1、第二章簡單事件的概率第 7 講簡單事件的概率學生用書 P40大師導航田忌賽馬孫臏是戰國時代的齊國（今山東一帶）人，是春秋末期杰出的軍事家孫武的后 代他曾在齊國將領田忌手下當門客.田忌常和齊威王及諸公子以賽馬賭博田忌的馬有上、中、下三等；齊王的 馬也有上、中、下三等，但每一等都比田忌同等的馬好，于是田忌屢賽屢輸這 次他倆又下了 1000 兩黃金的賭注，田忌一籌莫展就在這時，孫臏對田忌說：“您盡管同他賽，我有辦法讓您贏.”比賽開始了齊王令出上馬，孫臏讓田忌先出下馬，齊王舒舒服服、輕而易 舉地贏了第一場；然后齊王令出中馬，孫臏讓田忌出上馬，經過激烈比賽，田忌 的馬贏了；最后齊王出下馬，孫臏讓田忌出中

2、馬，田忌的馬又贏了.3 場比賽，田忌以 2 : 1 取勝，“卒得王千金”.這次比賽有以下特點：知己知彼，避敵鋒芒，后發制人，以弱勝強這里包 含著許多辯證的軍事思想，并且成功地應用了數學（數學決不單單是計算）田忌反敗為勝，令齊王大為驚訝，于是田忌向齊王推薦孫臏齊王準奏，任 命孫臏為軍師.此后孫臏屢建戰功.而“田忌賽馬”則成為膾炙人口的一個故事， 數學家愛說它，政治家、哲學家、軍事家也愛說它.E歸類探究_ /類型之一必然事件與隨機事件例 1夏津自主招生下列事件屬于隨機事件的有（C ）1當室外溫度低于-10C時，將一碗清水放在室外會結冰；2經過城市中某有交通信號燈的路口，遇到紅燈；3今年春節會下雪；

3、45, 4, 9 的三根木條組成三角形.ABCD【思路生成】根據不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可 能不發生的事件，對各小題分析判斷即可得解.【解析】當室外溫度低于-10C時，將一碗清水放在室外會結冰，是必然 事件；經過城市中某有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件；今年春 節會下雪，是隨機事件；5, 4, 9 的三根木條組成三角形，是不可能事件所 以屬于隨機事件的是故選 C.g 指點迷津1事件的分類：隨機事件事件不可能事件必然事件2概率的意義：如果事件發生的各種結果的可能性相同且互相排斥，結果總數為 n,事件 A 包含其中的結果數為 m（mwn），那么事件 A 發生的概率為

4、 P（A） =罟.3.P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0vP（隨機事件）v1.e 誤區警示必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件.不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件.隨機事件：在一定條件下，可能發生，也可能不發生的事件.1.武城校級自主招生下列事件屬于不確定事件的是（C ）A若今天星期一，則明天是星期二B投擲一枚普通的正方體骰子，擲得的點數不是奇數就是偶數C.拋擲一枚硬幣，出現正面朝上D .每天的 19： 00 中央電視臺播放新聞聯播g 指點迷津列舉法求概率用列舉法求概率：在一次試驗中，如果可能出現的結果為有限個，且各種結 果出現的可能性大小相等，我們可以通過列舉試驗結果

5、的方法，分析出隨機事件 發生的概率.列表法或樹狀圖法求概率列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為 不重不漏地列出所有可能的結果，經常采用列表法.樹狀圖：當一次試驗要涉及三個或更多的因素時，可采用畫“樹狀圖法”類型之二概率的計算例 2浙江競賽題甲、乙、丙、丁四位同學參加校田徑運動會 4X100 m 接力跑比賽，如果任意安排四位同學的跑步順序，那么恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（A ）11 1 1B.6C.8D元【思路生成】此題需要三步完成，所以米用樹狀圖法比較簡單.注意要做到不重不漏.【解析】 根據題意，畫樹狀圖得:變式跟進一/A A AKAKNK AAKA第三棒丙丁

