1、第一章第一章 直角三角形的邊角關系直角三角形的邊角關系 1. 1.銳角三角函數（銳角三角函數（1 1）北師大版九年級數學下冊北師大版九年級數學下冊w從梯子的傾斜程度談起從梯子的傾斜程度談起 自學指導自學指導1你能比較兩個梯子哪個更你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？陡嗎？5m2m AB C5m 2.5mEFD比眼力比速度比眼力比速度: : 哪個梯子更陡？哪個梯子更陡？（1）（2）5m2m AB C4m 2mEFD（1）（2）比眼力比眼力 比速度比速度: : 哪個梯子更陡？哪個梯子更陡？w小穎的問題小穎的問題, ,如圖如圖: :?梯子梯子ABAB和和EFEF哪個更哪個更陡？你是怎樣判斷陡？你是怎樣判斷的

2、？的？1.3m1.5m3.5m4mABCDEF同類問題多種變化同類問題多種變化梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 水平寬度水平寬度鉛直高度鉛直高度傾斜角傾斜角在實踐中探索新知在實踐中探索新知梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？

3、在實踐中探索新知在實踐中探索新知梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度傾斜角傾斜角梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知鉛直高度鉛直高

4、度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知鉛直高度

5、鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡過程中，過程中，傾斜傾斜角，角，鉛直高度與水平寬度的鉛直高度與水平寬度的比比發生了什么變化？發生了什么變化？ 在實踐中探索新知在實踐中探索新知 傾斜角越大傾斜角越大梯子梯子陡陡鉛直高度與鉛直高度與水平寬度的水平寬度的比越大比越大梯子梯子陡陡探索發現探索發現5 m3m ABC4m 2m E DF理論應用于實際：理論應用于實際： 哪個梯子更陡？哪個梯子更陡？ 若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳若小明因身高原因不能順利測量梯子頂端到墻腳的距離的距離B B1 1 C C1 1 , ,進而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該進而無法刻畫梯子的傾斜程度，

6、他該怎么辦？你有什么錦囊妙計？怎么辦？你有什么錦囊妙計？ A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1 AB1 C1 C2B2想一想想一想 AB1 C1 C2B2想一想想一想( (2 2) ) 和和 有什么關系有什么關系? ?111ACCB222ACCB( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關系有什么關系? ?( (3 3) )如果改變如果改變B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論? ?由感性到理性由感性到理性 AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1

7、 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關系有什么關系? ?( (2 2) ) 和和 有什么關系有什么關系? ?111ACCB( (3 3) )如果改變如果改變B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關系有什么關系? ?( (2 2) ) 和和 有什么關系有什么關系? ?1

8、11ACCB( (3 3) )如果改變如果改變B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關系有什么關系? ?( (2 2) ) 和和 有什么關系有什么關系? ?111ACCB( (3 3) )如果改變如果改變B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論? ?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB1

9、 C1 C2B2想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么關系有什么關系?(2) 和和 有什么關系有什么關系?111ACCB(3)如果改變如果改變B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么結論由此你能得出什么結論?由感性到理性由感性到理性222ACCB AB CA A的對邊的對邊A A的鄰邊的鄰邊A A的的對邊對邊A A的的鄰邊鄰邊tanAA A的正切的正切在在RtRtABCABC中中, , 如果如果銳角銳角A A確定確定, ,那么那么A A的對邊與鄰邊的比的對邊與鄰邊的比隨之確定隨之確定,這個比叫做這個比叫做A A的正切的正切. .

10、記作記作:tanA讀？讀？思考思考 前面我們討論了梯子前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程的傾斜程度，梯子的傾斜程度與度與tanA有關系嗎有關系嗎？w如圖如圖, ,梯子梯子ABAB1 1的傾斜程度的傾斜程度w與與tanAtanA有關嗎有關嗎? ?w與與A A有關嗎有關嗎? ? 議一議議一議P4u與與tanAtanA有關有關: :tanAtanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .AB1C2C1B2u與與A A有關有關:A:A越大越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .w鑒寶專家鑒寶專家-是是真真是是假假：隨堂練習隨堂練習P6w老師期望:你能從中悟出點東西.(1

11、).如圖 (1)( ). ACBCA tanABCABC7m10m(1)(2)(2).如圖 (2)( ). BCACA tan(3).如圖 (2)( ). ABBCA tan(4).如圖 (2)( ). 710tanB (6).如圖 (2)( ). 7 . 0tan7 . 0tan, 7 . 0tanAAA或(5).如圖 (2)( ). A7 . 0tan二二. . 填空填空: :1.tan1.tan = = tan tan = = 2.2.如圖如圖, ACB=90, ACB=90CDAB.CDAB. tanACDtanACD= = tanBtanB= = _ _ _ _ _ _ACBDABC

12、BCACBCCDADBAACBDCDBCACtanAtanBtanAtanB = =_1CDADw例例1 1 下圖表示兩個自動扶梯下圖表示兩個自動扶梯, ,哪一個自動扶梯哪一個自動扶梯比較陡比較陡? ? 例題欣賞例題欣賞w解:甲梯中,6m乙乙8m5m甲甲13m乙梯中,.1255135tan22.4386tantantan tantan,乙梯更陡乙梯更陡. .w老師提示老師提示: :生活中生活中, ,常用常用一個銳角的一個銳角的正正切切表示梯子的表示梯子的傾斜程度傾斜程度. .用數學去解釋生活用數學去解釋生活w如圖如圖, ,正切也經常用來描述山坡的坡度正切也經常用來描述山坡的坡度. .例例如，有

