1、1946年年2月月14日，美國賓夕法尼亞大學莫奇來（日，美國賓夕法尼亞大學莫奇來（Mauchly）博士和）博士和他的學生愛克特（他的學生愛克特（Eckert） 設計以設計以真空管真空管取代取代繼電器繼電器的的ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Calculator，電子數字積分，電子數字積分器與計算器），器與計算器）， 用來計算炮彈彈道。用來計算炮彈彈道。用了用了18800個真空管，長個真空管，長50英尺，寬英尺，寬30英尺，英尺， 占地占地1500平方英尺，平方英尺，重達重達30噸（大約是一間半的教室大）。它的計算速度快，每秒可噸（大約是一間半

2、的教室大）。它的計算速度快，每秒可從事從事5000次的加法運算，運作了九年之久。次的加法運算，運作了九年之久。 2.1.1 對于用對于用 R 進制表示的數進制表示的數 N , 可以按權展開為：可以按權展開為：（1011.01）2=123+022+121+120+02-1+12-2 （503）8=582+081+380 （3A8.0D）16=3162+10161+8160+016-1+ 1316-2 （543.21）10=5102+4101+3100+210-1+110-2表表1 各種進位制的對應關系各種進位制的對應關系 3.1.2 不同進制間的相互轉換不同進制間的相互轉換 1. 二、二、 八、

3、八、 十六進制轉換成十進制十六進制轉換成十進制 例例 1 ：將數：將數(10.101)2, (46.12)8, (2D.A4)16轉換為十進制。轉換為十進制。 (10.101)2=121+020+12-1+02-2+12-3=2.625 (46.12)8=481+680+18-1+28-2=38.156 25 (2D.A4)16=2161+13160+1016-1+416-2=45.640 62 2. 十進制數轉換成二、八、十六進制數十進制數轉換成二、八、十六進制數 任意十進制數任意十進制數 N 轉換成轉換成 R 進制數進制數, 需將整數部分和小需將整數部分和小數部分分開數部分分開, 采用不同

4、方法分別進行轉換采用不同方法分別進行轉換, 然后用小數點將然后用小數點將這兩部分連接起來。這兩部分連接起來。 (1) 整數部分整數部分: 除基取余法。除基取余法。 分別用基數分別用基數 R 不斷地去除不斷地去除 N 的整數的整數, 直到商為零為止直到商為零為止, 每次所得的余數依次排列即為相應進制的數碼。最初得到每次所得的余數依次排列即為相應進制的數碼。最初得到的為最低有效數字的為最低有效數字, 最后得到的為最高有效數字。最后得到的為最高有效數字。 例例 2： 將（將（168)10轉換成二、轉換成二、 八、八、 十六進制數。十六進制數。 (2) 小數部分小數部分: 乘基取整法。乘基取整法。 分

5、別用基數分別用基數 R(R=2、8或或16）不斷地去乘）不斷地去乘N 的小數的小數, 直直到積的小數部分為零（或直到所要求的位數）為止到積的小數部分為零（或直到所要求的位數）為止, 每次乘每次乘得的整數依次排列即為相應進制的數碼。得的整數依次排列即為相應進制的數碼。 最初得到的為最高最初得到的為最高有效數字有效數字, 最后得到的為最低有效數字。最后得到的為最低有效數字。 故：故： (0.645)10=(0.10100)2=(0.51217)8=(0.A51EB)16 例例 4 ：將（：將（168.645)10轉換成二、轉換成二、 八、八、 十六進制數。十六進制數。 根據例根據例2、例、例 3

6、可得可得 （168.645)10= (10101000.10100)2= (250.51217) 8=(A8.A51EB)16 3. 二進制與八進制之間的相互轉換二進制與八進制之間的相互轉換 由于由于23= 8, 故可采用故可采用“合三為一合三為一”的原則的原則, 即從小數點開即從小數點開始分別向左、右兩邊各以始分別向左、右兩邊各以3位為一組進行二位為一組進行二八換算八換算: 若不足若不足 3 位的以位的以 0 補足補足, 便可將二進制數轉換為八進制數。便可將二進制數轉換為八進制數。 反之反之, 采用采用“一分為三一分為三”的原則的原則, 每位八進制數用三位二每位八進制數用三位二進制數表示進制

7、數表示, 就可將八進制數轉換為二進制數。就可將八進制數轉換為二進制數。 例例 5 將（將（101011.01101)2轉換為八進制數。轉換為八進制數。 101 011 . 011 010 5 3 . 3 2 即即 （101011.01101)2= (53.32)8 例例 6 將將(123.45)8轉換成二進制數。轉換成二進制數。 1 2 3 . 4 5001 010 011 . 100 101 即即 （123.45)8=(1010011.100101) 4. 二進制與十六進制之間的相互轉換二進制與十六進制之間的相互轉換 采用采用“合四為一合四為一”的原則的原則, 即從小數點開始分別向左、右即從

