1、第第 二二 章章 穩(wěn)穩(wěn) 態(tài)態(tài) 導(dǎo)導(dǎo) 熱熱一一 通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱二二 通過復(fù)合平壁的導(dǎo)熱通過復(fù)合平壁的導(dǎo)熱三三 通過圓筒壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱四四 通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱五五 通過接觸面的導(dǎo)熱通過接觸面的導(dǎo)熱六六 二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題第第 二二 章章 穩(wěn)穩(wěn) 態(tài)態(tài) 導(dǎo)導(dǎo) 熱熱 對于穩(wěn)態(tài)，則有： t/=0，導(dǎo)熱微分方程式可寫成： 2t+qv/=0 若無內(nèi)熱源，上式簡化為：02222222ztytxtt 為簡化計(jì)算，工程中很多傳熱過程均可看作是一個一維的過程，本章主要講述常見的幾種一維導(dǎo)熱問題。一一 通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱一、已知第一類邊界條件：一、已知第一類邊界

2、條件： 若平壁寬度、高度均大于10，該壁則為無限大平壁。如圖，此時(shí)導(dǎo)熱問題完整的數(shù)學(xué)描述為： d2t/d2x=0 t|s=tw t|x=0=tw1 t|x=tw2 對 d2t/d2x=0 一次積分得：dt/dx=C1 二次積分后得：t=C1x+C2 將邊界條件代入上式求C1、C2有： tw1=C2 C1=-（tw1-tw2）/ tw2=C1+C2 C2=tw2 于是可得溫度分布：txxtxtw1tw2qxttwwttw211/tw2tw1q通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱一、已知第一類邊界條件：一、已知第一類邊界條件： 據(jù)傅里葉定律即可求得導(dǎo)熱熱流密度： q = - dt/dx = （tw1-tw

3、2）/ 或?qū)懗蔁嶙栊问剑簈=（tw1-tw2）/（/）=（tw1-tw2）/R 若隨t變化，如遵循=0（1+bt）規(guī)律時(shí)，則q應(yīng)如下求解： 導(dǎo)熱微分方程式為： 邊界條件為： x=0 t=tw1 x= t=tw2 解微分方程得此時(shí)物體內(nèi)部溫度場： 此時(shí)平壁內(nèi)溫度分布為二次曲線關(guān)系。且： 當(dāng) b0時(shí)，q變q常；當(dāng) b0時(shí)，q變0b0b=0 xttttwwttwwbbwb21212211212120121wwbttttqww/21twwttq通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱一、已知第一類邊界條件：一、已知第一類邊界條件： 對如下圖所示的多層平壁，對每個壁而言，均有： 將上式合并整理后得： 對于n層平壁，

4、則有： n層平壁中第i層與第i+1層之間接觸面的溫度tw，i+1為： tw,i+1=tw1-q（R,1+ R,2+ R,i）qtw1tw2tw3tw4124123211/1 ,1121wwRttttqww321/2,22132wwRttttqww431/3,3343wwRttttqww31,413,2,1 ,41iiwwwwRttRRRttqniinwwRttq1,11通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱二、已知第三類邊界條件：二、已知第三類邊界條件： 已知：x=0處 tf1、h1；x=處 tf2、h2；、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源。 此具體導(dǎo)熱問題完整的數(shù)學(xué)描述為： d2t/d2x=0 -dt/dx|x=0=h

5、1（tf1-t|x=0） -dt/dx|x= =h2（t|x= - tf2） 引入未知中間變量：tw1=t|x=0 tw2=t|x= 據(jù)傅里葉定律及前面結(jié)果，上三式可寫為：q|x（0,）=（tw1-tw2）/ q|x=0=h1（tf1-tw1） q|x= =h2（tw2-tf2） 對于穩(wěn)態(tài)，整理上列各式得：txtw1tw2/tf2tf1qtf1tf2h1h2tw1tw21/h11/h2通過平壁的導(dǎo)熱通過平壁的導(dǎo)熱二、已知第三類邊界條件：二、已知第三類邊界條件： 也可寫作：q=k（tf1-tf2） （請牢記K的物理意義！） 對于冷熱流體通過多層平壁的導(dǎo)熱，可寫作： 若已知傳熱面積A，則熱流量為：

