1、精選優質文檔-傾情為你奉上不定式方程 一：不定方程知識精講一不定方程的定義1一次不定方程：含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程2多元不定方程：含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一二不定方程的解法及步驟1常規方法：觀察法、試驗法、枚舉法2多元不定方程解法：根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可3涉及知識點：列方程、數的整除、大小比較三解不定方程的步驟1列方程2消元3寫出表達式4確定范圍5確定特征6確定答案四技巧總結1寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未

2、知數表示特征明顯的未知數，同時考慮用范圍小的未知數表示范圍大的未知數2消元技巧：消掉范圍大的未知數三點剖析重難點：不定方程的解法以及應用題模精講題模一 不定方程的計算例1.1.1、判斷下列不定方程是否有正整數解，若有，求出所有正整數解（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）無整數解解析：（1），所以，即得，（2），所以，（3），所以，（4），所以無整數解 例1.1.2、已知和分別表示兩個自然數，并且，則+=_答案：5解析：依題意得11+5=37，易知其自然數解為=2，=3所以+=5 例1.1.3、有三個分子相同的最簡假分數，化成帶分數后為已知a

3、，b，c都小于10，a，b，c依次為_，_， _答案：7，3，2解析：由題意有解這個不定方程，得 例1.1.4、已知代表兩位整數，求方程的解題模二 不定方程的應用例1.2.1、有150個乒乓球分裝在大、小兩種盒子里，大盒每盒裝12個，小盒每盒裝7個問：需要大盒子_個、小盒子_個，才能恰好把這些球裝完答案：大盒9個，小盒6個或者大盒2個，小盒18個解析：設需要x個大盒子，y個小盒子，依題意得：，解得，所以需要大盒9個，小盒6個或者大盒2個，小盒18個 例1.2.2、某單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個孩子參加男職工每人種13棵樹，女

4、職工每人種10棵樹，每個孩子種6棵樹，他們一共種了216棵樹請問：其中有_名男職工答案：12名解析：設有x名男職工，y名女職工，則孩子有名，依題意得：，整理得：，化簡得，解得，其中只有時才是整數，所以有12名男職工 例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四種貨物，若購買甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若購買甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若購買甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元現在購買甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：設購買甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依題意得：注意到題目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分別是

5、多少，想辦法整體求出觀察發現要直接湊出或它的倍數并不容易，一個比較明顯的是可以求出，可以用來調整x和z的系數接著可以讓y和w的系數變的一樣，得，得，所以故現在購買甲、乙、丙、丁各一件共需81元（當然本題可以直接看出得到） 例1.2.4、將一根長為380厘米的合金鋁管截成若干根長為36厘米和24厘米兩種型號的短管，加工損耗忽略不計問：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：設已經截出了根長36厘米的管子和根長24厘米的管子，那么被截出的管子一共長厘米由，得：一定是12的倍數而380不是12的倍數，所以是沒有自然數解的！管子不可能剛好被用盡，那么最少會剩下多少厘米呢？由于一定是1

6、2的倍數，小于380且能被12整除的最大自然數是372，而的自然數解是存在的，如，也就是截出1根長36厘米的管子和14根長24厘米的管子，能夠使得截出的管子總長度達到最大值372厘米所以剩余部分最少是厘米 例1.2.5、有紙幣60張，其中1分、1角、1元和10元各有若干張請你判斷：這些紙幣的總面值能否恰好是100元？答案：不能解析：設1分的有x張，1角的有y張，1元的有z張，10元的有w張，依題意得，得，很明顯等號左邊是9的倍數，而等號右邊不是9的倍數，所以無自然數解，故這些紙幣的總面值不能恰好是100元 例1.2.6、現有一架天平和很多個13克和17克的砝碼，用這些砝碼，

7、不能稱出的最大整數克重量是多少？（砝碼只能放在天平的一邊）答案：191解析：設用了x個13克的砝碼，y個17克的砝碼，要稱的重量為c克，依題意，就是求使無自然數解的c的最大值利用拓展14解法二中提到的結論，c最大取時，無自然數解，所以不能稱出的最大整數克重量是191克 例1.2.7、現有1.7升和4升的兩個空桶和一個大桶里的100升汽油，用這兩個空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依題意，模擬的倒幾次后會發現，本題和不定方程：和的解有關系先解出這兩個不定方程：的解為：的解為：其中，這個解明顯要小，下面解釋一下它的含義先看它對應的過程：1、倒滿1.7升；2、1.7升

