1、快樂課堂學數學-多余老師趣講“三角函數”-高中數學必修4一、 本單元概述數學是研究現實世界空間形式和數量關系的學科，簡單說就是研究“數”與“形”。數形結合是數學研究的非常重要的思想和方法。必修1中，在初中已學的“一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數”的基礎是，進一步了解了函數的概念和作用，并研究了“指數函數、對數函數”。可以看到，這幾種函數，都是從“代數角度”進行命名的，并將這些“代數表達”，通過平面直角坐標系，得到了“函數圖像”。必修2中，用“數形結合”的“解析方法”，在平面直角坐標系中，研究“直線、圓”，并得到“幾何圖形”的“代數表達”。通過已經進行過的“函數、解析幾何”的學習，我們

2、應該深深體會到以下兩點：1、“數”與“形”的對應。2、要緊抓住代數表達式中的“參數”，和圖形的“要素”。靈活運用這兩點，就能把“代數問題”和“幾何問題”融會貫通，這才是“真正的數學”。看到“三角函數”這個名稱，可以想到，這是函數是從“幾何角度”進行命名的。這與已經學過的用“代數角度”命名的函數是不同的。所以，研究三角函數，重在“圖形”。看圖形的“要素”是什么？對于三角函數，我們并不陌生，在初中時我們就已經接觸并學習過了。不過，那時的學習，并沒有體現三角函數的“函數性質”，基實質只是“用符號表達”直角三角形的“三邊比”。“三邊比”正是“直角三角形”這一圖形的“幾何要素”。二、 取消“角”的限制由

3、于初中時，只是研究直角三角形，所以對于三角函數的“角”，給予了限制，只限于“銳角”。現在，我們再深入研究三角函數，就要將“角”進行擴展，“取消限制”；但“三邊比”將會繼續貫穿整個研究過程，這就是“要素”的作用。“角”，我們從小學就已經開始使用，小學時“角”的定義是：由兩條有公共端點的射線組成的圖形。學過旋轉后，到初中又給“角”下過一個定義：平面內一條射線繞端點旋轉所成的圖形。但當時，只是對這個定義提到了一下，并沒有具體使用，因為初中和小學一樣，也只是使用小于或等于180度的角，對于周角也只是有一個概念而已。現在，我們就使用“角”的旋轉定義，將角進行擴展，把初中、小學對角的限制，全部取消。1、先

4、規定旋轉的方向：以逆時針旋轉為正方向，則順時針旋轉為負方向。這樣，就把角按旋轉方向分為了“正角、零角、負角”三類。2、旋轉角度完全取消限制。可以任意旋轉N圈。但要注意，由于取消限制，對于“角”，就不能根據圖形，直接說出角的具體度數了。因為，高中的“角”要說具體度數，一要知道旋轉方向，二要知道旋轉圈數。那么，怎么直接描述“角”的圖形呢？高中的“角”，根據圖形，只能確定“終邊的位置”，而不能確定角度。因此，使用描述位置的最佳工具“平面直角坐標系”，將“始邊”統一為“x軸的非負半軸（含原點）”，“頂點”為“原點”，按“終邊”位置，將角分為：1、象限角。有第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角

5、。2、軸線角。有x軸線角、y軸線角。再進一步分為x軸非負軸線角、x軸非正軸線角、y軸非負軸線角、y軸非正軸線角。高中的“角”，書寫表達，使用集合方式：x|x=0到正負360度范圍內的確定度數+k360度，k為整數即角的研究，先考慮“一圈”范圍內的情況，其結果為“所在集合”的“統一結果”。根據“數形結合”，同學們可以把“坐標系“中“不同位置的角”分別用“集合形式”給予“代數表達”；同樣，看到“代數表達”，能快速、準確地確定其在“坐標系”中的“位置”。三、引入“弧度制”此前，我們所使用的“角”的度量制，稱為“角度制”。但是，“角度制”有兩個情況，使其使用受到了限制：1、角度制，來源于時鐘，因此與時

6、、分、秒一樣，采取60進率，而我們計算中使用的是10進制。2、角度制的結果是“數量”，而不是“數值”。為了解決這兩個限制因素，因此引入了“弧度制”。1弧度（1rad）=長度等于半徑長的弧所對的圓心角57.3度。由此可知：1、弧度制，其實是用“長度的比值”（弧長l/半徑r），來表示角的大小，即一個角的弧度數的絕對值|=l/r（弧度數的正負由旋轉方向或角度給定），其進率自然就是10了。2、弧度制的結果，是“數值”，在明確表示角的情境下，弧度的單位（rad），自然省略。3、弧度制，是建立在旋轉的基礎上的，所以弧度制與扇形（圓當作特殊扇形）的關系，非常密切。利用圓來研究角度時，使用弧度制將比角度制，方