6、乙丁乙丙丙丁甲丁屮丙乙丁屮TV乙乙丙甲丙屮乙第四棒丁 丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲一共有 24 種跑步順序，而恰好由甲將接力棒交給乙的有6 種,6 1恰好由甲將接力棒交給乙的概率是 24 = 4.2.浙江自主招生從分別寫有數字 1, 2, 3, 4, 5 的 5 張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字,組成一個兩位數，則所組成的數是 3 的倍數的概率是（C ）【解析】列表如下:(1, 5)(2, 5)(3, 5)(4, 5)一(1, 4)(2, 4)(3, 4)一(5, 4)(1, 3)(2, 3)一(4, 3)(5, 3)(1

7、, 2)一(3, 2)(4, 2)(5, 2)一(2, 1)(3, 1)(4, 1)(5, 1)一共有 20 種情況，所組成的數是 3 的倍數的有 8 種情況,跟進A.5B.OC2開始第一棒 乙丙 丁甲丙 丁甲乙 丁 甲乙 丙所組成的數是 3 的倍數的概率是 20 = |.3.全國數學競賽一枚質地均勻的正方體骰子六個面上的數字分別為1, 2,3, 4, 5, 6擲四次骰子，依次得到朝上的面上的數字分別為a, b, c, d,則在 a, a+b, a+ b+ c, a+ b+ c+ d 中存在一個數等于 4 的概率為（C ）B 334B.1 296433D.1 296【解析】 拋擲一枚質地均勻的

8、正方體骰子四次共有 6X6X6X6= 1 296 種等可能結果，依次得到朝上的面上的數字分別為 a, b, c, d,當 a=4 時，此時共有 6X6X6=216 種可能結果，當 a+ b=4,即第 1, 2 次拋擲的結果分別為 1, 3 或 2, 2 或 3, 1 時，其結 果數為6X6 + 6X6 + 6X6= 108 種，當 a+ b+ c= 4 時，即第 1, 2, 3 次拋擲的結果分別為 1, 1, 2 或 1, 2, 1或 2, 1, 1 時，其結果數為 6+ 6 + 6= 18 種，當 a+ b+ c+ d = 4 時，即第 1, 2, 3, 4 拋擲的結果均為 1 點，其結果數

9、只有1 種，綜上，在 a, a+ b, a+ b+ c, a+ b+ c+ d 中存在一個數等于 4 的共有 216+108+ 18+ 1 = 343,4.山西太原競賽甲、乙兩同學下棋，勝一盤得 2分，和一盤各得 1 分，負一盤得 0 分，連下 3 盤，得分多者勝，則甲取勝的概率是【解析】由題意知本題是一個等可能事件的概率,試驗發生包含的事件是下三局，每一局都有三種可能，得到共有 33= 27 種A丑A.1 296343C-則在 a,a+ b, a+ b+ c, a+ b+ c+ d 中存在一個數等于 4 的概率為3431 29610一 27一.結果,甲取勝分為四種情況：勝一局、和兩局，有 3

10、 種結果;2勝兩局、輸一局，有 3 種結果;3勝兩局、和一局，有 3 種結果;4勝三局，有 1 種結果.四種情況共有 3+ 6+ 1= 10 種結果，10所求的概率是 P=.5. 2018 貴陽中考圖 1 是一枚質地均勻的正四面體形狀的骰子，每個面上分別標有數字 1, 2, 3, 4,圖 2 是一個正六邊形棋盤.現通過擲骰子的方式玩跳棋 游戲，規則是：將這枚骰子擲出后，看骰子向上三個面(除底面外)的數字之和是幾，就從圖 2 中的 A 點開始沿著順時針方向連續跳動幾個頂點，第二次從第一次 的終點處開始，按第一次的方法跳動.1(1) 隨機擲一次骰子，貝 U 棋子跳動到點C處的概率是_4_;(2)

11、隨機擲兩次骰子，用畫樹狀圖或列表的方法，求棋子最終跳動到點 C 處的 概率.解：(2)畫樹狀圖:圖 2可以看出，可能發生的結果總數為 16 種，其中跳動到點 C 有 3 種，所以棋 子最終跳動到點 C 處的概率 P =為d 指點迷津游戲公平性所謂游戲是否公平，就是看所關注結果的概率，概率相等，游戲公平；概率 不相等，則表明游戲是不公平游戲，可以通過修改游戲規則使之公平.類型之三概率在游戲中的應用例 3 2018 青島中考小明和小亮計劃暑期結伴參加志愿者活動小明想參加敬老服務活動，小亮想參加文明禮儀宣傳活動他們想通過做游戲來決定參加 哪個活動， 于是小明設計了一個游戲， 游戲規則是： 在三張完全

