1、1.1.1正弦定理12018.9_)sin( BA_)cos( BA_2cosA_2sinA_)sin( A_)sin( A_)cos( A_)cos( A_)2sin( A_)23cos( A課前回顧如圖，要測量小河兩岸A，B兩個碼頭的距離。可在小河一側，如在B點所在一側，選擇點C，先測BC的長a，再用經緯儀分別測出B，C的值，那么，根據a, B，C的值，能否算出AB的長。經緯儀：測量水平角/ /豎直角的儀器Q:三角形中知兩個角和所夾邊長，如何求其它邊？4基礎概念角A的對邊：a角B的對邊：b角C的對邊：cbc一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形

2、的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。Q:直角三角形中存在什么邊和角的數量關系？cbB sincaA sin1sinCccCcBbAaACBRtsinsinsin中，有在Q:銳角或鈍角三角形中是否也存在這種關系？Q:如何證明你的猜想？作高，轉化為在直角三角形中證明（化歸）證明：在銳角三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。BCADA作過bADCcADBsin,sinCbBcADsinsinCcBbsinsinACBEB作過,sin,sinaBECcBEACaAcBEsinsinCcAasinsinCcBbAasinsinsin銳角三角形中有證明：在鈍角三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦

3、值之比相等。BCADABC作并過延長;sin,bADCADCRt中,sinsinCbBcADCcBbsinsinACBEB作過aADCcBEAsin,sinCaAcBEsinsinCcAasinsinBcADBADBRtsinsin,中在任意三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有caCAcbCBbaBAsinsin,sinsin,sinsin變形：CBAcbasin:sin:sin:CBAcbaAasinsinsinsinCAcasinsinBAbasinsinCBcbsinsinBcCbAcCaAbBasinsin,sinsin,s

4、insin練習1 1：求解下列各題)(,cossin,) 1 (的值為則若中BbBaAABC90.60.45.30.DCBA_:, 1:1:4:,)3(cbaCBAABC則中1:1:3.1:1:2.1:1:2 .1:1:4 .DCBA)(,sinsin,)2(的大小關系為與則若中BABAABC不能確定.DBACBABBAA45,cossinBBB.,sinsinBAbaBA大邊對大角1:1:3sin:sin:sin:,30,120CBAcbaCBA題、組第思考并嘗試解答課本21-10 BP1.1.1正弦定理22022-4-72018.9在任意三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。正弦定

5、理CcBbAasinsinsin任意三角形中有作用：實現邊角關系的轉化注意：多結合三角形內角和定理、大邊對大角baBABAABCsinsin,中變形：常用結論：例題1 1：解三角形.75,60, 8,) 1 (CBaABC已知中.457560180:A解,由正弦定理得. 6445sin60sin8sinsinABab45sin75sin8sinsinACac426)3045sin(75sin知兩角一邊，求其他邊和角求第三個角由正弦定理求其它邊434例題2 2：解三角形. .60, 2, 32)2(Aba. 4sinsin,90,30BCbcCB時舍去時,180,150BAB,21sinsin:

6、aAbB由正弦定理得解15030 或B知兩邊及其中一邊的對角，求其他邊和角驗證,21sinsin:aAbB由正弦定理得解15030 或B.30,BBAba. 4sinsin,90,30BCbcCB時大邊對大角內角和定理例題2 2：解三角形. .60, 2, 32)2(Aba. 4sinsin,90,30BCbcCB時舍去時,180,150BAB,21sinsin:aAbB由正弦定理得解15030 或B.30, 32, 2Aba.60, 2, 3Aba.30, 34, 2Aba知兩邊及其中一邊的對角，求其他邊和角驗證例題2 2：知兩邊和其中一邊的對角解三角形. .30, 32, 2Aba.60,

7、 2, 32Aba4,90,60cCB時2,30,120cCB時4,90,30cCB時舍去不符合時,180,150BAB.60, 2, 3Aba901sinBB不存在BB13sin12060123sin或BB15030121sin或BB.30, 34, 2Aba此三角形無解1,30,90cCB時知兩邊及其中一邊的對角解三角形的結果：AbaABC,知中在aAbBsinsinBcC .90,1sinsinBBaAbB只有一解時.,1sinsin無解時若BaAbB)(,1sinsin一銳一鈍有一解或兩解時BaAbB符合條件的三角形個數為0 0符合條件的三角形個數為1 1符合條件的三角形個數為1 1或

8、2 2例題例題2 2：知：知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角解三角形解三角形. .30, 32, 2Aba.60, 2, 32Aba4,90,60cCB時2,30,120cCB時4,90,30cCB時舍去不符合時,180,150BAB12060123sin或BB15030121sin或BB._25, 4, 2個有的滿足ABCAba知知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，判斷三角形個數，判斷三角形個數. .,判斷三角形解的個數知Aba一解時:sin Aba 無解時:sin Aba 兩解時:sinbaAb一解時:ba ,/直角為鈍若A一解無解則:baba,為銳角若A一解時:ba 知知