6、211121hhffttq2111121hniiihffttqAhniAiiAhfftt2111121二二 通過復(fù)合平壁的導(dǎo)熱通過復(fù)合平壁的導(dǎo)熱1.當(dāng)組成復(fù)合平壁的各種材科的導(dǎo)熱系數(shù)相差不大時(shí)，為使問題簡化，可近似地當(dāng)作一維導(dǎo)熱問題處理。 q=t/R 式中：t：復(fù)合平壁兩側(cè)表面的總溫度差；R ：復(fù)合平壁的總導(dǎo)熱熱阻。據(jù)不同組合情況，按電工學(xué)串并聯(lián)電路的方法求解。2.當(dāng)組成復(fù)合平壁的各種材科的導(dǎo)熱系數(shù)相差較大時(shí)，工程先仍按上述方法求出總熱阻，然后引入修正系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，即：R實(shí)=R ABCDEFt1t2RARBRCRERDRF三三 通過圓筒壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱一、已知第一類邊界條件一、已知

7、第一類邊界條件 當(dāng)管長遠(yuǎn)大于壁厚，可忽略沿長度方向上溫度的改變，又因圓筒壁的溫度場軸對稱，故為一維穩(wěn)態(tài)溫度場，此時(shí)有： t|s=tw r=r1 t=tw1 r=r2 t=tw2 微分方程兩次積分后：t=c1lnr+c2 將邊界條件代入上式后即得溫度分布為： 將導(dǎo)熱微分方程一次積分后有： dt/dr=c1/r 從上式知溫度沿半徑r的變化率與r成反比，溫度分布曲線為一條下凹的曲線。另因總不變，而qr= /Ar，故在不同的Ar圓筒面上有不同的熱流密度值。0:0122drdtdrddrdtrdrtdror121121lnln211lnln211:ddddrrrrwwwwwwttttortttt通過圓筒

8、壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱一、已知第一類邊界條件一、已知第一類邊界條件 據(jù)傳里葉定律并整理后可得熱流量的表達(dá)式： 式中的分母即為長度為l的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻。 單位為：/W 實(shí)際工程多采用單位管長的熱流量單位管長的熱流量q ql l來計(jì)算熱流量： 式中分母為單位長度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻Rl，單位為m/W 多層圓筒壁與多層平壁計(jì)算相類似，導(dǎo)熱量可用溫差和總熱阻來計(jì)算：122121lnddlwwttmWqddwwttlQl/122121lnmwqorqniilnwwnididinwwRttlttl/1,111112111ln通過圓筒壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱二、已知第三類邊界條件二、已知第三類邊界條件 如圖

9、，此時(shí)的數(shù)學(xué)描述為： 同樣引入未知中間變量tw1、tw2并引入前 述結(jié)果，即可得： 此時(shí)單位管長的熱阻： 當(dāng)冷熱流體通過多層圓筒壁時(shí)的傳熱量為：0:0122drdtdrddrdtrdrtdror11|22|1111rrfrrdrdtttrhr222222|22|frrrrdrdtttrhr21ln221122111121ffllttlttkqorqhdddhdff2212111211lnhdddhdlR221112111121lnhdniididihdffttlq通過圓筒壁的導(dǎo)熱通過圓筒壁的導(dǎo)熱三、臨界熱絕緣直徑三、臨界熱絕緣直徑 如圖：已知熱力管道內(nèi)、外直徑為d1、d2，外包導(dǎo)熱系數(shù)為ins

