1、數列求和數列求和 幾種重要的求和思想方法幾種重要的求和思想方法： 1.1.倒序相加法倒序相加法. . 2.2.錯位相減法錯位相減法. . 3 . 3 . 法：法：. . 4.4.裂項相消法：裂項相消法：拆項倒序相加法倒序相加法: 如果一個數列如果一個數列aan n ，與首末兩項等與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和（都距的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），相等，為定值），可采用把正著寫和可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法為倒序相加法. . 類型類型a1 1+a

2、n n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=典例典例. . 已知已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )+ +l lg gy y , ,( (x x 0 0, ,y y 0 0) )求求S .S . n nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+ +l

3、 lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )2.2.倒序相加法倒序相加法S S = = n n( (n n + +1 1) )2.2.錯位相減錯位相減典例典例3:3:1+23+332+433+n3n-1=？當當aan n 是等差數列，是等差數列，bbn n 是等比數列，求是等比數列，求數列數列aan nb bn n 的前的前n n

4、項和適用項和適用錯位相減錯位相減通項通項錯位相減法：錯位相減法： 如果一個數列的各項是由一如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可采應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法用錯位相減法. .既既aan nb bn n 型型等差等差等比等比4 4、裂項相消、裂項相消例典典4 4：1 11 11 1+ + + + + += = ? ?1 1 2 22 21 1n n( (n n + + 1 1) )3 3變項為1 1n n ( (式式 1 1 ： 通通改改n n + + 2 2 ) )變項為2 22 22 2 n n4 42 2 ： 通通改

5、改n n式式- - 1 11 11 11 11 1= =+ + （- -) )2 24 42 2n n- -1 12 2n n+ +1 11 11 11 1= =( (- -) )2 2n nn n + + 2 2分裂通項法：分裂通項法： 把數列的通項拆成兩項之差，即數把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前在求和時一些正負項相互抵消，于是前n n項的和變成首尾若干少數項之和，這項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為分裂通項法一求和方法稱為分裂通項法. .（見到見到分式型分式型的要往這種方法聯想

6、的要往這種方法聯想） 典型典型6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？并項求和并項求和交錯數列，并項求和交錯數列，并項求和既既（-1）n bn型型練習練習1010：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21總的方向：總的方向：1.1.轉化為等差

7、或等比數列的求和轉化為等差或等比數列的求和2.2.轉化為能消項的轉化為能消項的思考方式：求和思考方式：求和看通項（怎樣的看通項（怎樣的類型類型）若無通項，則須若無通項，則須先求出通項先求出通項方法及題型：方法及題型：1.1.等差、等比數列用公式法等差、等比數列用公式法2.2.倒序相加法倒序相加法5.5.拆項分組求和法拆項分組求和法4.4.裂項相消法裂項相消法3.3.錯位相減法錯位相減法6.6.并項求和法并項求和法深化數列中的數學思想方法：深化數列中的數學思想方法： 熱點題型熱點題型1 1：遞歸數列與極限：遞歸數列與極限. .設數列設數列an的首項的首項a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，

8、3，（I I）求）求a a2 2，a a3 3；（；（IIII）判斷數列）判斷數列 b bn n 是否為等比數列，是否為等比數列，并證明你的結論；并證明你的結論；（IIIIII）求）求 4111214nnnanaan為偶數為奇數2114nnba123lim()nnbbbb（I）a2a1+ = a+ ，a3= a2= a+ 4141212181熱點題型熱點題型1 1：遞歸數列與極限：遞歸數列與極限. . 設數列設數列an的首項的首項a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判斷數列）判斷數列bn是否為等比數列，并證明你的結論；是否為等比數列，并證明你的結論；（

9、III）求）求 4111214nnnanaan為偶數為奇數2114nnba123lim()nnbbbb 因為因為bn+1a2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*) 所以所以bn是首項為是首項為a , 公比為公比為 的等比數列的等比數列 4121412141214121熱點題型熱點題型1 1：遞歸數列與極限：遞歸數列與極限. . 設數列設數列an的首項的首項a1=a ，且，且 , 記記 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判斷數列）判斷數列bn是否為等比數列，并證明你的結論；是否為等比數列，并證明你的結論；（III）求）求 4111214nnnanaan為偶數為

10、奇數2114nnba123lim()nnbbbb11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba熱點題型熱點題型2 2：遞歸數列與轉化的思想方法：遞歸數列與轉化的思想方法. . 數列數列an滿足滿足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。記。記(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求數列求數列bn的通項公式及數列的通項公式及數列anbn的前的前n項和項和Sn。 211nnab1111,2;112ab故22718,718382ab故3344311320,4;,.31420342abab故故熱點題型熱點題型2 2：遞歸數列

11、與轉化的思想方法：遞歸數列與轉化的思想方法. . 數列數列an滿足滿足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。記。記(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求數列求數列bn的通項公式及數列的通項公式及數列anbn的前的前n項和項和Sn。 211nnab11111,816250,122nnnnnnnnbaaaaaba得代入遞推關系11146340,2,3nnnnnnbbbbbb即1144422(),0,3333nnbbb42,233nbq是首項為公比的等比數列41142 ,2(1).3333nnnnbbn即112nnna bb121()21(1 2

12、)531 23nnnSbbbnn1(251)3nn熱點題型熱點題型3 3：遞歸數列與數學歸納法：遞歸數列與數學歸納法. . 已知數列已知數列an的各項都是正數，且滿足：的各項都是正數，且滿足：a0 1，(n N)（1）證明）證明anan+12(n N)（2）求數列）求數列an的通項公式的通項公式an 11(4).2nnnaaa用數學歸納法證明：用數學歸納法證明：1當當n=1時，時， ； ,23)4(21, 10010aaaa2010aa 2假設假設n=k時時 有成立，有成立， 21kkaa令令 )4(21)(xxxff(x)在在0，2上單調遞增上單調遞增 1()()(2),kkf af af11111(4)(4)2 (42),222kkkkaaaa 也即當也即當n=k+1時時 成立，成立， 21kkaa所以對一切所以對一切 2,1kkaaNn有熱點題型熱點題型3 3：遞歸數列與數學歸納法：遞歸數列與數學歸納法. .