7、便得多。（后面任意角的三角函數就要使用，在物理中研究圓周運動也要使用）弧度的定義，實質是利用“圓周長與半徑的比值”是一個“定值”（2），這樣建立弧度數2=360度，使角度制與弧度制得以互換。這樣我們就得到一些常用角的弧度數：180度=360度/2=2/2=，90度=360度/4=2/4=/2，60度=360度/6=2/6=/3，30度=360度/6=2/12=/6，120度=2/3，150度=5/645度=90度/2=/4，135度=90度+45度=3/4。所以，角的集合表達，在使用弧度制時為：x|x=0到正負2范圍內的確定弧度數+2k，k為整數。對于角的集合表達，要切記：“不能搞兩個中國，可

8、以一國兩制”。即：角度制和弧度制，在解答的書寫中，兩種制度可以共存。但是，在同一個集合表達式中，不能同時出現。由以上關系，|=l/r，2=360度，可得出弧度制的扇形面積公式S扇形=rl/2。這個公式，實質就是三角形面積公式，即扇形面積=以半徑為底、弧長為高的三角形面積。這其實就是中國傳統數學中的“割圓術”。在小學，學圓面積公式時，將圓割成若干等份的扇形，再將這些扇形拼裝成一個“長方形”，這時，其實就把扇形當作了三角形。四、說“周期” 高中的“角”擴展到“任意角”后，其表達式必須使用集合形式，表達式的后綴“+360度”或“+2k”就是角的“周期”，即每轉一圈重合一次。 具有“周期性質”的現象，

9、稱為“周期現象”。大家可以興出很多實例。 具有“周期性”的函數，稱為周期函數。 對于y=f（x），在定義域內，f（x+T）=f（x）都成立（T為非零常數），則y=f（x）為周期函數，周期為T。 簡記為：f（x+T）=f（x）是周期函數。這個“代數”表達對就的“圖形”表達是什么？ 是“平移”，即函數圖像沿x軸方向最少平移T的長度，就與原圖像重合，就是周期為T的周期函數。 由周期函數的最通用表達形式，通過“代數”或“圖形”變化，可得到幾種常見形式： 1、由“負負得正”，可得f（x+A）=-f（x+B）表示周期為2（A-B）的周期函數。 2、由“倒數的倒數是自己”，可得f（x+a）=1/f（x+B）

10、表示周期為2（A-B）的周期函數。 3、由“沿互相平行的對稱軸，軸對稱兩次，變成平移”，可得f（x+A）和f（x+B）都是偶函數或關于x=D對稱，則該函數是周期函數。 五、正式說說“三角函數” 在初中，已經知道，對于銳角：sin（正弦值）=對邊/斜邊， cos（余弦值）=鄰邊/斜邊，cos= sin（90度-）tan=（正切值）=對邊/鄰邊，cot（余切值）=鄰邊/對邊，tan·cot=1，tan=sin/ cos，cot=1/ tan= cos/ sin，并由勾股定理得sin2+ cos2=1。這些三角函數值，就是直角三角形的“三邊比”，只要知道一個角的一個三角函數值，就可得到“三

11、邊比”，即這個角的其余三角函數值，也就都可知了。根據數學的“通用性”，以上規則，在任意角的三角函數中，繼續有效，只是在說法上有所調整。我們在學“直線方程”時，知道直線的斜率k=tan。而tan=sin/cos，即相當于直線上的點坐標可以是（sin，cos）。為了使這個想法得到實現，我們要取直線上的一個“定點”：表示“角的終邊”的射線上，取“到原點距離為1的點”，則該點坐標為（sin，cos）。用旋轉的角度表述，就是：以原點為圓心，以1為半徑，做“單位圓”，任意角的終邊與單位圓的交點坐標為（sin，cos）。以上表示方法，就是將銳角三角形函數中的“斜邊”固定為“1”，則sin就是“對邊”（縱坐標

12、，簡稱“豎”），cos就是“鄰邊”（橫坐標，簡稱“橫”），則tan= sin/cos=“豎”/“橫”。確定了，三角函數值的“代數”和“圖像”表達，再來確定“函數”。將表示“三角函數值”的表達式，寫成函數的形式。即y= sinx、y=cosx、y=tanx等，就是“三角函數”。由“角的周期性”，可知“三角函數”一定都是“周期函數”。除了和以前一樣，要研究函數性質：1、圖像。（與函數解析式對應）2、定義域。（與圖像的橫向范圍對應）3、值域。（與圖像的縱向范圍對應）4、奇偶性。（與圖像的對稱性對應）5、單調性。（與圖像的“升”、“降”、“拐點頂點”對應）還要加上：6、周期性。（與圖像的平移或有兩條以

