1、 第第 六章六章抽抽 樣樣 分分 布布 一一個統計問題總有它明確的研究對象個統計問題總有它明確的研究對象.1.1.總體總體研究對象的全體稱為研究對象的全體稱為總體總體(母體母體)，總體中每個成員稱為總體中每個成員稱為個體個體.一、總體和樣本一、總體和樣本某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的該批燈泡壽命的全體就是總體全體就是總體國產轎車每公里國產轎車每公里的耗油量的耗油量國產轎車每公里耗油國產轎車每公里耗油量的全體就是總體量的全體就是總體 由于每個個體的出現是隨機的，所以相由于每個個體的出現是隨機的，所以相應的數量指標應的數量指標X的出現也帶有隨機性的出現也帶有隨機性. 從而從而可以把這種

2、數量指標可以把這種數量指標X看作一個隨機變量，看作一個隨機變量，因此隨機變量的分布就是該數量指標在總體因此隨機變量的分布就是該數量指標在總體中的分布中的分布. 這樣，這樣，總體就可以用一個隨機變量總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述及其分布來描述. 例如例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數研究某批燈泡的壽命時，關心的數量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量機變量X表示，或用其分布函數表示，或用其分布函數F(x)表示表示.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總體總體壽命壽命X可用一概可用一概率分布來刻劃率分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號鑒于此，常用隨機變

3、量的記號或用其分布函數表示總體或用其分布函數表示總體. 如如說總體說總體X或總體或總體F(x) .F(x) 為推斷總體分布及各種特征，按一定為推斷總體分布及各種特征，按一定規則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，規則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關總體的信息，這一抽取過程稱以獲得有關總體的信息，這一抽取過程稱為為 “抽樣抽樣”，所抽取的部分個體稱為，所抽取的部分個體稱為樣本樣本. 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量.2. 樣本樣本從國產轎車中抽從國產轎車中抽5輛輛進行耗油量試驗進行耗油量試驗樣本容量為樣本容量為5 但是，一旦取定一組樣本但是，一旦取定

4、一組樣本(X1,X2,Xn) 得到的是得到的是n個具體的數個具體的數 (x1,x2,xn)，稱為，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 . 樣本是隨機變量樣本是隨機變量.抽到哪抽到哪5輛是隨機的輛是隨機的容量為容量為n的樣本可以看作的樣本可以看作n維隨機變量維隨機變量. 由于抽樣的目的是為了對總體進行由于抽樣的目的是為了對總體進行統計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反統計推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法映總體的信息，必須考慮抽樣方法. 最常用的一種抽樣方法叫作最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨簡單隨機抽樣機抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面，它要

5、求抽取的樣本滿足下面兩點兩點:1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一個與所考察的總中每一個與所考察的總體有相同的分布體有相同的分布.2. 獨立性獨立性： X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量是相互獨立的隨機變量. 由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單簡單隨機樣本隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量X1,X2,Xn表示表示.若總體的分布函數為若總體的分布函數為F(x)，則其簡單隨機，則其簡單隨機樣本的聯合分布函數為樣本的聯合分布函數為F(x1) F(x2) F(xn) 簡單隨機樣本是應用中最常見的

6、情簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到形，今后，當說到“X1,X2,Xn是取自某是取自某總體的樣本總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本單隨機樣本. 由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行值進行“加工加工”，這就要構造一些樣本的，這就要構造一些樣本的函數，它把樣本中所含的（某一方面）的函數，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來信息集中起來.二、統計量和抽樣分布二、統計量和抽樣分布1. 統計量統計量 這種這種不含任何未知參數的樣本的函數不含任何未知參數的樣本的函數稱為統計量稱為統計量. 它是完全由樣本決定的量它是

7、完全由樣本決定的量.例例 是未知參數, 22, ),(NX若 , 已知,則為統計量是一樣本,12(,)nXXXLniiniiXXnSXnX122111,1是統計量,則但niiX1221不是統計量.常用的統計量常用的統計量niiXnX11) 1 (為樣本均值樣本均值niiXXnS12211)2(為樣本方差樣本方差niiXXnS1211為樣本標準差樣本標準差12(,)nXXXL設是來自總體 X 的容量為 n 的樣本,稱統計量nikikXnA11) 3 (為樣本的k 階原點矩原點矩nikikXXn11M) 4(為樣本的k 階中心矩中心矩例如21222111MnniiSXXnSnnXA ，）（niiX

8、nEXE111 21nXD性質性質 設2)(,)(XDXE則2）221)(nnSEn22)(SEniniiniiXXXX12112222122XnXnXnii212XnXniiniiiniiXXXXXX12212)2()(證明證明)(2nSEniiniiXnXEnXXnE122121)(122221n21nn221)(nSnnESE221nESnn例例1 1 設總體X 的概率密度函數為101)(xxxxf為總體的樣本,求),(5021XXX(1)(1)X的數學期望與方差(2) )(2SE解解(1)0d)()(11xxxXEXE1001d2501)(501)(501)(1022xxxXEXDXD

9、例例2 2 在總體 中,隨機抽取一個容量為36的樣本,求樣本均值 落在50.8到53.8之間的概率.)3 . 6,52(2NX解解)36/3 . 6,52(2NX故6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .53)8 .538 .50( XP8239. 0)1429. 1()7143. 1 (例例3 3 從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件, 測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩.解解1210( , ,)x xxL令)199,200,235,1

10、96,228,215,240,185,243,210(43.433)(9110122iixxs101225 .47522101iixA0 .390)(101109M101222iixxs19.217)199200235196228215240185243230(101x則則 三三. 統計三大分布統計三大分布統計量既然是依賴于樣本的，而后者又統計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統計量也是隨機變量，是隨機變量，故統計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，統計量的分布稱因而就有一定的分布，統計量的分布稱為抽樣分布。數理統計中常用到如下三為抽樣分布。數理統計中常用到如下三個分布：個分布： 2

