1、第一章 n階行列式§1 全排列及逆序數(shù)解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本問題，中學(xué)代數(shù)中，解線性方程組問題時(shí)引出了二階和三階行列式，我們知道它們的展開式分別為=a11a22-a12a21， (1-1)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a1a2a33， （1-）其中元素aij的兩個(gè)下標(biāo)i與j分別表示aij所在的行與列的序數(shù).我們觀察到(1.2)式的右端是一些項(xiàng)的代數(shù)和，其中，每一項(xiàng)是位于不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘，這三個(gè)數(shù)的第一個(gè)下標(biāo)是按自然順序排列的，第二個(gè)下標(biāo)則不按自然順序排列.我們不禁要問：這個(gè)代數(shù)和的項(xiàng)數(shù)、每一項(xiàng)前的符號(hào)與

2、第二個(gè)下標(biāo)的排列順序有無關(guān)系?有什么關(guān)系？為此我們引入全排列與逆序數(shù)等概念.定義1 由1，2，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)全排列(簡(jiǎn)稱排列).有序數(shù)組12和21，由兩個(gè)數(shù)構(gòu)成，稱為二級(jí)排列，有序數(shù)組213則稱為三級(jí)排列，三級(jí)排列的總數(shù)為3!=6個(gè)，4321為四級(jí)排列，四級(jí)排列的總數(shù)為4!=24個(gè)，n級(jí)排列的總數(shù)是n(n-1)(n-2)··2·1=n!，讀為“n階乘”.顯然12n也是一個(gè)n級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的，其它的排列都或多或少地破壞自然順序.定義2 在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)(稱為數(shù)對(duì))的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于

3、后面的數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序(反序).一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).一個(gè)排列j1j2jn的逆序數(shù)，一般記為(j1j2jn).排列12的逆序數(shù)為0；排列21的逆序數(shù)為1；排列231的數(shù)對(duì)21、31均構(gòu)成逆序，而23不構(gòu)成逆序，因此排列231的逆序數(shù)為2；同理排列213的逆序數(shù)是1，即(213)=1.進(jìn)一步我們有以下定義.定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.二級(jí)排列12為偶排列，21為奇排列；三級(jí)排列231為偶排列，213為奇排列.現(xiàn)在我們探討(1-1)、(1-2)式右端各項(xiàng)的規(guī)律：(1-1)式右端各項(xiàng)的第一個(gè)下標(biāo)按自然順序排列，對(duì)它們第二個(gè)下標(biāo)進(jìn)行

4、觀察：第二個(gè)下標(biāo)由兩個(gè)自然數(shù)1和2組成，只能構(gòu)成兩個(gè)二級(jí)排列：12和21，排列個(gè)數(shù)等于(1-1)式右端的項(xiàng)數(shù)，且排列12的逆序數(shù)為0，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“+”，而排列21的逆序數(shù)為1，所對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“-”.(1-2)式右端各項(xiàng)的第一個(gè)下標(biāo)按自然順序排列，第二個(gè)下標(biāo)由自然數(shù)1、2和3組成，構(gòu)成的三級(jí)排列共有3!=6個(gè)：123、231、312、132、213、321，這正好等于(1-2)式右端的項(xiàng)數(shù)，排列為123、231、312的逆序數(shù)分別為0、2、2，它們均為偶排列，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“+”，排列132、213、321的逆序數(shù)分別為1、1、3，它們都是奇排列，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)為“-”.綜上所述：(1-2)

5、式右端各項(xiàng)可寫成，這里j1j2j3是1、2、3的一個(gè)三級(jí)排列，當(dāng)j1j2j3為偶排列時(shí)，項(xiàng)前面的符號(hào)為正，當(dāng)j1j2j3為奇排列時(shí)，項(xiàng)前面的符號(hào)為負(fù)，各項(xiàng)所帶符號(hào)均可表示為(-1)J，其中J=（j1j2j3）為排列j1j2j3的逆序數(shù).從而(1-2)式可寫為，表示對(duì)全體三級(jí)排列求和.例1計(jì)算以下各排列的逆序數(shù)，并指出它們的奇偶性.(1) 42531，（2） 135（2n-1）246(2n).解（1） 對(duì)于所給排列，4排在首位，逆序個(gè)數(shù)為0；2的前面有一個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為1；5的前面有0個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為0；3的前面有兩個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為2；1的前面有四個(gè)比它大的數(shù)，逆序個(gè)數(shù)為

