1、 一般地，對于函數一般地，對于函數y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0的的實數實數x就做函數就做函數y=f(x)的零點的零點. 由此得出以下三個結論等價：由此得出以下三個結論等價： 方程方程f(x)=0有實根有實根 函數函數y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點 函數函數y=f(x)有零點有零點 實根分布問題實根分布問題 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、當、當x為全體實數時的根為全體實數時的根2(1)40 bac 當當時時，方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的實實數數根根2(2)40 bac 當當時時，方方程程有有兩兩個個相相等等的的實實數數根根2(3)40

2、bac 當當時時，方方程程沒沒有有實實數數根根 一元二次方程一元二次方程 在某個區間在某個區間上有實根，求其中字母系數的問題稱為上有實根，求其中字母系數的問題稱為實根分布問題實根分布問題。20(0)axbxca實根分布問題一般考慮四個方面，即實根分布問題一般考慮四個方面，即： （1）開口方向）開口方向（2）判別式）判別式（3）對稱軸）對稱軸（4）端點值）端點值 的符號。的符號。 24bac 2bxa ( )f m2、當、當x在某個范圍內的實根分布在某個范圍內的實根分布問題一、二次函數的圖像可從哪些方面描述？問題一、二次函數的圖像可從哪些方面描述？ 開口方向開口方向 對稱軸對稱軸 與與x x軸的

3、交點軸的交點 與與y y軸的交點軸的交點xyO問題二、二次函數與一元二次方程（不等式）問題二、二次函數與一元二次方程（不等式）有什么關系？有什么關系？函數值即函數值即y等于等于0時就成了一個一元二次方程。時就成了一個一元二次方程。函數值即函數值即y大于或小于大于或小于0時就成了一個一元二次時就成了一個一元二次不等式。不等式。xyO問題三、解下列一元二次不等式1、x22x30對應方程對應方程x22x3 0的的4120函數函數yx22x3恒為正，故不等式解集為恒為正，故不等式解集為R。2、x26x70函數函數y x26x7開口向上，且與開口向上，且與x軸的交點軸的交點橫坐標分別為橫坐標分別為7、1

4、，由圖像得原不等式的解集為（由圖像得原不等式的解集為（7,1）O 1xy-7xyO問題四、解下列一元二次方程 1、x22x30 無實根無實根 2、x22x10 有兩相等實根有兩相等實根x1x21 3、x26x50 有兩相異實根有兩相異實根x15，x21 4、x26x70 有兩相異實根有兩相異實根x17，x21思考： 可否用二次函數的相關知識反過來理解或解決可否用二次函數的相關知識反過來理解或解決一元二次方程相關問題？一元二次方程相關問題？ 可以。如用二次函數的圖像與可以。如用二次函數的圖像與x軸交點的位置來軸交點的位置來判斷實根的位置。判斷實根的位置。 一元二次方程的實根存在時，有兩等根、正根

5、、一元二次方程的實根存在時，有兩等根、正根、負根、一正一負根等情況，其中有何規律？負根、一正一負根等情況，其中有何規律？ 這就是一元二次方程實根的分布問題，即是本這就是一元二次方程實根的分布問題，即是本節課研究的內容。節課研究的內容。問題五、關于問題五、關于x的一元二次方程的一元二次方程X2（m3)xm=0有兩個正根，求有兩個正根，求m的范圍。的范圍。 2121 2340300(m)mxxmxxm 01mm你首先想到了什么方法？你首先想到了什么方法？韋達定理韋達定理你還有其他思路嗎？你還有其他思路嗎？能從二次函數入手思考該問題嗎？能從二次函數入手思考該問題嗎？解：設方程的兩實根分別為解：設方程

6、的兩實根分別為x1、x2，則，則解：設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸的軸的交點在交點在x軸的正半軸，由圖像知只需滿足以下條件：軸的正半軸，由圖像知只需滿足以下條件：2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()問題五、關于問題五、關于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有兩個正根，求有兩個正根，求m的范圍。的范圍。m|0m1xy比較兩種思路，作出評價：比較兩種思路，作出評價：2121 2340300(m)mxxmxxm 2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()法一：韋達定理法法一：韋達定理法法二：二次函數法法二：二

