1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國卷)文數(shù)本卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.第卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=1,2,3,B=x|x2<9,則AB=() A.-2,-1,0,1,2,3B.-2,-1,0,1,2C.1,2,3D.1,22.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函數(shù)y=Asin(x+)的部分圖象如圖所示,則()A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+34.體

2、積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.323C.8D.45.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P,PFx軸,則k=()A.12B.1C.32D.26.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43B.-34C.3D.27.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20B.24C.28D.328.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.710B.58C

3、.38D.3109.中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=()A.7B.12C.17D.3410.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=1x11.函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos2-x的最大值為()A.4B.5C.6D.712.已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),則i=1mxi=()A.

4、0B.mC.2mD.4m第卷(非選擇題,共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第2224題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,則m=. 14.若x,y滿足約束條件x-y+10,x+y-30,x-30,則z=x-2y的最小值為. 15.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,則b=. 16.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說

5、:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)等差數(shù)列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通項(xiàng)公式;()設(shè)bn=an,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.9=0,2.6=2.18.(本小題滿分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.

6、25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010()記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值;()記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;()求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.19.(本小題滿分12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到D'EF的位置.()證明:ACHD'()若AB=5,AC=6,AE=54,OD&

7、#39;=22,求五棱錐D'-ABCFE的體積.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).()當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程;()若當(dāng)x(1,+)時(shí), f(x)>0,求a的取值范圍.21.(本小題滿分12分)已知A是橢圓E:x24+y23=1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.()當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積;()當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),證明:3<k<2.請考生在第2224題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿分10分)

8、選修41:幾何證明選講如圖,在正方形ABCD中,E,G分別在邊DA,DC上(不與端點(diǎn)重合),且DE=DG,過D點(diǎn)作DFCE,垂足為F.()證明:B,C,G,F四點(diǎn)共圓;()若AB=1,E為DA的中點(diǎn),求四邊形BCGF的面積.23.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.()以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程;()直線l的參數(shù)方程是x=tcos,y=tsin(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=10,求l的斜率.24.(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=x-12+x+12

9、,M為不等式f(x)<2的解集.()求M;()證明:當(dāng)a,bM時(shí),|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(課標(biāo)全國卷)一、選擇題1.D由已知得B=x|-3<x<3,A=1,2,3,AB=1,2,故選D.2.Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.3.A由題圖可知A=2,T2=3-6=2,則T=,所以=2,則y=2sin(2x+),因?yàn)轭}圖經(jīng)過點(diǎn)3,2,所以2sin2×3+=2,所以23+=2k+2,kZ,即=2k-6,kZ,當(dāng)k=0時(shí),=-6,所以y=2sin2x-6,故選A.4.A設(shè)正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.設(shè)球的

10、半徑為R,則2R=3a,即R=3,所以球的表面積S=4R2=12.故選A.5.D由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故選D.6.A由圓的方程可知圓心為(1,4).由點(diǎn)到直線的距離公式可得|a×1+4-1|a2+1=1,解得a=-43,故選A.易錯(cuò)警示圓心的坐標(biāo)容易誤寫為(-1,-4)或(2,8).7.C由三視圖知圓錐的高為23,底面半徑為2,則圓錐的母線長為4,所以圓錐的側(cè)面積為12×4×4=8.圓柱的底面積為4,圓柱的側(cè)面積為4×4=16,從而該幾何體的表面積為8+16+4=28,故選C.

11、8.B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口,即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故選B.9.C執(zhí)行程序框圖,輸入a為2時(shí),s=0×2+2=2,k=1,此時(shí)k>2不成立;再輸入a為2時(shí),s=2×2+2=6,k=2,此時(shí)k>2不成立;再輸入a為5,s=6×2+5=17,k=3,此時(shí)k>2成立,結(jié)束循環(huán),輸出s為17,故選C.10.D函數(shù)y=10lg x的定義域、值域均為(0,+),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lg x的值域?yàn)镽,排除B,故選D.易錯(cuò)警示利用對數(shù)恒等式將函數(shù)y