6、4.把這些數(shù)加起來，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序數(shù)為7，即(42531)=7，因而是奇排列.(2) 同理可得：135(2n-1)246(2n)=0+(n-1)+(n-2)+2+1=.所給排列當(dāng)n=4k或4k+1時(shí)為偶排列，當(dāng)n=4k+2或4k+3時(shí)為奇排列.§2行列式的定義定義4 n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積 （1-3）的代數(shù)和，這里j1j2jn是1，2，n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)（1-3）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)j1j2jn是偶排列時(shí)，（1-3）帶有正號(hào)，當(dāng)j1j2jn是奇排列時(shí)，（1-3）帶有負(fù)號(hào).這一定義可以寫成， (1.4)這里表示對(duì)所有n級(jí)

7、排列求和.例2 計(jì)算四階行列式.解 根據(jù)定義，D是4!=24項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的乘積中只要有一個(gè)元素為0，乘積就等于0，所以只需計(jì)算展開式中不明顯為0的項(xiàng).由于第1行元素除a11外全為0，故只需考慮j1=1，第2行元素中只有a21,a22不為0，現(xiàn)已取j=1，故必須取j=2，同理必須取j3=3，j4=4，這就是說行列式展開式中不為0的項(xiàng)只可能是，而列標(biāo)排列1234的逆序數(shù)為0，即此項(xiàng)符號(hào)為正，因此行列式.行列式中，從左上角到右下角的直線稱為主對(duì)角線.主對(duì)角線以上的元素全為零(即i<j時(shí)元素aij=0)的行列式稱為下三角行列式，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積.主對(duì)角線以下的元素全為零(即i

8、>j時(shí)元素aij=0)的行列式稱為上三角行列式，同理可證它等于主對(duì)角線上各元素的乘積.行列式中，除主對(duì)角線上的元素以外，其他元素全為零(即ij時(shí)元素aij=0)的行列式稱為對(duì)角行列式，由上面可知它等于對(duì)主角線上元素的乘積，即.例3 證明.上面的行列式中，未寫出的元素都是0.證 由于行列式的值為：，只需對(duì)可能不為0的乘積求和，考慮第n行元素，知jn=1，再考慮第n-1行元素an-1,jn-1，知jn-1=1或jn-1=2，由于jn=1知jn-1=2，如此類推j2=n-1,j1=n,排列j1j2jn只能是排列n(n-1)21,它的逆序數(shù)為J=(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1)2,所

9、以行列式的值為.由此可見.例4 設(shè)，證明D=D1D2.證 記 ，其中dij=aij(i,j=1,2,，k)；dk+i,k+j=bij(i,j=1,2,，n)；di,k+j=0(i=1,2,，k; j=1,2,，n).考察D的一般項(xiàng)，R是排列的逆序數(shù)，由于 (i=1,2,，k; j=1，2，n)，因此均不可大于k值，否則該項(xiàng)為0，故只能在1，2，k中選取，從而只能在k+1,k+2,k+n中選取，于是D中不為0的項(xiàng)可以記作，這里,，R也就是排列的逆序數(shù)，以P，Q分別表示排列與的逆序數(shù)，則有R=P+Q，于是.§3對(duì)換定義5 排列中，將某兩個(gè)數(shù)對(duì)調(diào)，其余的數(shù)不動(dòng)，這種對(duì)排列的變換叫做對(duì)換，將

10、相鄰兩數(shù)對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換(鄰換).定理1 一個(gè)排列中的任意兩數(shù)對(duì)換，排列改變奇偶性.證 先證相鄰對(duì)換的情形.設(shè)排列為，對(duì)換與排列變?yōu)椋@然這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過對(duì)換并不改變，僅與兩數(shù)的逆序數(shù)改變：當(dāng)時(shí)，經(jīng)對(duì)換后，是逆序，新排列的逆序數(shù)增加1，當(dāng)時(shí)，不是逆序，新排列的逆序數(shù)減少1，所以排列與排列的逆序數(shù)相差1，奇偶性改變.下證一般對(duì)換的情形.設(shè)排列為，對(duì)換與,把往后連續(xù)作次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)?，再把往前連續(xù)作次相鄰對(duì)換，排列變?yōu)?，從而?shí)現(xiàn)了與的對(duì)換，它是經(jīng)次相鄰對(duì)換而成，排列也就改變了次奇偶性，所以兩個(gè)排列的奇偶性相反.由于數(shù)的乘法是可交換的，所以行列式各項(xiàng)中的元素的順序也可任意交換，例如四階行列式

11、中乘積可以寫成，一般n階行列式中乘積可以寫成，其中與都是n級(jí)排列.定理2 n階行列式的一般項(xiàng)可以寫成，其中S與T分別是n級(jí)排列與的逆序數(shù).證 該項(xiàng)中任意兩元素互換，行下標(biāo)與列下標(biāo)同時(shí)對(duì)換，由定理1知n級(jí)排列與同時(shí)改變奇偶性，于是S+T的奇偶性不變，如果將排列對(duì)換為自然順序12n(逆序數(shù)為0)，排列也相應(yīng)對(duì)換為 (逆序數(shù)為J)，則有.由定理2可知，行列式也可定義為. （1.5）若將行列式中各項(xiàng)的列下標(biāo)按自然順序排列，而相應(yīng)行下標(biāo)排列為，于是行列式又可定義為. （1.6）§4行列式的性質(zhì)記，行列式D稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證 記，即(i,j=1,2,

