1、實用標準文檔5文案大全圓壓軸題八大模型題(一)瀘州市七中佳德學校易建洪引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型1弧中點的運用在OO中，點C是2D的中點，CEL AB于點E.(1) 在圖1中，你會發現這些結論嗎？1AP=CP=FP;2CH=AD;A&=APAD=CF- CB=AE AB.(2) 在圖2中，你能找出所有與ABC相似的三角

2、形嗎?【分析】(1)由等弧所對的圓周角相等及同角或等角的余角相等得：/CAD=ZB=ZACE/PCF=ZPFC所以AP=CP=FP(1)由垂徑定理和弧中點的性質得，DC=AC=AH,再由弧疊加得：CH=AD,所以CH= AD.(1)由共邊角相似易證：AC0AABCACQAADCACFABCA進而得AC?=AEAB; AC?=APAD; AC?=CFCB垂徑定理的推論得：C0丄AD,易證：RtAAB8 RtAACE RtACBERtAAC RtABDFsRtAAC3 RtACGF此外還有RtAAPERtAAOGRtAABDsRtCPG運用這些相似三角形可以解決相關的計算與證明題.建議：將下列所有

3、例題與習題轉化到圖1或圖2上觀察、比較、思考和總結。CDFPAEOB（圖1）CDPOEFG（圖2）B實用標準文檔文案大全【典例】(2018湖南永州)如圖， 線段AB為OO的直徑， 點C,E在OO上，:=I.,CD丄AB,垂足為點D,連接BE,弦BE與線段CD相交于點F.(1) 求證：CF=BF;(2)若cos/ABE=，在AB的延長線上取一點M，使BM=4,OO的半徑為6.求證:實用標準文檔文案大全直線CM是OO的切線.【分析】（1）延長CD與圓相交，由垂徑定理得到:=花，再由丨得到丨.=: = -,等弧所對的角 相等，等角對等邊。（2）由垂徑定理的推論得0C丄BE,再由銳角三角函數得到邊BH

4、、OH的長度，由對應邊成比例得BE/ CM,由/MCO=/BHO=90證得結論。證明：（1）延長CD交OO于G,如圖,CD丄AB,./CBE=ZGCB, CF=BF;（2）連接OC交BE于H,如圖,：，= l,AOCXBE,在RtAOBH中，cos/OBH=二OB 56= JOH：,13_3 0B_ 6 _3疋-，疋 7,=，而/HOB=/COM,OC 0MOHBsOCM, /OCM=/OHB=90,OCXCM,.直線CM是OO的切線.【點拔】弧中點得到弧等、弦等、圓周角等，進一步引出角平分線、垂徑定理、相似三角形。再 結合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位線定理，垂徑定理、相似三角形的性質

5、定理。 可以組合出綜合性比較強的有關的習題組。抓邊等角等是關鍵，要善于分解圖形。【變式運用】三（圖1-1）實用標準文檔文案大全1.（2018四川宜賓）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點，DE丄AB于點E且DE交AC于點F,DB交AC于點G,若】=,AE 4（圖1-2）實用標準文檔文案大全二)2.(2010瀘州)如圖， 在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上的一點， 且AE與DE分別 平分/BAD和/ADC。(1)求證：AE丄DE;(2)設以AD為直徑的半圓交AB于F,連接FGDF交AE于G,已知CD= 5,AE=8,求 值。AF(1)證明：在ABCD中， AB/CD,AZBAD

6、+ZADC=180 AE與DE平分ZBAD和ZADC11ZEAD=丄ZBAD,ZEDQ丄ZADC,22ZAED= 180(ZEAD+ZEDA)11=180(丄ZBAD+丄ZADC)221=180(ZBAD+ZADC)2=18090=90AE丄DE(2)解：在ABCD中，TAD/BCZEAD=ZAEB,且ZBAE=ZDAEZBAE=ZAEB,.AB=BE,同理：DC=EC=5又AB=DC,.AB=BE= DC=EC= 5,BC=AD=10在RtAAED中，由勾股定理可得：DE=; AD2- AE2二.102-82=6TZBAE=ZEAD,ZAFD=ZAED=90AFGAED,AF AE84FG

7、ED633.(2012瀘州)如圖，ABC內接于OO, AB是OO的直徑，C是AD的中點，弦CEL AB于點H,連結AD,分別交CE BC于點P、Q,連結BD。(1)求證：P是線段AQ的中點；15(2)若OO的半徑為5,AQ=，求弦CE的長。(1)證明：TAB 是OO 的直徑，弦 CE 丄 AB ,cc cC 是 AD 的中點， AC = CD ,c cAE=CD. ZACP= ZCAP. PA=PC,TAB 是直徑./ ACB = 90ZPCQ=90-ZACP, ZCQP=90-ZCAP,ZPCQ=ZCQP.：PC=PQ. AC = AE .又T圖9(圖 1-3)C(圖 1-4)實用標準文檔文