8、倒入4升；3、倒滿1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒滿1.7升；6、1.7升倒入4升中，還剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒滿1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒滿1.7升；12、1.7升倒入4升，還剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒滿1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒滿1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒滿1.7升；20、倒入4升，還剩1.6升21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒滿1.7升；24、倒入4升；25、倒滿1.7升；26、倒入4升，還剩1升可以看出，每次從大桶中倒入兩個小桶的都

9、是1.7升，每次從兩個小桶中倒回大桶的都是4升，所以兩個小桶中量出的1升可以看做是，倒進的1.7x減去倒出的4y的差那么就得到了上面的不定方程另一個不定方程同理也很容易想明白 例1.2.8、某校開學時，七年級新生人數在5001000范圍內，男、女生的比例為到八年級時，由于收40名轉學生，男、女生的比例變為請問，該年級入學時，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：設開始時共人，后來變為人，則，易知a為8的倍數，b為5的倍數，故可設，方程化簡為，且解得，入學時總人數為人，男生320人，女生280人 例1.2.9、在新年聯歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽如圖，飛

10、鏢的靶子分為三塊區域，分別對應17分、11分和4分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應的分數試問：如果比賽規定恰好投中100分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中幾個飛鏢？如果規定恰好投中120分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中幾個飛鏢？隨堂練習隨練1.1、下列方程的自然數解：（1），則；（2），則；（3），則；（4），則答案：（1）（2）（3）無解（4）解析：枚舉法 隨練1.2、小高有若干張8分的郵票，墨莫有若干張15分的郵票，兩人的郵票總面值是99分，那么小高的8分郵票有_張答案：3張解析：設小高有8分郵票x張，15分郵票y張，依題意得：，解得，所以小高有3張8分郵票

11、 隨練1.3、將426個乒乓球裝在三種盒子里，大盒每盒裝25個，中盒每盒裝20個，小盒每盒裝16個現共裝了24盒，則用了_個大盒隨練1.4、新發行的一套珍貴的紀念郵票共三種不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的郵票售價5元，面值40分的郵票售價8元，面值50分的郵票售價9元小明花了156元買回了總面值為8.3元的郵票，那么三種面值的郵票分別買了_張答案：20分的郵票3張，40分的郵票3張，50分的郵票13張解析：設買了x張20分的郵票，y張40分的郵票，z張50分的郵票，依題意得：，消y得，解得，同時還要滿足y為整數，經驗證當時，符合題意，所以買了20分的郵票3張，40

12、分的郵票3張，50分的郵票13張 課后作業作業1、方程有_組自然數解答案：11解析：易知y可為0至的所有自然數，即方程有11組自然數解 作業2、求的所有整數解答案：  為任意整數）解析：先找出一組基本的解，然后寫出所有解即可 作業3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整數解答案：解析：先確定z的值，把三元一次不定方程轉化為二元一次不定方程，再進行計算正整數解如下：  作業4、設A和B都是自然數，并且滿足那么_答案：3解析：，又因為A、B為自然數得， 作業5、有兩種不同規格的油桶若干個，大油桶能裝8千克油，小油桶能

13、裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶問：大油桶_個，小油桶_個答案：大油桶3個，小油桶4個解析：設有x個大油桶，y個小郵桶，依題意得，解得，所以有3個大油桶，4個小郵桶 作業6、新學期開始了，幾個老師帶著一些學生去搬全班的100本教科書已知老師和學生共14人，每名老師能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完問：搬書的老師_名、男生_名、女生_名答案：老師3名，男生2名，女生8名解析：設搬書的老師有x名，男生有y名，女生有z名，依題意得：，消去z得，解得，所以，所以搬書的老師有3名，男生2名，女生8名 作業7、小李去文具店買圓珠筆、鉛筆和鋼筆，每種筆都只

14、能整盒買，不能單買鋼筆4支一盒，每盒5元；圓珠筆6支一盒，每盒6元；鉛筆10支一盒，每盒7元小李總共花了97元，買了90支筆請問：三種筆分別買了多少盒？答案：圓珠筆3盒，鉛筆2盒，鋼筆13盒解析：設圓珠筆買了x盒，鉛筆買了y盒，鋼筆買了z盒，依題意得：，消去x得，解得，將y、z代入原方程組，發現只有時，x有自然數解所以買了圓珠筆3盒，鉛筆2盒，鋼筆13盒 作業8、卡莉婭到商店買糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每種糖都買了請問：卡莉婭共買了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨設巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分別有包、包、包和包，則把系數都化成整數，得：由于我們只關心奶糖的數量，我們將未知數分為一組，其余未知數分為另一組：也就是令，則它的自然數解只有，所以卡莉婭共買了12包奶糖 作業9、雨軒圖書館內有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多