4)的值域是yIy>lg4。注：應(yīng)使學(xué)生理解利用換元法變換的原理，并熟悉基本函數(shù)(二次函數(shù)為主)的圖象，才能

9、借助它們?nèi)パ芯磕承?fù)雜函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題；才能得心應(yīng)手地解決復(fù)雜函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。在上題解題過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)這樣的一個(gè)命題(因果關(guān)系)：廣又在4,+8)上函數(shù)y=lgt是單調(diào)遞增，、y>ig4此命題成立的理由(已講)中內(nèi)含著一個(gè)新內(nèi)容，它就是函數(shù)的最大值和最小值2.函數(shù)的的最大值和最小值，簡(jiǎn)稱為最值。(1)函數(shù)的極值與最值是不同的概念。函數(shù)的極值是局部概念。對(duì)于函數(shù)定義域而言，極大值或極小值都可能不止一個(gè)。而最大值或最小值是整體概念，在整個(gè)定義域內(nèi)，最大值或最小值都至多有一個(gè)。有的函數(shù)存在極值卻不存在最值。(2)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等。所以它是中學(xué)數(shù)

10、學(xué)中，最理論結(jié)合實(shí)際教材之一。故要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題中具體的已知條件求簡(jiǎn)單函數(shù)的最大值或最小值。以培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的能力及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。例3AB是半徑為R的半圓的直徑，ABCD是半圓的內(nèi)接梯形。試問(wèn)其中周長(zhǎng)最大的梯形是怎樣的?ae口e分析本題首要問(wèn)題是利用已知條件，先建立周長(zhǎng)S與某一變量x(定義域的確定)之間的關(guān)系式；再由其函數(shù)的性質(zhì)以求解決問(wèn)題。由于圓內(nèi)接梯形必是等腰梯形，因?yàn)锳B是直徑，只要連DB就可得RtAABE);再作高線DE,即可由射影定理(或相似三角形)求得腰AD與AE的關(guān)系，便可假設(shè)兩變量之一為x,最后利用等腰梯形的性質(zhì)不難得到用x和半徑R來(lái)表

11、示周長(zhǎng)S的函數(shù)式。解：連BD,彳DE1ABXAB于EAB是直徑，/ADB=Rt/在RtAABD中，DEXAB由射影定理可得：AD2=AEAB,即AE=AD/AB,ABCD是圓內(nèi)接梯形，ABCD是等腰梯形設(shè)：梯形腰AD=BC=x(0<x<V2R)(應(yīng)說(shuō)明理由)則：AE=x2/2R,由等腰梯形性質(zhì)易得：DC=2(R-AE)=2(R-x2/2R),梯形周長(zhǎng)S=2R+2x+2(R-x2/2R)=-1/Rx2+2x+4R=-1/R(x-R)2+5R(0<x<V2R)-1/R<0,圖象開(kāi)口向下，在定義域內(nèi)取x=R時(shí)，S有最大值，AD=BC=RDC=2(R-x2/2R)=R答：

12、周長(zhǎng)最大的梯形是下底等于直徑，腰長(zhǎng)與上底均等于半徑的半圓內(nèi)接梯形。3 .學(xué)生練習(xí)(練習(xí)題：第四大題)某生產(chǎn)隊(duì)要辦一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，準(zhǔn)備用籬笆圍成一個(gè)矩形的場(chǎng)地。現(xiàn)在有可以圍60米長(zhǎng)籬笆的材料，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)當(dāng)各是多少米，才能使場(chǎng)地的面積為最大？簡(jiǎn)解設(shè)：場(chǎng)地的長(zhǎng)為x米，則：場(chǎng)地的寬為(30-x)米。:場(chǎng)地的面積S=x(30-x)=-x2+30x=-(x-15)2+225a=-1<0,:拋物線開(kāi)口向下當(dāng)x=15時(shí)，S有最大值，S最大值=225。且這時(shí)，場(chǎng)地的寬=(30-15)=15。答：場(chǎng)地應(yīng)當(dāng)是邊長(zhǎng)等于15米的正方形，才能使場(chǎng)地的面積為最大。4 .備用例題(以時(shí)間而定)例4.當(dāng)1<x<1000時(shí)，求y=(lgx)2-2lgx+3的最大值與最小值。分析本題明顯可看出，函數(shù)y可視為以lgx為變量的二次函數(shù)形式，只要通過(guò)換元，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得。但是，在解題的過(guò)程中必須考慮到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及新函數(shù)的值域和定義域的變化，這也是此類題型的要點(diǎn)與難點(diǎn)。y解：設(shè)t=lgx貝Iy=t2-2t+3=(t-1)2+2,t=lgx在1,1000上是單調(diào)遞增，且lg1=0;lg1000=30<t<32B如右圖所示，在區(qū)間0<t<3上，圖象中A點(diǎn)最高，B點(diǎn)最低。當(dāng)t=3時(shí)，y=(3-1)2+2=6當(dāng)t=1時(shí)，y=2當(dāng)t=3時(shí)，y最大值為6;當(dāng)t=1又當(dāng)t