12、=10lg x變?yōu)閥=x,將其值域認(rèn)為是R是失分的主要原因.11.Bf(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112,當(dāng)sin x=1時(shí), f(x)取得最大值5,故選B.思路分析利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式將f(x)=cos 2x+6cos2-x轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin x的二次函數(shù),通過配方來求最值,注意不要忘記sin x-1,1.12.B由題意可知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的圖象也關(guān)于直線x=1對稱,所以兩個(gè)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱,且每對關(guān)于直線x=1對稱的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,所以i=1mxi=m,故選B.疑難突破

13、關(guān)于直線x=1對稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2,由題意得出f(x)與y=|x2-2x-3|的圖象均關(guān)于直線x=1對稱是解題的關(guān)鍵.二、填空題13.答案-6解析因?yàn)閍b,所以m3=4-2,解得m=-6.易錯(cuò)警示容易把兩個(gè)向量平行與垂直的條件混淆.14.答案-5解析由約束條件畫出可行域,如圖中陰影部分所示(包括邊界).當(dāng)直線x-2y-z=0過點(diǎn)B(3,4)時(shí),z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.15.答案2113解析由cos C=513,0<C<,得sin C=1213.由cos A=45,0<A<,得sin A=35.所以sin B=sin-(A+C)=sin(A

14、+C)=sin Acos C+sin Ccos A=6365,根據(jù)正弦定理得b=asinBsinA=2113.16.答案1和3解析丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,則丙有兩種情況:丙的卡片上的數(shù)字為1和2,此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和3,滿足題意;丙的卡片上的數(shù)字為1和3,此時(shí)乙的卡片上的數(shù)字為2和3,甲的卡片上的數(shù)字為1和2,這時(shí)甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2,與已知矛盾,故情況不符合,所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.疑難突破先對丙分類討論,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問題的關(guān)鍵.三、解答題17.解析()設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=

15、3.解得a1=1,d=25.(3分)所以an的通項(xiàng)公式為an=2n+35.(5分)()由()知,bn=2n+35.(6分)當(dāng)n=1,2,3時(shí),12n+35<2,bn=1;當(dāng)n=4,5時(shí),22n+35<3,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時(shí),32n+35<4,bn=3;當(dāng)n=9,10時(shí),42n+35<5,bn=4.(10分)所以數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)疑難突破充分挖掘x的意義,進(jìn)而將bn的表達(dá)式類比分段函數(shù)給出,從而求出數(shù)列bn的前10項(xiàng)和.18.解析()事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2

16、.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為60+50200=0.55,故P(A)的估計(jì)值為0.55.(3分)()事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為30+30200=0.3,故P(B)的估計(jì)值為0.3.(6分)()由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(10分)調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0

17、.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a.(12分)19.解析()證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD',所以ACHD'.(4分)()由EFAC得OHDO=AEAD=14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'OH.由()知ACHD',又ACBD,BDHD'=H,所以AC平面BHD',于是A

18、COD'.又由OD'OH,ACOH=O,所以O(shè)D'平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=92.五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92×3=694.(10分)所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=2322.(12分)20.解析()f(x)的定義域?yàn)?0,+).當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)ln x-4(x-1), f '(x)=ln x+1x-3, f '(1)=-2, f(1)=0.曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為2x+y-2=

19、0.(3分)()當(dāng)x(1,+)時(shí), f(x)>0等價(jià)于ln x-a(x-1)x+1>0.(4分)設(shè)g(x)=ln x-a(x-1)x+1,則g'(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.(6分)(i)當(dāng)a2,x(1,+)時(shí),x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+)單調(diào)遞增,因此g(x)>0;(8分)(ii)當(dāng)a>2時(shí),令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.(10分)由x2>1和x1x2=1得x1<

20、;1,故當(dāng)x(1,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(1,x2)單調(diào)遞減,因此g(x)<0.(11分)綜上,a的取值范圍是(-,2.(12分)21.解析()設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為4.又A(-2,0),因此直線AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面積SAMN=2×12×127×127=14449.(4分)()將直線AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=

21、1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由題設(shè),直線AN的方程為y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)設(shè)f(t)=4t3-6t2+3t-8,則k是f(t)的零點(diǎn), f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)單調(diào)遞增.又f(3)=153-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi),所以3<k<2.(12分)22.解析()證明:因?yàn)镈FEC,所以DEFCDF,則有GDF=DEF=FCB,DFCF=DECD=DGCB,所以DGFCBF,由此可得DGF=CBF.因此CGF+CBF=180°,所以B,C,G,F四點(diǎn)共圓.(