8、案大全 PA = PQ，即 P 是 AQ 的中點;(2)解：JAC = CDCAQ =ZABC.又/ACQ= ZBCA, CAQCBA.15AC AQ 23 AB一10_4.又JAB = 10，二 AC = 6, BC = 8.根據直角三角形的面積公式，得：AC?BC = AB?CH , 6X8= 10CH .ABCD 內接于OO , AB 是OO 的直徑，AC 和 BD 相交于點 E,(1) 求證：BC = CD ;(2) 分別延長 AB, DC 交于點 P，過點 A 作 AF 丄 CD 交 CD的延長線于點 F,若 PB = OB, CD = 燈：，求 DF 的長.2(1)證明：JDC =

9、 CE?CA,DC CA, CDE CAD ,CE DCPC 2.23又JPC?PD = PB?PA4、2? (4、2+ 2、2)= OB?3OBOB = 4,即卩 AB= 2OB = 8 , PA= 3OB = 12,在 Rt ACB 中，CE24又JCH2CH =48=HE,4.( 2014?瀘州)如圖，四邊形- 2且DC2=CE?CA. / CDB=ZDAC, J四邊形 ABCD 內接于O BC = CD;(2 )解：方法 一：如圖,連接OC,BC = CD, /DAC=ZCAB ,又JAO=CO, /CAB=ZACO, /DAC=ZACO,PCPO AD IIPDPA，PB = OB

10、, CD = 2 一:PC2(圖 1-5)圖 aO,實用標準文檔文案大全AC =AB2_BC2二、.82_(22)2=2、14,JAB 是直徑，/ ADB=ZACB = 90實用標準文檔文案大全/ FDA+/BDC=90/CBA+ /CAB=90/ BDC=ZCAB，/FDA= ZCBA,又/AFD=ZACB=905.( 2015?瀘州)如圖， ABC 內接于OO，AB = AC，BD 為OO 的弦，且 AB II CD，過點 A 作OO 的切線 AE 與 DC 的延長線交于點 E, AD 與 BC 交于點 F .(1)求證：四邊形 ABCE 是平行四邊形;(2)若 AE = 6, CD =

11、5，求 OF 的長.【解答】（1）證明：TAE 與OO 相切于點 A ,/EAC=ZABC,vAB=AC/ABC=ZACB，/EAC= ZACB,AEIIBC,vABIICD,四邊形 ABCE 是平行四邊形;(2)解：如圖，連接 AO,交 BC 于點 H，雙向延長 OF 分別交 AB , CD 與點 N , M , / AE 是OO 的切線，2由切割線定理得， AE = EC?DE,TAE=6,CD=5,2 6 = CE ( CE+ 5)，解得：CE = 4,(已舍去負數)， 由圓的對稱性，知四邊形 ABDC 是等腰梯形，且 AB =AFFDACCB2 142 2在 Rt AFP 中，設 FD

12、 = x，貝 U AF =. 7x,在 Rt求得 DF =方法二；連接 OC ,過點 O 作 OG 垂直于 CD ,PC po易證 PCOPDA，可得 一PD PA PG PO PGO PFA，可得PF PA 可得，PC=PG，由方法一中 PC = 4、2代入PD PFPCPC 2 2 PC 2；2 DF 即可得岀DF =A、翼（圖1-6）實用標準文檔文案大全AC = BD = CE = 4, 又根據對稱性和垂徑定理，得 AO 垂直平分 BC , MN 垂直平分 AB, DC ,設 OF = x, OH = y, FH = z,實用標準文檔文案大全693+z+得：，+得：x2y3z693y x

13、解x 2y得4，: x2= y2+ z2,z-I J3-z 436.如圖，AB是OO的直徑，C P是弧AB上的兩點，AB=13,AC=5.(1)如圖，若P是弧AB的中點，求PA的長；如圖，若P是弧BC的中點，求PA的長 AB是OO的直徑且P是2B的中點，/PAB=ZPBA=45,/APB=90又在等腰三角形厶ABC中有AB=13,圖dBC,與OP相交于M點，作PHL AB于點H, P點為Be的中點，OPL BC,/OM= 90,AB = 4, BC = 6, CD = 5,1二 BF = BC FH = 3 - z,21DF = CF = BC+ FH = 3+ z,2易得 OFHDFM BF

14、N ,DFDMBFBMOF一OHOF OH圖 c=2y4,721二 OF =4、721 X2x21,169解：(1)如答圖，連接PB圖(圖 1-7)圖(2 )如答圖，連接實用標準文檔文案大全又AB為直徑，/ACB=90 .:丄ACB=Z0陂OP/ AC./CAB=ZPCB.又/ACB=/0H290,：ACBAOHPB 5B=OH51，解得0卡 2:AH= O陽OH=9.在RtOPH中，有-一一 . -一.:在RtAHF中 有j - - J: PA= 一 匸7.如圖，ABC內接于O0,且AB為OO的直徑/ACB勺平分線交OO于點D,過點D作OO的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AEL CD于點E,過點B作BF丄CD于點F.(1) 求證：DP/ AB；(2) 若AC=6,BC=8，求線段PD的長.解：(1)證明：如圖，連接OD/AB為OO的直徑，：/ACB=90./ACB的平分線交OO于點D,：/ACD=ZBCD=45/DAB=ZABD=45。：仏DAB為等腰直角三角形。 DCLAB. PD為OO的切線，：ODL