12、相同的卡片上分 別標記 4,5,6三個數字，一人先從三張卡片中隨機抽出一張， 記下數字后放回， 另一人再從中隨機抽出一張，記下數字，若抽出的兩張卡片標記的數字之和為偶 數，則按照小明的想法參加敬老服務活動，若抽出的兩張卡片標記的數字之和為 奇數，則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動你認為這個游戲公平嗎？請說第一次 第二次終點123 （6）124（7）134 （8）234（9）/ 123 （6）124 （7）（7） 134 （8）（9）123124（7）134（ 8 ）234（9）/123（6）Z124134（8）、234（9）ABCDJiCDECDEFDEF(6變式跟進n 關要擲一顆骰子 n6

13、. 2017 江漢區自主招生一項“過關游戲”規定：在第次，如果這 n 次拋擲所出現的點數之和大于手，則算過關；否則，不算過關，現有下列說法:過第一關是必然事件；過第二關的概率是 36可以過第四關；過第五關的概率大于零.其中，正確說法的個數為（B ）B. 3C. 2D. 13【解析】 過第一關時，擲 1 次骰子，得到的點數一定大于3，故過第一關是必然事件，正確;過第二關時，擲 2 次骰子，就得到 6X6 二 36 個結果，每個結果出現的機會935相同，其中點數和大于 9 的結果有 35 個，故過第二關的概率是 晶，正確;明理由.【思路生成】畫樹狀圖或列表表示所有可能性，然后分別求出小明和小亮獲勝

14、的概率，比較兩概率得出游戲不公平.解：不公平.理由如下:畫樹狀圖如下,種結果,54-P（小明獲勝 戸5, P（小亮獲勝）=9 二不公平.由樹狀圖可知，共 9 種等可能的結果，其中和為偶數有5 種結果，奇數有 4565456453過第四關時，擲 4 次骰子，點數和最大為24841，故可以過第四關，正確;2434過第五關時，擲 5 次骰子，點數和最大為 300, b0, c0,方程 x2+ bx+ c= 0 有相異正實根的有(一 5, 1), ( 5, 2), ( 5, 3), ( 5,4), ( 5, 5), ( 4, 1), ( 4, 2), ( 4, 3), ( 3, 1), ( 3, 2)

15、共 10 種情況，2方程 x + bx+ c= 0 沒有相異正實根的情況有 121 10= 111(種),2111方程 x2+ bx+ c= 0 沒有相異正實根的概率是 百.9在學習“二元一次方程組的解”時，張老師設計了一個數學活動有A,B 兩組卡片，每組各 3 張，A 組卡片上分別寫有 0, 2, 3; B 組卡片上分別寫有 5,1, 1.每張卡片除正面寫有不同數字外，其余均相同甲從 A 組中隨機抽 取一張記為 x,乙從 B 組中隨機抽取一張記為 y.(1) 若甲抽出的數字是 2,乙抽出的數是一 1,它們恰好是 ax y= 5 的解，求 a 的值；(2) 在(1)的條件下，求甲、乙隨機抽取一

16、次的數恰好是方程ax y= 5 的解的概率.(請用樹狀圖或列表法求解)解：(1)把 x= 2, y= 1 代入 axy= 5,得 2a + 1 = 5,解得 a = 2;由題意，列表如下:A組B 組0235(0,-5)(2,- 5)(3,-5)1(0,-1)(2,- 1)(3,-1)變式跟進1(0, 1)(2, 1)(3, 1)由表可知，總共有 9 種結果，甲、乙隨機抽取一次的數恰好是方程ax y= 5的解的結果有 3 種：(0, 5), (2, 1), (3, 1).31所以甲、乙隨機抽取一次的數恰好是方程ax y= 5 的解的概率為類型之五概率與幾何的綜合應用例 5 四張背面完全相同的紙牌