8、小數點開始分別向左、右兩邊各以兩邊各以4位為一組進行二位為一組進行二十六換算十六換算: 若不足若不足 4 位的以位的以 0 補補足足, 便可將二進制數轉換為十六進制數。便可將二進制數轉換為十六進制數。 反之反之, 采用采用“一分為四一分為四”的原則的原則, 每位十六進制數用三位每位十六進制數用三位二進制數表示二進制數表示, 就可將十六進制數轉換為二進制數。就可將十六進制數轉換為二進制數。 例例 7 將（將（110101.011)2轉換為十六進制數。轉換為十六進制數。 0011 0101 . 0110 3 5 . 6 即即 （110101.011) 2=(35.6)16 例例 8 將（將（4A5

9、B.6C)16轉換為二進制數。轉換為二進制數。 4 A 5 B . 6 C0100 1010 0101 1011 . 0110 1100即即 （4A5B.6C)16=(100101001011011.011011)2 3.2.1 二進制數的算術運算二進制數的算術運算 二進制數只有二進制數只有 0和和1兩個數字兩個數字,其算術運算較為簡單其算術運算較為簡單,加、加、 減法遵循減法遵循“逢二進一逢二進一”、“借一當二借一當二”的原則。的原則。 1. 加法運算加法運算規則規則: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10(有進位有進位) 例例 1 求求1001B+1011B。 2. 減法

10、運算減法運算規則規則: 0-0=0; 1-1=0; 1-0=1; 0-1=1(有借位有借位) 例例 2 求求1100B-111B。 3. 乘法運算乘法運算規則規則: 00=0; 01=10=0; 11=1例例 3 求求1011B1101B。 即即 10100101B/1111B=1011B 4. 除法運算除法運算規則規則: 0/1=0; 1/1=1例例 4 求求10100101B/1111B 3.2.2 二進制數的邏輯運算二進制數的邏輯運算 1. “與與”運算運算 “與與”運算是實現運算是實現“必須都有必須都有,否則就沒有否則就沒有”這種邏輯這種邏輯關系的一種運算。關系的一種運算。 運算符為運

11、算符為“ ”, 其運算規則如下其運算規則如下:00=0, 01=10=0, 11=1 例例 5 若若X=1011B, Y=1001B, 求求XY。 100110011011.即即 XY=1001B 2. “或或”運算運算 “或或”運算是實現運算是實現“只要其中之一有只要其中之一有,就有就有”這種邏輯這種邏輯關系的一種運算關系的一種運算, 其運算符為其運算符為“+”。 “或或”運算規則如下運算規則如下:0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=1 例例 6 若若X=10101B, Y=01101B, 求求X+Y。 101010110111101+即即 X+Y=11101B 3. “非非”運算運

12、算 “非非”運算是實現運算是實現“求反求反”這種邏輯的一種運算，如這種邏輯的一種運算，如變量變量A的的“非非”運算記作運算記作 。 其運算規則如下其運算規則如下: A10, 01例例 7 若若A=10101B, 求求 。 ABBA0101010101 4. “異或異或”運算運算 “異或異或”運算是實現運算是實現“必須不同必須不同, 否則就沒有否則就沒有”這種邏這種邏輯的一種運算輯的一種運算, 運算符為運算符為“ ”。其運算規則是。其運算規則是: 011 , 101 , 110 , 000例例 8 若若X=1010B, Y=0110B, 求求X Y。 101001101100即即 X Y=110

13、0B 計算機在數的運算中計算機在數的運算中, 不可避免地會遇到正數和負數不可避免地會遇到正數和負數, 那么正負符號如何表示呢？由于計算機只能識別那么正負符號如何表示呢？由于計算機只能識別0和和1, 因此因此, 我們將一個二進制數的最高位用作符號位來表示這個數的我們將一個二進制數的最高位用作符號位來表示這個數的正負。正負。 規定符號位用規定符號位用“0”表示正表示正, 用用“1”表示負。例如表示負。例如, X=-1101010B, Y=+1101010B, 則則X表示為表示為: 11101010B, Y表示表示為為01101010B。 3.3.1 機器數及真值機器數及真值3.3.2 數的碼制數的