12、，n)，按行列式定義.性質(zhì)1表明：行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，即行列式中行具有的性質(zhì)，其列也具有.性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)，行列式反號(hào).證，交換第p，q兩列得行列式.將D與D1按(1-6)式計(jì)算，對(duì)于D中任一項(xiàng)其中I為排列的逆序數(shù)，在D1中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng)（當(dāng)jp,q時(shí)，第j列元素取，第p列元素取，第q列元素取)，其中 為排列的逆序數(shù)，而與只經(jīng)過一次對(duì)換，由定理1知，與相差一個(gè)符號(hào)，又因,所以對(duì)于D中任一項(xiàng)，D1中必定有一項(xiàng)與它的符號(hào)相反而絕對(duì)值相等，又D與D的項(xiàng)數(shù)相同，所以D=-D1.交換行列式i，j兩行記作r(i，j)，交換行列式i，j兩列，記作c(i，j).推論 若行列式有兩行(列)

13、元素對(duì)應(yīng)相等，則行列式為零.性質(zhì)3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.第i行(列)乘以數(shù)k，記作r(i(k)c(i(k).推論 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符號(hào)的外面.性質(zhì)4 行列式中若有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零.性質(zhì)5 若行列式的某行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，例如，則行列式D等于下列兩個(gè)行列式之和：.性質(zhì)6 把行列式某一行(列)的元素乘以數(shù)k，加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變.例如，以數(shù)k乘以第i行（列）上的元素加到第j行(列)對(duì)應(yīng)元素上,記作，有性質(zhì)3性質(zhì)6的證明請(qǐng)讀者自證. 例5 計(jì)算四階行列式.解

14、.例6 計(jì)算行列式.解.§5行列式的計(jì)算定義6 在行列式中劃去元素aij所在的第i行與第j列，剩下的(n-1)2個(gè)元素按照原來的排法構(gòu)成一個(gè)n-1階的行列式稱為元素的余子式，記為.記，叫做元素的代數(shù)余子式.由定義可知，與行列式中第i行、第j列的元素?zé)o關(guān).引理 在n階行列式D，如果第行元素除外全部為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即.證 先證的情形.即 .對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換D的行與列的位置，即可得到結(jié)論.定理3 行列式D等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即（i=，n）或（j=，n）.證 .我們稱定理3為行列式的按行（列）展開處理，也稱之為拉普拉

15、斯（Laplace）展示定理.例7 計(jì)算行列式.解 由定理3知.例8 計(jì)算行列式.解 例9 計(jì)算行列式(加邊法).解 當(dāng)x=0或y=0時(shí)，顯然D=0，現(xiàn)假設(shè)x0且y0，由引理知.例10 證明范德蒙（Vander monde）行列式,其中連乘積是滿足條件1j<in的所有因子的乘積.證 用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=2時(shí)，有,結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階范德蒙行列式成立，下面證明對(duì)n階范德蒙行列式結(jié)論也成立.在Vn中，從第n行起，依次將前一行乘-x1加到后一行，得按第1列展開，并分別提取公因子，得上式右端的行列式是n-1階范德蒙行列式，根據(jù)歸納假設(shè)得,所以.推論 行列式D中任一行(列)的元素與另一

16、行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 (ij)或 (ij).證.當(dāng)ij，因?yàn)榕c行列式中第j行的元素?zé)o關(guān)，將上式中的換成（k=1，2，n)，有.同理可證 (ij).綜上所述，即得代數(shù)余子式的重要性質(zhì)（行列式按行(列)展開公式）：或例11 計(jì)算n階行列式(遞推公式法).解 由行列式可知，.將按第1列展開，即.這個(gè)式子對(duì)任何n(n2)都成立，故有例12 求方程的根，其中.解 由觀察可知是一個(gè)根，因?yàn)闀r(shí)，行列式第1、2列成比例，所以.要求其他根需展開這個(gè)行列式，將第1列乘-1加到2，3，4列；再將變換后的第2列加到第4列，結(jié)合例4，即得 .所以方程有兩個(gè)根：0與-1.§6克萊姆法