17、(如圖，用，表示)正面分別寫 有四個不同的條件，小明將這 4 張紙牌背面朝上洗勻后，先隨機抽出一張(不放回), 再隨機抽出一張.(1) 寫出兩次摸牌出現的所有可能的結果(用，表示);(2) 以兩次摸出的牌面上的結果為條件， 求能判斷四邊形 ABCD 為平行四邊形 的概率.【思路生成】(1)利用樹狀圖或列表展示所有等可能的結果數；(2)由于共有 12 種等可能的結果數，根據平行四邊形的判定找出所有符合條 件的情況，再利用概率公式求解即可.解: (1)列表：一一一一出現的所有可能的結果是：，,，;(2)能判斷四邊形 ABCD 為平行四邊形的結果是：，,，六種，6 1故能判斷四邊形 ABCD 為平行

18、四邊形的概率為 12 二變式跟進10. 2018 隨州中考正方形 ABCD 的邊長為 2,以各邊 為直徑在正方形內畫半圓，得到如圖所示陰影部分，若隨機 向正方形 ABCD 內投一粒米，則米粒落在陰影部分的概率為(A )n2n2n2n2【解析】：正方形 ABCD 的面積為 4,陰影部分的面積為四個半圓的面積之和與正方形 ABCD 的面積之差，即4X2nX2n4n分的概率為類型之六概率與函數的綜合應用例 6 2018 黃岡中考在一 4, 2，1，2 四個數中，隨機取兩個數分別作為 函數 y= ax2+ bx+ 1 中 a，b 的值，則該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限1的概率為 -.【思路生成

19、】畫樹狀圖展示所有等可能的結果數，根據二次函數的性質，找出滿足【解畫樹狀圖如下,2共有 12 種等可能的結果數，滿足 a0, b0 的結果數為 2,2 1該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的概率為12= .1 1得歹0.9,A.*B.3C-4自上招生交流平臺即隨機取 4 個（或 4 個以上）的整數，才能有 0.9 以上的概率使得這些數中至少有一個偶數.【思維入門】1. 2018 嘉興中考某屆世界杯的小組比賽規則：四個球隊進行單循環比賽（每兩隊賽一場），勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場得 0 分.某小組比賽結束后, 甲、乙、丙、丁四隊分別獲得第一、二、三、四名，各隊的總得分恰好是四

20、個連 續奇數，則與乙打平的球隊是（B ）A .甲B.甲與丁C.丙D .丙與丁【解析】四個球隊進行單循環比賽，則一共 6 場比賽，若全部分出勝負，則 四個隊的總分最多為 18 分，由各隊的總得分是四個連續的奇數，甲、乙、丙、丁 四隊分數只能為 7 分，5 分，3 分，1 分，共 16 分，故其中有 2 場平局，具體情況列表如下：甲乙丙丁得分甲平勝勝7乙平勝平5丙負負勝3丁負平負1由表可知與乙打平的球隊是甲與丁，故選B.2. 2018 呼和浩特中考已知函數 y= （2k 1）x+ 4（k 為常數），若從一 3k3中任取 k 值，則得到的函數是具有性質“ y 隨 x 增加而增加”的一次函數的概率 為

21、為一 12.u思維訓練學生用書 P2113 k 3,A2k 3,.從3 k0 時，一次函數的值y 隨 x 的增加而增加,質“y 隨 x 的增加而增加”的一次函數的概率是所以 P（摸出一個紅色玻璃球）=6_ _66+ 9+ 1025【解析】：AE_ 3, BE_ 2,AAB_ (AE)2+( BE)2_ . 13, HE_ 3 2_ 1,.正方形 ABCD 的面積1為 13,正方形 EFGH 的面積為 1,.飛鏢恰好落在正方形 EFGH 內的概率為畐5. 2018 鹽城中考端午節是我國傳統佳節，小峰同學帶了4 個粽子（除粽餡不同外，其他均相同），其中有兩個肉餡粽子、一個紅棗粽子和一個豆沙粽子，準

22、 備從中任意拿出兩個送給他的好朋友小悅.用樹狀圖或列表的方法列出小悅拿到兩個粽子的所有可能結果；（2）請你計算小悅拿到的兩個粽子都是肉餡的概率.解：列表如下：肉餡粽子 1肉餡粽子 2紅棗粽子豆沙粽子肉餡（肉餡 1，（肉餡 1，（肉餡 1，粽子 1肉餡 2）紅棗）豆沙）肉餡（肉餡 2，（肉餡 2，（肉餡 2，粽子 2肉餡 1）紅棗）豆沙）紅棗（紅棗,（紅棗，（紅棗，粽子肉餡 1）肉餡 2）豆沙）豆沙（豆沙，（豆沙，（豆沙，粽子肉餡 1）肉餡 2）紅棗）（2）由表可得共有 12 種等可能的結果，其中小悅拿到的兩個粽子都是肉餡的2 1情況有 2 種結果，.p（小悅拿到的兩個粽子都是肉餡）=-=66.