7、次函數法1、形式不同，本質一樣；、形式不同，本質一樣；2、在本問題中韋達定理法更簡潔。、在本問題中韋達定理法更簡潔。以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？問題五、關于問題五、關于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有兩個有兩個正根正根，求，求m的范圍。的范圍。問題是數學的心臟，問題是數學的心臟，是我們思維的起點。是我們思維的起點。（2）兩負實根；（）兩負實根；（3）兩實根均小于）兩實根均小于1；（4）兩實根均大于）兩實根均大于0.5；（5）兩實根均在）兩實根均在(0,

8、2)；（6）一正一負兩實根；）一正一負兩實根；（7）兩實根中，一根大于）兩實根中，一根大于1，一根小于，一根小于1；（8）兩實根中有且只有一根在）兩實根中有且只有一根在(0,2)；（9）兩實根中，一根在）兩實根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(1,3)；（10）兩實根中，一根在）兩實根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(0,4)；（11）一個根小于）一個根小于2，一個根大于，一個根大于4。問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。（1）兩正實根）兩正實根(已解決已解決)其他問題：其他問題：思考二、思考二、上述問題有什么規律？上述問

9、題有什么規律？你能從不同角度對上述問題進行歸類嗎？你能從不同角度對上述問題進行歸類嗎？思考一、思考一、上述（上述（2）（）（10）共九個問題你會模仿）共九個問題你會模仿第（第（1）問進行解決嗎？你有什么初步感覺？）問進行解決嗎？你有什么初步感覺？（難還是簡單？思維清晰還是有點亂？）（難還是簡單？思維清晰還是有點亂？）特點一：特點一：(1)(2)(6)與原點有關，其余與原點無關；與原點有關，其余與原點無關；這么多問題如何在最短時間內解決？這么多問題如何在最短時間內解決？與原點有關的問題便于用什么方法求解？與原點有關的問題便于用什么方法求解？韋達定理法韋達定理法特點二特點二：(1)-(5)都是兩根

10、在同一區間內；都是兩根在同一區間內；(6)-(10)都是兩根在不同的區間內。都是兩根在不同的區間內。現在的問題變成了現在的問題變成了“如何解決這兩類問題？如何解決這兩類問題？”分成兩組研究分成兩組研究:第一組第一組：(1)-(5)第二組：第二組：(6)-(10)問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。 （2）有兩個負根）有兩個負根9mm解法一：設方程的兩實根分別為解法一：設方程的兩實根分別為x1、x2，則，則2121 2340300(m)mxxmxxm （2）有兩個負根）有兩個負根問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（

11、m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。解法二：設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸軸的交點在的交點在x軸的負半軸，由圖像知只需滿足以下條件：軸的負半軸，由圖像知只需滿足以下條件：2(3-m) -4m0b3-m-=-0f()9mm y x （3） 兩個根都小于兩個根都小于1022) 1 (123204)3(2mfmabmm9mm問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸的交軸的交點在點在x軸上軸上1的左邊，由圖像知只需滿足以下條件：的左

12、邊，由圖像知只需滿足以下條件：yx1 （4） 兩個根都大于兩個根都大于0.5234030 522650 504( m)mbm.amf (.) 516mm問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸的交軸的交點在點在x軸上軸上0.5的右邊，由圖像知只需滿足以下條件：的右邊，由圖像知只需滿足以下條件： 0.5x y O （5） 兩個根都在（兩個根都在（0 ,2）內）內2340322002320(m)mm 0f( )mf( )m 12m m3問題六：方程滿足下列條件問題六：

13、方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸的交軸的交點在點在0與與2的之間，由圖像知只需滿足以下條件：的之間，由圖像知只需滿足以下條件：yx2O問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。（6） 一個正根，一個負根一個正根，一個負根0m m 解法一：設方程的兩實根分別為解法一：設方程的兩實根分別為x1、x2，則，則21 23400(m)mxxm解法二：設解法二：設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸軸的交點分別在的交點