9、兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，判斷三角形個數，判斷三角形個數. .,判斷三角形解的個數知Aba一解時:sin Aba 無解時:sin Aba 兩解時:sinbaAb一解時:ba ,/直角為鈍若A一解無解則:baba,為銳角若A(大邊對大角大邊對大角)._25, 4, 2個有的滿足ABCBcb在任意三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有運用：知兩邊及其中一邊的對角，求其他邊和角知兩角一邊，求其他邊和角注意：結合三角形內角和為180、驗證.,.45,2, 3,) 1 (cCABbaABC和邊求角中1課內作業.,1312cos,

10、322cos,26,的值求中bBAaABC.,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bCAaABC.,coscos) 3(的形狀判斷若ABCcbCaBa1.1.1正弦定理32018.9正弦定理的推廣的幾何意義是什么？則比值中若kkCcBbAaABC,sinsinsin.的外接圓直徑是比值ABCk直角三角形的斜邊長等于其外接圓直徑。.2sinsinsinRCcBbAaABCRt中有在RAaAa2sinsinRCcCc2sinsinRBbBb2sinsin.2sinsinsinRCcBbAaABC中有在銳角等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。CC圓內接四

11、邊形對角互補RAaAa2sinsinRBbBb2sinsinRCcCcCc2sin) sin(sin.2sinsinsinRCcBbAaABC中有在鈍角正弦定理的推廣)(2sinsinsin即外接圓直徑中有任意RCcBbAaABC變形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2)(邊化角RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin)(角化邊例例3 3：利用邊角互化解題：利用邊角互化解題_,3sin2,) 1 (AbBaABC則角若中在銳角邊化角邊化角.60,AA是銳角又,23sin,sin3sinsin2ABBA即由題意得.,sinsinsin)2(222的形狀判斷若ABCCBA,sin

12、:sin:sin:CBAcba,222cba.為直角三角形ABC例例3 3：利用邊角互化解題：利用邊角互化解題.,coscos. 210) 3(的形狀判斷若ABCBbAaBP.,22為等腰三角形時當ABCBABA,cossincossinBBAA由題意得,2sin2sinBA即.,2,2222為直角三角形時即當ABCBABA),2 , 0(2 ,2BA.,23,23222三角形不存在時即當BABA例例3 3：利用邊角互化解題：利用邊角互化解題.,cos)2(cos)4(的形狀判斷若ABCAbaBac,cossincossin2cossinsinABAABAC由題意得,cossin2)sin()

13、sin(AABABA即.,90,0cos為直角三角形時ABCAA.角形為等腰三角形或直角三ABC,cossin2cossin2AAAB即.,sinsin,0cosBABAA 時baBABAABCsinsin,中常用結論：常用結論：BABAABCsinsin,中.,.45,2, 3,) 1 (cCABbaABC和邊求角中1課內作業.,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bCAaABC.,coscos) 3(的形狀判斷若ABCcbCaBa周四上午第三節前上交，要求過程規范詳細周四上午第三節前上交，要求過程規范詳細.,135cos,54cos, 1,).2(的值求中作業bCAaABC,13

14、12sin,53sin:CA由題意得解,sinsinABab 由正弦定理得656313125413553)sin(sinCAB又.1321b.,coscos).3(的形狀判斷若作業ABCcbCaBaCBCABAsinsincossincossin由題意得代入得),sin(sin),sin(sinBACCAB, 0cos)sin(sinACB. 0cos, 0sinsinACB.90為直角三角形ABCA2017FIGHTING在任意三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。正弦定理CcBbAasinsinsin任意三角形中有caCAcbCBbaBAsinsin,sinsin,sinsin變形

15、：CBAcbasin:sin:sin:CBAcbaAasinsinsinsinCAcasinsinBAbasinsinCBcbsinsinBcCbAcCaAbBasinsin,sinsin,sinsin知兩邊及其中一邊的對角解三角形的結果：AbaABC,知中在aAbBsinsinBcC .90,1sinsinBBaAbB只有一解時.,1sinsin無解時若BaAbB)(,1sinsin一銳一鈍有一解或兩解時BaAbB符合條件的三角形個數為0 0符合條件的三角形個數為1 1符合條件的三角形個數為1 1或2 2例題例題2 2：知：知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角解三角形解三角形. .30, 32, 2Aba.60, 2, 32Aba4,90,60cCB時2,30,120cCB時4,90,30cCB時舍去不符合時,180,150BAB12060123sin或BB15030121sin或BB._25, 4, 2個有的滿足ABCAba在任意三角形中都有各邊邊長與所對角的正弦值之比相等。正弦定