11、 2分布、分布、 t t 分布和分布和F F分布。分布。 這三種分布都是由正態分布派生出來的這三種分布都是由正態分布派生出來的. .)(22n記為記為2分布分布1、定義定義: 設設 相互獨立相互獨立, 都服從正態都服從正態分布分布N(0,1), 則稱隨機變量：則稱隨機變量： 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n 的的 分布分布.12,nX XXL222212nXXXL22分布的密度函數為分布的密度函數為000)2(21);(2122xxexnnxfxnn來定義來定義.其中伽瑪函數其中伽瑪函數 通過積分通過積分0,)(01xdttexxt)(x2分布圖：分布圖：分位點分位點 設設X

12、2(n)，若對于，若對于 ：0 1， 存在存在0)(2n滿足滿足,)(2nXP則稱則稱)(2n為為)(2n分布的上分布的上 分位點。分位點。)(2n附表附表3nnDnnE2)(,)(122)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX則相互獨立，若)2 ,()(32nnNnn近似時，分布的性質分布的性質)(2n這個性質叫這個性質叫 分布的可加性分布的可加性.212,nXXXL相互獨立,證證 1設221( )(0,1)1,2,niiinXXNinL則1)(, 1)(, 0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242

13、iiiXEXEXDnXDnDnii2)(122例例2：設：設X1 ,X2 ,X3, X4是來自總體是來自總體N(0,4)的簡單隨的簡單隨機樣本，機樣本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，問當，問當a,b為何值時，統計量為何值時，統計量X服從服從分布2例例1.設設X1 ,X2 , Xn是來自總體是來自總體N(,2)的簡單隨的簡單隨機樣本，求隨機變量機樣本，求隨機變量2211()niiX的分布T的密度函數為：的密度函數為：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf記為記為Tt(n). 定義定義: 設設XN(0,1) , Y , 且且X與與Y相互相互獨立，則稱變量獨立

14、，則稱變量nYXT 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布 不難看到，當不難看到，當n充分大時，充分大時，t 分布近分布近似似N (0,1)分布分布. 但對于較小的但對于較小的n，t分布分布與與N (0,1)分布相差很大分布相差很大.基本性質基本性質: : (1) f(t)(1) f(t)關于關于t=0(t=0(縱軸縱軸) )對稱。對稱。(2)(2)若若T Tt(nt(n) )，則當，則當n n充分大時，充分大時，T T N N（0,10,1）分位點分位點: :設設T Tt(n)t(n)，若對，若對 :0:0 1,0(n)0， 滿足滿足PT

15、PT t t (n)=(n)= ，則稱則稱t t (n)(n)為為t(n)t(n)的上側分位點的上側分位點)(nt注注:)()(1ntnt)(1nt)(nt0.05(10) 1.81251.81250.05tP T1.81250.05,1.81250.95P TP T8125. 1)10(95. 0t 例例3.設設X1,X2, ,Xn是來自正態總體是來自正態總體N(0,4) 的樣本，試問統計量的樣本，試問統計量niiXXn2211服從什么分布？服從什么分布？(4) F 分布分布則稱 F 服從為第一自由度第一自由度為n ,第二自由第二自由度度為 m 的F 分布分布. . 0, 001222),

16、(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn其密度函數為定義定義),(),(22mYnXX, Y 相互獨立，設mYnXF/令1234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4m = 10, n = 10m = 10, n = 15m = 4, n =10m = 10, n = 10m = 15, n = 10F 分布的性質分布的性質1 ( , ),1/ ( , )FF n mFF mn若則1234560.10.20.30.40.50.6例如),(1),(1nmFmnF事實上,19. 51) 5 , 4 (1) 4 , 5 (05. 095.

17、 0FF故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位數的上求F(n,m)19. 5) 5 , 4 (05. 0F?) 4, 5 (95. 0F),(1mnFFP),(111mnFFP故),(1nmFF由于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因而),(111mnFFP例例1 1 證明),(1),(1nmFmnF證證 例例4.設設X1,X2, ,Xn是來自正態總體是來自正態總體N(0,1) 的樣本，試問統計量的樣本，試問統計量niiiiXXn423123) 3(服從什么分布？服從什么分布？l正態總體的抽樣分布正態總體的抽樣分布定理定理1：設設X1,X2, ,Xn是來

18、自正態總體是來自正態總體N(,2) 的樣本，則的樣本，則21( ,)XNn（），222(1)2(1)nSn（ ）23XS（ ） 與相互獨立，()4 (1)n Xt nS（ ）l正態總體的抽樣分布正態總體的抽樣分布定理定理2：設設X1,X2, ,Xn是來自正態總體是來自正態總體N(1,12) 的樣本，的樣本， Y1,Y2, ,Yn是來自正態總體是來自正態總體N(2,22) 的樣本，且的樣本，且X與與Y相互獨立，則相互獨立，則) 1, 1()2(22222121nmFSS)2(11)()(,) 3(2121nmtnmSYXw若),() 1 (222121nmNYXl正態總體的抽樣分布正態總體的抽樣

19、分布其中：其中：2) 1() 1()(11,1)(11,1222121222112211nmSnSmSYYnSYnYXXmSXmXwniiniimiimii四、例題四、例題例例122(12,),25,12.5.(1)225.57.XNXS設總體 服從正態分布抽取容量為的樣本 求樣本均值 大于的概率如果已知；（ ） 未知，但已知樣本方差解解 2512125 .122512125 .12)1(XPXP1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP 059. 1255 .1225125 .12)2( TPSSXPXP .15. 05 .12.15. 0059. 1,059. 1)24(,2415. 0 XPTPtt