23、 2018 沈陽中考經過校園某路口的行人，可能左轉，也可能直行或右轉.假設這三種可能性相同，現有小明和小亮兩人經過該路口，請用列表法或畫樹狀圖法，求兩人之中至少有一人直行的概率.左轉（左轉，左轉）（左轉，直行）（左轉，右轉）直行（直行，左轉）（直行，直行）（直行，右轉）右轉（右轉，左轉）（右轉，直行）（右轉，右轉）由表格可知，共有 9 種可能出現的結果，每種結果出現的可能性相同，其中兩人中至少有一人直行的結果有 5 種：（左轉，直行），（直行，左轉），（直行，直行），（直行，右轉），（右轉，直行），5 P（兩人中至少有一人直行）=【思維拓展】7.第 25 屆希望杯初二第 2 試中國古代“五行”

24、學說認為：“物質分金、木、水、火、土五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金從五 種屬性互不相同的物質中隨機抽取兩種，則抽取的兩種物質不相克的概率是213B.5C.2D.58.浙江鎮海中學自主招生一個各面分別標有數字 1, 2, 3, 4, 5, 6 的骰子，連續投擲二次，分別出現數字 m, n,得到一點 P（m, n）,則點 P 既在直線 y =x+6 上，又在雙曲線 y=8上的概率為（C ）XA 1C 1C 1JA6B.9C 后D.369.全國聯賽 6 張不同的卡片上分別寫有數字2, 2, 4, 4, 6, 6,從中取出3 張，則這 3 張卡片上所寫的數字可以作為三角形的三邊長的概

25、率是（B ）【解析】 若取的 3 張卡片上的數字互不相同，有 2X2X2 = 8 種取法：若取出 3 張卡片上的數字有相同的，有 3X4= 12 種取法.所以，從 6 張不同的卡片中A.1B.2取出 3 張，共有 8+ 12 = 20 種取法.要使得三個數字可以構成三角形的三邊長只可能是(2,4, 4), (4, 4, 6),(2, 6, 6), (4, 6, 6).由于不同的卡片上所寫數字有重復，所以，取出的3 張卡10.全國競賽一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1,2,2,3, 3, 4,另一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數字分別是1, 3, 4, 5, 6,18,同時擲這

26、兩枚骰子，則其朝上的面兩數字之和為5 的概率是_7_.11. 全國聯賽初三初賽有質地均勻的正方體紅、白骰子各一枚，每枚骰子的六個面分別寫有 1, 2, 3, 4, 5, 6 的自然數，隨機擲紅、白兩枚骰子各一次,5紅色骰子擲出向上面的點數比白色骰子擲出向上面的點數小的概率是_.1212. 第 25 屆希望杯初三第 1 試有 1 g, 2 g, 5 g, 10 g 的砝碼各 2 個，從中1任取2個放在已經平衡的天平的兩端，則天平仍然保持平衡的概率p=三13. 2018 黃石中考小光和小王玩“石頭、剪子、布”游戲，規定：一局比 賽后，勝者得 3 分，負者得-1 分，平局兩人都得 0 分，小光和小王都制訂了自 己的游戲策略，并且兩人都不知道對方的策略小光的策略是：石頭、剪子、布、 石頭、剪子、布、小王的策略是：剪子、隨機、剪子、隨機、(說明：隨機指石頭、剪子、布中任意一個).例如，某次游戲的前 9 局比賽中，兩人當時的策略和得分情況如下表局數123456789小光實際策略石頭剪子布石頭剪子布石頭剪子布小王實際策略剪子布剪子石頭剪子剪子剪子石頭剪子片上所寫的數字可以作為三角形的三邊長的情況共有4X2 二 8 種因此，所求概率為 202