14、分別在x軸的正、負半軸，由圖像知只需滿足：軸的正、負半軸，由圖像知只需滿足：0 =m02a20 =m0f()0m m xy（7） 一個根大于一個根大于1，一個根小于，一個根小于11mmf(1)=2m-2 0 問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設設f(x) x2(m3)xm，要使二次函數與，要使二次函數與x軸的交軸的交點在點在x軸上軸上1的兩邊，由圖像知只需滿足以下條件：的兩邊，由圖像知只需滿足以下條件：1 x y （8） 兩個根有且僅有一個在（兩個根有且僅有一個在（0 ,2）內）內f(0)f(2)=m(3m-2) 0）根的

15、分布根的分布兩個根都在兩個根都在（k .k )內內210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O2、當一元二次方程的根分布在不同的區間時，、當一元二次方程的根分布在不同的區間時，限定要考慮哪些方面？限定要考慮哪些方面？區間端點對應的函數值一般可以作出簡潔限制。區間端點對應的函數值一般可以作出簡潔限制。kxyyxkk12Ok1k2p1p2xy3、由此請你總結解決一元二次方程、由此請你總結解決一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)實根分布的方法、步驟：實根分布的方法、步驟：（1）確定方程根是在同一區間還是不同區間；）確定方程根是在同一區間還是不同區間；（2）分別用相應的限制規律得到相

16、應不等式）分別用相應的限制規律得到相應不等式（組）；（組）；（3）求解不等式即得相應參數的范圍。）求解不等式即得相應參數的范圍。 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）根的分布根的分布小 結兩個根有且僅有兩個根有且僅有一個在一個在（k .k )內內12x1(k1,k2) x2(p1,p2)f(k )f(k )01212120000f ( k)f ( k)f ( p)f ( p)k1k2p1p2xyyxkk12O一個根小于一個根小于k，一個，一個根大于根大于kkxyf(k)000f( )m|0m1也可用韋達定理法也可用韋達定理法問題八：問題八：1Oxy問題八：問題八：練習：練習：

17、2.-12a03.-1m01.1132mm1或的的取取值值范范圍圍。求求的的值值恒恒大大于于零零，時時，當當函函數數、已已知知x f(x)1k1- 42k-4)x-(kxf(x) 52 的的取取值值范范圍圍。均均成成立立，求求實實數數對對于于任任意意實實數數、若若不不等等式式ax 05a-2)x-8(a8x424 思考：思考：1a52X3上面是具體實例分析，總結。上面是具體實例分析，總結。下面進行一般性概括，總結。下面進行一般性概括，總結。221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 設設一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根

18、都都小小于于為為常常數數）02( )0bkaf k (2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數數）02( )0bkaf k 12(3)(xkxk 為為常常數數）( )0f k 112212(4)(,kxxkkk 為為常常數數）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxkk 為為常常數數）12()0()0f kf k 1212(6),xxkk，有有且且只只有有一一個個根根在在（）內內1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka 或或2122()022f kkkbka 或或12(7

19、) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數數）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q (8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負負根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負負根根可用韋達定理表達式來書寫：可用韋達定理表達式來書寫：ac0也可也可f(0)0即或解2(2) (2)

20、(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的兩根分別屬于（， ）和（， ）求的取值范圍21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由題(1(4 ) (2) 例例3.就實數就實數k的取值，討論下列關于的取值，討論下列關于x的方程的方程解的情況：解的情況：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 將方程視為兩曲線 與相交，其交點橫坐標便是方程的解，由圖知：時， 無解；或時，有兩解；時有四個解；時有三個解解34yx24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm 例 若二次函數的圖像與兩端點為 的線段有兩個不同的交點，求 的取值范圍223(03)3(03)1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：線段的方程為 由題意得： 有兩組實數解 整理得 在上有兩個不同的實根