17、則由二元、三元線性方程組的克萊姆法則，我們有n元線性方程組的克萊姆法則.克萊姆法則 如果線性方程組 （1-7）的系數(shù)行列式不等于零，即，那么，方程組(1.7)有惟一解 （1-8）其中（j =，n)是把系數(shù)行列式D中的第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即.證明（1） 把方程組(1-7)簡(jiǎn)寫為.把(1-8)式代入第個(gè)方程，左端為.因?yàn)椋?.這相當(dāng)于把(1-8)式代入方程組(1-7)的每個(gè)方程使它們同時(shí)變成恒等式，因而(1-8)式確為方程組(1-7)的解.（2） 用中第列元素的代數(shù)余子式依次乘方程組(1-7)的個(gè)方程，再把它們相加，得.于是有 .當(dāng)D0時(shí)，得解一定滿足(1-

18、8)式.綜上所述方程組(1-7)有惟一解.例13 解線性方程組解,.于是方程組有解.克萊姆法則亦可敘述為定理4 如果線性方程組(1-7)的系數(shù)行列式D0，則方程組(1-7)一定有解，且解是惟一的.它的逆否命題如下定理4如果線性方程組(1-7)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零(D=0).特別地，當(dāng)方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)全部為零時(shí)，方程組(1-7)稱為齊次線性方程組 （1-9）它總有解，稱為齊次線性方程組(1-9)的零解.若一組不全為零的數(shù)，它是齊次線性方程組(1-9)的解，則稱它為齊次線性方程組(1.9)的非零解.由定理4知定理5 如果齊次線性方程組(1-9)的系數(shù)行列式不等于零，則齊次

19、線性方程組(1-9)沒有非零解.推論 如果齊次線性方程組(1-9)有非零解，則齊次線性方程組(1-9)的系數(shù)行列式必為零.在第四章我們會(huì)進(jìn)一步證明，如果齊次線性方程組(1-9)的系數(shù)行列式為零，則齊次線性方程組(1-9)有非零解.例14 問為何值時(shí)，齊次線性方程組 （1-10）有非零解?解 方程組的系數(shù)行列式為.若方程組(1.10)有非零解，則它的系數(shù)行列式,從而有=2,=5,=8,容易驗(yàn)證，當(dāng)=2，=5或=8時(shí)，齊次線性方程組(1-10)有非零解.例15 求4個(gè)平面相交于一點(diǎn)的充分必要條件.解 我們把平面方程寫成,其中，于是4個(gè)平面交于一點(diǎn)，即的齊次線性方程組有惟一的一組非零解（,1），根據(jù)

20、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于0，即4個(gè)平面相交于一點(diǎn)的充分必要條件為.本章小結(jié)與補(bǔ)充行列式在教學(xué)中有著重要的作用，在本書的后續(xù)部分是一個(gè)有力的工具.為了引進(jìn)n階行列式的定義，揭示行列式中各項(xiàng)符號(hào)的規(guī)律，我們介紹了全排列及逆序數(shù)的概念。由于在確定行列式中項(xiàng)的符號(hào)時(shí)，需要計(jì)算排列的逆序數(shù)，要求讀者能熟練地掌握逆序數(shù)的計(jì)算方法。一般來說，計(jì)算排列逆序數(shù)的方法有兩種，第一種方法：分別計(jì)算出排在1，2，n-1,n前面比它大的數(shù)碼之和，即分別求出1，2，n-1,n這n個(gè)元素的逆序數(shù)，則這n個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為這個(gè)n級(jí)排列的逆序數(shù).第二種方法：分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的

21、數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即分別求出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，則每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為這個(gè)排列的逆序數(shù).行列式的計(jì)算是行列式理論中的一個(gè)重要問題.關(guān)于n階行列式的計(jì)算，除了應(yīng)用定義計(jì)算外，還有以下幾種常見的方法：1.化三角形法：我們知道，上三角形行列式或下三角形行列式的值等于它的主對(duì)角線上各元素的乘積.所謂化三角形法，也就是利用行列式的性質(zhì)將原行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式來進(jìn)行計(jì)算.2.降階法：所謂降階法，也就是利用行列式的按行（列）展開處理（第一章§5定理3）將行列式展開降階.通常先利用行列式的性質(zhì)把原行列式的某行（列）的元素盡可能多地變?yōu)榱悖乖撔校校┎粸榱愕脑刂挥幸粋€(gè)或兩個(gè)，然后再按該行（列）展開降階后進(jìn)行計(jì)算.3.加邊法：所謂加邊法，也就是把行列式添加一行和一列，使升階后的行列式的值保持不變.一般來講，如果一個(gè)n階行列式除主對(duì)角線上的元素外，每一行（列）的元素分別是n-1個(gè)元素的倍元，即為 則可添加第1行列的元素依次為1第一列（行）的元素依次為100將轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算（如第一章§5 例9）.計(jì)算行列式的方法比較靈活，除了上面介紹的幾種方法外，還可以利用遞推法、數(shù)學(xué)歸納法以及范德蒙行列式等