14、碼制 1. 原碼原碼 當正數的符號位用當正數的符號位用0表示表示, 負數的符號位用負數的符號位用1表示表示, 數值部分數值部分用真值的絕對值來表示的二進制機器數稱為原碼用真值的絕對值來表示的二進制機器數稱為原碼, 用用X原原表示表示, 設設X為整數。為整數。 若若X=+Xn-2Xn-3X1X0, 則則X原原=0Xn-2Xn-3X1X0=X; 若若X=-Xn-2Xn-3X1X0,則則X原原=1Xn-2Xn-3X1X0=2n-1-X。 其中其中, X為為n-1位二進制數位二進制數, Xn-2、Xn-3、 、X1、X0為二進制為二進制數數0或或1。例如。例如+115和和-115在計算機中（設機器數的

15、位數是在計算機中（設機器數的位數是8）其原碼可分別表示為其原碼可分別表示為+115原原= 01110011B; -115原原= 11110011B 可見可見, 真值真值X與原碼與原碼X原原的關系為的關系為 值得注意的是值得注意的是, 由于由于+0原原=00000000B, 而而-0原原=10000000B, 所以數所以數 0的原碼不唯一。的原碼不唯一。 8位二進制原碼能表示的范圍是位二進制原碼能表示的范圍是: -127+127。 +115原原= 01110011B; -115原原= 11110011B 2. 反碼反碼 一個正數的反碼一個正數的反碼, 等于該數的原碼等于該數的原碼; 一個負數的反

16、碼一個負數的反碼, 由由它的正數的原碼按位取反形成。反碼用它的正數的原碼按位取反形成。反碼用X反反表示。表示。 若若X=-Xn-2Xn-3X1X0, 則則X反反=1Xn-2Xn-3X1X0。例如。例如: X=+103, 則則X反反=X原原=01100111B; X=-103, X原原=11100111B, 則則X反反=10011000B。 3. 補碼補碼 正數的補碼就是它本身正數的補碼就是它本身, 負數補碼負數補碼的求法的求法: 用原碼求反碼用原碼求反碼, 再在數值末位加再在數值末位加1, 即即: X補補=X反反+1。 8位二進制補碼能表示的范圍為位二進制補碼能表示的范圍為: -128 +12

17、7, 若超過此范若超過此范圍圍, 則為溢出。則為溢出。 對于對于n位計算機來說位計算機來說, 數數X的補碼定義為的補碼定義為 即即正數的補碼就是它本身正數的補碼就是它本身。 例如例如, +75補補=01001001B -73補補=10000000 B- 01001001B=10110111B 0補補=+0補補=-0補補=00000000B 可見可見, 數數0的補碼表示是唯一的。在用補碼定義求負數補的補碼表示是唯一的。在用補碼定義求負數補碼的過程中碼的過程中, 由于做減法不方便由于做減法不方便, 一般該法不用。一般該法不用。負數補碼負數補碼的求法的求法: 用原碼求反碼用原碼求反碼, 再在數值末位

18、加再在數值末位加1, 即即: X補補=X反反+1。 例如例如: -30補補=-30反反+1 =+30原原+1=11100001+1=11100010B。 8位二進制補碼能表示的范圍為位二進制補碼能表示的范圍為: -128 +127, 若超過此范若超過此范圍圍, 則為溢出。則為溢出。 3.4 定點數和浮點數定點數和浮點數 1. 定點法定點法 定點法中約定所有數據的小數點隱含在某個固定位置。定點法中約定所有數據的小數點隱含在某個固定位置。 對于純小數對于純小數, 小數點固定在數符與數值之間小數點固定在數符與數值之間; 對于整數對于整數, 則把則把小數點固定在數值部分的最后面小數點固定在數值部分的最

19、后面, 其格式為其格式為 純小數表示純小數表示: 數符數符. 尾數尾數 .小數點小數點.小數點小數點 2. 浮點法浮點法 浮點法中浮點法中, 數據的小數點位置不是固定不變的數據的小數點位置不是固定不變的, 而是可而是可浮動的。浮動的。 因此因此, 可將任意一個二進制數可將任意一個二進制數N表示成表示成N=M2E其中其中, M為尾數為尾數, 為純二進制小數為純二進制小數, E稱為階碼稱為階碼。可見。可見, 一個一個浮點數有階碼和尾數兩部分浮點數有階碼和尾數兩部分, 且都帶有表示正負的階碼符與且都帶有表示正負的階碼符與數符數符, 其格式為其格式為 設階碼設階碼 E的位數為的位數為m位位, 尾數尾數M的位數為的位數為n位位, 則浮點數則浮點數N的取值范圍為的取值范圍為 2-n2-2m+