10、的絕熱保溫材料，外徑為dx，且己知1、h1、h2，此時(shí)總熱阻為： 上式知：dx絕緣層導(dǎo)熱阻 但： dx絕緣層外對流換熱熱阻 于是dRl存在極值，令： 當(dāng)dx時(shí)，則據(jù)上式dx存在某一數(shù)值dc 使Rl有極小值，此值dc即為臨界熱絕緣直徑。 dc=2 ins/ h2 當(dāng)d2dc，若絕熱層外徑dx有：d2dx，且值較大，即 可忽略溫度沿方向和長度的變化，認(rèn)為：t=f（x）； 肋片端面，即x=H處絕熱，即有：H=0。2.2.已知：已知：肋高H，肋寬L，肋厚，肋片材料的導(dǎo)熱系數(shù)，流體溫度為tf，肋與周圍流體的復(fù)合換熱系數(shù)為h，肋片斷面周長為P=2（ L+ ），斷面面積為：AL=L；肋基溫度t0且大于tf

11、。3.3.表面對流換熱作負(fù)的內(nèi)熱源處理。表面對流換熱作負(fù)的內(nèi)熱源處理。使此問題變成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱dx dxHLL00H0tfd=f(x)h1通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱（此導(dǎo)熱微分方程亦可由熱力學(xué)第一定律導(dǎo)出）4.4.求解：求解：1.1.確定負(fù)內(nèi)熱源強(qiáng)度：確定負(fù)內(nèi)熱源強(qiáng)度：2.2.據(jù)一維穩(wěn)態(tài)具內(nèi)熱源的微分方程據(jù)一維穩(wěn)態(tài)具內(nèi)熱源的微分方程 d2t/d2x+qv/=0 有：有：3.3.邊界條件：邊界條件： a.t|x=0=t0 b.dt/dx|x=H=0 4.4.引入過余溫度引入過余溫度 ：令：=t-tf 0=t0-t

12、f 代入則變成： H=tH-tfLfLfAtthPdxAPdxtthdVdq有：令：2AhPfAhPdxtdm0tt221ttmf2xdtd22通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱4.4.求解：求解：4.4.引入過余溫度引入過余溫度 ：式變?yōu)?5.5.解微分方程得溫度場解微分方程得溫度場 式為一個二階線性齊次常微分方程，它的通解為： =C1emx+C2e-mx 將邊界條件、代入即得肋片沿H方向的溫度分布： 或?qū)懽鳎?式中： 均是雙曲線余弦函數(shù)。說明溫度場呈雙曲線余弦關(guān)系變化。2xddm22mHexpmHexpHxmexpHxmexp0eeee0:ormHmHHx

13、mHxmmHchHxmch02eeHXmHXmHxmch2eemHmHmHch通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱4.4.求解：求解：6.6.肋端過余溫度肋端過余溫度 l l ：當(dāng)x=H時(shí)，即得肋端過余溫度的表達(dá)式：77肋片上、下兩表面的總對流散熱量：肋片上、下兩表面的總對流散熱量： 對求導(dǎo)且代入x=0即有： d/dx|x=0=-m0th（mH） 式中： 為雙曲線正切函數(shù)。 于是有： 即：mHch1000|xdxdLxAmHmHmHmHeeeemHthmHthmhPmHthmA|A|00L0 xdxdL0 xmHthmhPmHthmA00L通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁

14、的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱5.5.對前面兩個假設(shè)的討論：對前面兩個假設(shè)的討論：前述結(jié)果是在H和肋端絕熱的情況下得到的，故應(yīng)用于簿而高的肋片上，計(jì)算結(jié)果顯然是足夠準(zhǔn)確的。對于厚而短等必須考慮肋端散熱的情形，可用一簡便而又較準(zhǔn)確的方法：以假想的肋高H+/2替代實(shí)際肋高H，代入上述式中計(jì)算。此時(shí)為考慮肋端的實(shí)際散熱而將端面面積鋪展到側(cè)面上。引入無因次參數(shù)：畢渥準(zhǔn)則數(shù)畢渥準(zhǔn)則數(shù)Bi=hBi=h / / =（/）/（1/h）它反映了肋片沿厚度方向上的導(dǎo)熱熱阻與周圍對熱換熱熱阻的比值。此時(shí)當(dāng)Bi0.05，即20RRh時(shí)，若忽略導(dǎo)熱熱阻所引起的計(jì)算誤差不超過1%。否則，上述計(jì)算式不再適用