13、一山坡在水平方向上每前進如，有一山坡在水平方向上每前進100m100m就升就升高高60m,60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i i( (即即tantan) )就是就是: :w老師提示老師提示: : 坡面與水平面的夾角稱為坡面與水平面的夾角稱為坡角坡角, ,坡面的鉛直高度與水平寬坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為度的比稱為坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等于坡角的正切坡度等于坡角的正切. .5310060tani100m60mi1 1. .如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對邊和鄰邊同時擴的對邊和鄰邊同時擴大大100100倍倍, ,tanAtanA的

14、值（的值（ ）A.A.擴大擴大100100倍倍 B.B.縮小縮小100100倍倍 C.C.不變不變 D.D.不能確定不能確定 隨堂練習隨堂練習2 2. .在在RtRtABCABC中中, ,已知已知A,BA,B為銳角為銳角(1)(1)若若A=B,A=B,則則tanAtanA _ _tanBtanB; ;(2)(2)若若tanAtanA= =tanBtanB, ,則則A A B.B.ABCC C= = =3 3. .如圖如圖, C=90, C=90, ,CDAB.CDAB. 隨堂練習隨堂練習4 4. .在上圖中在上圖中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求tantanB B的值

15、的值. .w老師提示老師提示: :w模型模型“雙垂直三角形雙垂直三角形”的有關性質的有關性質. .ACBD.tanA( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CDCDAD AD BCBCACACBDBDCDCDw5 5. .如圖如圖, ,分別根據圖分別根據圖(1)(1)和圖和圖(2)(2)求求tanAtanA的值的值. .隨堂練習隨堂練習ACB34ACB34(1)(2)6 6. .在等腰在等腰ABC,AB=AC=13,BC=10,ABC,AB=AC=13,BC=10, 求求tanBtanB. .ACBD 隨堂練習隨堂練習w7 7. .在梯形在梯形ABCDABCD中中,AD/BC,AB=DC=

16、13,AD/BC,AB=DC=13, AD=8,BC=18.AD=8,BC=18.求求: :tanBtanB. .w老師提示老師提示: :w作梯形的高是梯形的常用輔助作梯形的高是梯形的常用輔助, ,借助它可以轉借助它可以轉化為直角三角形化為直角三角形. .ADBcFE定義的幾點說明：定義的幾點說明：1）初中階段，初中階段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定義的，中定義的， A是一個是一個銳角銳角. 2） tanA是一個完整的符號，它表示是一個完整的符號，它表示A A的正切，的正切，記號里習慣省去角的符號記號里習慣省去角的符號“”。但。但BAC的正切的正切表示為表示為:tanBAC,1的正

17、切表示為的正切表示為:tan1.3） tanA0 且且沒有單位，它表示一個比值，即直沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中銳角角三角形中銳角A的對邊與鄰邊的比（的對邊與鄰邊的比（注意順注意順序：序： ）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A ”.5） tanA的大小只與的大小只與A的大小有關的大小有關，而與而與直角三直角三角形的邊長角形的邊長無關無關鄰對定義的幾點說明：定義的幾點說明：1 1）初中階段，正切是在直角三角形中定義的，）初中階段，正切是在直角三角形中定義的， A A是一個銳角是一個銳角. . 2 2） tanAtanA是一個完整的符號，它表示是一個完整的符號，它表示A

18、A的正切，的正切，記號里習慣省去角的符號記號里習慣省去角的符號“”“”。但。但BACBAC的正切的正切表示為表示為:tanBAC.1:tanBAC.1的正切表示為的正切表示為:tan1.:tan1.3 3） tanAtanA0 0 且沒有單位，它表示一個比值，即直且沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中銳角角三角形中銳角A A的對邊與鄰邊的比（注意的對邊與鄰邊的比（注意順序：順序： ）. .4 4）tanAtanA不表示不表示“tan”tan”乘以乘以“A ”.A ”.5 5） tanAtanA的大小只與的大小只與A A的大小有關，而與直角三的大小有關，而與直角三角形的邊長無關角形的邊長無關

19、. .鄰對大膽嘗試大膽嘗試 練一練練一練EDACB2、某人沿一斜坡的底端、某人沿一斜坡的底端B走了走了10米到達米到達點點A，此時點，此時點A到地面到地面BC的垂直高度的垂直高度AC為為6米，則斜坡米，則斜坡AB的坡度為多少？的坡度為多少？正切也經常用來描述山坡的坡度正切也經常用來描述山坡的坡度BAC分析分析:坡度坡度tanBRtABC:BCAC勾股定理求勾股定理求:BC6m10m3 3、一個直角三角形兩邊長分別為、一個直角三角形兩邊長分別為3 3、4 4，則則較小較小的銳角的正切值是的銳角的正切值是_._.4 4、如圖，山坡、如圖，山坡ABAB的坡度為的坡度為512512，一輛，一輛汽車從山腳下汽車從山腳