13、上對稱軸對應）由于“三角函數”實質是“三角函數值的變化”，所以研究三角函數的性質，要利用好“單位圓”。由于“角的終邊”由“原點”和“單位圓上的點”確定，而“原點”固定，所以研究時，可以“角的終邊”簡化為“單位圓上的點”。由于“余弦函數”可以轉化為“正弦函數”（ cos= sin（90度-），“正切函數”則“正弦、余弦”決定（tan= cos/ sin），所以，以研究“正弦”為重點，“余弦、正切”也就隨之而出了。由于“單位圓上的點”的“縱坐標”就是“sin”，所以研究“正弦值的變化”，就是研究“單位圓上的點的縱坐標的變化情況”。從“單位圓”與“x軸正方向”的交點（零角）開始，沿“逆時針方向”（角

14、的正方向）走，可看到“單位圓上的點的縱坐標變化情況”（正弦值的變化）：1、x軸正半軸，正弦值為0。2、第一象限，正弦值為“正”、“升”，且升的情況是“先快后慢”，即“先陡后平”的一條曲線。3、y軸正半軸，正弦值為1。4、第二象限，正弦值“正”、“降”，且與第一象限情況“軸對稱”。5、x軸負半軸，正弦值為0，與x軸正半軸情況“軸對稱”。6、第三象限，正弦值“負”、“降”，且與第二象限情況“中心對稱”。7、y軸負半軸，正弦值為-1，且與y軸正半軸情況“中心對稱”。8、第四象限，正弦值“負”、“升”，且與第三象限情況“軸對稱”、與第一象限情況“中心對稱”。由此，可知“正弦函數”有以下性質：1、圖像是

15、一條“周期性曲線”，既又是“軸對稱圖形”又是“中心對稱圖形”，且有多條對稱軸。2、定義域為R，即單位圓上的點，沒有位置限制。3、值域-1，1：A、位于y軸正半軸時，縱坐標有最大值為1；當x=/2+2k時，ymax=1。 B、位于y軸負半軸時，縱坐標有最小值為-1；當x=-/2+2k時，ymin=1。4、周期T=2，即走一圈是一個最小正周期。5、奇函數。即第一象限與第四（負第一）象限情、第二象限與第三（負第二）象限情況中心對稱。6、在第一、第四（負第一）象限“升，在-/2+2k，/2+2k是增函數； 在第二、第三象限“降“，在/2+2k，3/2+2k是減函數。由于“正弦函數”圖像，是一條曲線，就

16、只能取幾個“特殊點”，再按變化趨勢，用光滑曲線進行連接。一般取五點，即正弦值分別為-1，0，1的點，這稱為“五點法”。作出一個周期的圖像后，平移多次，即為正弦函數圖像。觀察圖像，可得出，1、當y=1和y=-1時，即x=/2+2k和x=-/2+2k都圖像的對稱軸。2、當y=0時，即x=k時，都圖像的中心對稱點。3、正弦函數圖像是一個“振動波”，值域是“振幅”，周期是“頻率”。這將在物理中進行應用。參照研究“正弦函數”的方法，可自行得出“余弦函數”、“正切函數”的性質。六、利用“單位圓”進行誘導 由于“單位圓上的點”具有“軸對稱”、“中心對稱”等特點，利用“單位圓”就可對三角函數進行“誘導”。 1

17、、關于x軸對稱“縱反橫不變”，可得sin（-）=-sin，cos（-）=cos。 2、關于y軸對稱“縱不變橫反”，可得sin（-）=sin，cos（-）=-cos。 3、關于原點對稱“縱橫都反”，可得sin（+）=-sin，cos（+）=-cos。 4、關于y=x對稱時互余（橫縱互換），可得sin（/2-）=cos，cos（/2-）=sin。 5、90度旋轉時（橫縱互換且橫要換號），即關于y=x對稱后再關于y軸對稱，可得sin（/2+）=cos，cos（/2+）=-sin。 6、利用周期，可得“加、減周期等于自己”。 所以，對于“誘導公式”千萬別記，只要懂得“圓”的“對稱性”和“周期性”，就可用“單位圓”，快速、準確地將“任意角的三角函數”一步“化簡到位”。七、最后說一下“三角函數”的“參數” “標準”正弦函數，加上參數后，“完整形式”為y=Asin（x+）。 對于參數“A”，最好理解，控制“值域”，即y=Asinx的值域為-A，A。 對于參數“”，也較好理解，控制“周期”，即y=Asin（x）的周期T=2/。如：sin2x 的周期只能是，再乘參數“2”后，正弦的原始周期還是2。對于參數“”，就要先變形再理解了，形式是類似于“函數圖像的橫向平稱”，但“橫向平移”時，只能是“獨獨的x”+“平移量”，所以將y=