15、，要較準(zhǔn)確地計(jì)算可用數(shù)值方法。通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱求：求：氣罐中氣體的真實(shí)溫度tf及測量誤差（tf-tl）各是多少？解：解：鐵套管可看成是從貯氣罐罐體上伸出的肋片（自t0處向tl處），且將圓柱體展開作等截面直肋計(jì)算，只不過此時(shí)與氣流對流換熱的只有外表面一面。一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱6.6.例題：例題：對壓氣機(jī)貯氣罐采用如圖所示方法測量。己知如圖。t0=50tl=100=58.2w/m=1h=29.1w/m2tf=?通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱6.6.例題：例題：解：解：據(jù) l=0/ch（ml） tl-tf=（t0-tf）/ch（m

16、l） 整理后有：tf=tl ch（ml）-t0/ch（ml）-1 經(jīng)分析此時(shí)有：P=d AL=d 則： 代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：ml=3.14 查表有：ch3.14=11.6 代入上式得： tf=（10011.6-50）/（11.6-1）=104.6 測量誤差為：|tl-tf|=4.6 lllmlhddhAhPL通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱一、等截面直肋的導(dǎo)熱6.6.例題：例題：討論：討論：誤差為：|tl-tf|=4.6 這樣大的誤差在工程上往往是不允許。據(jù)前述：測量誤差l=tl-tf，又據(jù)l=0/ch（ml）知，要使l，則必須使ch（ml）ml，即ml可減少測量誤差。據(jù)前面推出的

17、ml表達(dá)式：采用如下方法可減少測量誤差。 ，即選用導(dǎo)熱系數(shù)小的材料作套管； l及，即盡量加長套管并減少壁厚； h ，即強(qiáng)化套管與流體的對流換熱。lmlh通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱二、肋片效率二、肋片效率 f：表征肋片表面溫度接近肋根溫度的程度，也體現(xiàn)了肋片散熱的有效程度有效程度。 對于等截面直肋，其實(shí)際散熱量我們已求出，即： = ALm0th（mH） 其理想散熱量為：理=h（t0-tf）A全表面=h0 A全表面 而全表面積： A全表面=Pl 代入經(jīng)整理有： f=th（mH）/mH 另：設(shè)想實(shí)際肋片處于平均溫度tm時(shí)，肋片散熱量（即實(shí)際散熱量）與肋片均處于肋基溫度下的理想散熱量之比，也可定義肋

18、片效率，對于矩形直肋同樣可得到上述結(jié)果。 下面我們據(jù)肋片效率的公式等，來看看mH如何影響肋片效率。 熱量于肋基溫度下的理想散假定整個肋片表面均處肋片實(shí)際散熱量f通過肋壁的導(dǎo)熱通過肋壁的導(dǎo)熱二、肋片效率二、肋片效率 f f1.由等截面肋片效率表達(dá)式知：當(dāng)開始mlth（ml）， 若繼續(xù)ml時(shí) th（ml）， 當(dāng)ml達(dá)到一定程度后， th（ml）1， 再繼續(xù)ml后，將使f =th（ml）/ml。 說明：mlf。 2.另一面由肋端過余溫度理解：如圖， ml1/ch（ml） l=tl-tf=0 /ch（ml） mf=m/0，同樣說明： mlf。提高H，f減小。3.肋高lH一定后，m值小對f有利，據(jù)m=（hP