1、121 1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢？、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢？圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它們的對(duì)稱(chēng)軸是它們的對(duì)稱(chēng)軸.2 2、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱(chēng)圖形呢？、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱(chēng)圖形呢？圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是對(duì)稱(chēng)中心3如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線(xiàn)段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相

2、等的線(xiàn)段和弧？為什么？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 一一（1）是軸對(duì)稱(chēng)圖形直徑）是軸對(duì)稱(chēng)圖形直徑CD所在的所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸（2） 線(xiàn)段：線(xiàn)段： AE=BE弧：，弧：，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合4直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE即即，垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的垂直于弦的直徑平分弦，并且平分直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧5AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. A

3、C=BC,垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧6EDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB7EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CDCD過(guò)圓心過(guò)圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD8思考：思考：平分弦（不平分弦（不是直徑）的直徑有是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？什么性質(zhì)？9如圖如圖: ABAB是是OO的一條弦的一條弦，直徑，直徑CDCD交交ABAB于于MM，AM=B

4、MAM=BM垂徑定理的推論OABCDM連接連接OA,OB,OA,OB,則則OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAM OBM.AMO= BMO.CDAB O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng),當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. .10（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（

5、2）（3）（5）（1）過(guò)圓心（）過(guò)圓心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對(duì)優(yōu)弧分弦所對(duì)優(yōu)弧 （5）平分）平分弦所對(duì)的劣弧弦所對(duì)的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM每條推論如何用語(yǔ)言表示？11（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的兩條弧（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧的兩條弧（3）平分弦所對(duì)的一條弧的

6、直徑，垂直平分弦，）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧（4） （5） （6） （7） （8） （9）12根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)。如果具備一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)。如果具備（1）過(guò)圓心）過(guò)圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣弧）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論推出其他三個(gè)結(jié)論結(jié)論結(jié)論13一、判斷下列說(shuō)法的正誤一、判斷下列說(shuō)法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)

7、的弦平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦 平分弦的直線(xiàn)必垂直弦平分弦的直線(xiàn)必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 分別過(guò)弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線(xiàn)，將弦所對(duì)分別過(guò)弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線(xiàn)，將弦所對(duì)的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 OABCDM143 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且的圓中

8、，過(guò)半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半徑為半徑為4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 O的直徑為的直徑為10cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm，則弦，則弦AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 。二、填空：二、填空：15OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)4 4、OO的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD

9、， AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_ _ . .2cm或或14cm16如圖如圖, ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在的三個(gè)頂點(diǎn)在 O上，上，OEAB于于E，OF AC于于F。求證：求證：EFBC，EF=12BC練習(xí)練習(xí)OABCEFOEAB E為AB的中點(diǎn)OF AC F為AC的中點(diǎn) EF為三角形ABC的中位線(xiàn)12BC171如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE再來(lái)！你行嗎？再來(lái)！你行嗎？解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE

10、答：答： O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 182：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：ACBD。證明：過(guò)證明：過(guò)O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO實(shí)際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的實(shí)際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線(xiàn)段線(xiàn)段.就可以利用垂徑定理來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題了就可以利用垂徑定理來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題了.193、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。求證：求證：ACBD證

11、明：作直徑證明：作直徑MNAB。ABCD，MNCD。則則AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON你能講解你能講解嗎？嗎？夾在兩條平行弦間的弧相等夾在兩條平行弦間的弧相等.你能有一句話(huà)概括一下嗎？你能有一句話(huà)概括一下嗎？20小結(jié)小結(jié): 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半弦的垂線(xiàn)，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線(xiàn)，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。徑等輔助線(xiàn)，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO21說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大

12、家說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享！與你一起分享！22圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形, ,經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸. .垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧. . 垂徑定理垂徑定理: :在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為為解直角三角形解直角三角形的問(wèn)題的問(wèn)題 。根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)。如果具備說(shuō)。如果具備（1）過(guò)圓心）過(guò)圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （

13、3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 （5）平分弦所對(duì)的劣弧）平分弦所對(duì)的劣弧上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論23垂徑定理與垂徑定理與推論的應(yīng)用推論的應(yīng)用24如圖，如圖， O的直徑為的直徑為10，弦，弦AB=8，P是弦是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求求OP的取值范圍的取值范圍.OABP練習(xí)練習(xí)3OP525例例1 如圖，已知在如圖，已知在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8厘米，圓心厘米，圓心O到到AB的距離為的距離為3厘米，求厘米，求 O的半徑的半徑.解：連結(jié)解：連結(jié)OA。過(guò)。過(guò)O作作OEAB，垂足為，垂

14、足為E，則則OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。.AEBO講解講解26例、圖示，在圓中，弦的長(zhǎng)為厘米，例、圖示，在圓中，弦的長(zhǎng)為厘米，圓心到的距離為厘米，求圓的半徑。圓心到的距離為厘米，求圓的半徑。COABOADBCOEFABD例題圖 變式題圖 變式題圖變式：若以為圓心，再畫(huà)一個(gè)圓交與、兩點(diǎn)，變式：若以為圓心，再畫(huà)一個(gè)圓交與、兩點(diǎn)，則與之間存在怎樣的大小關(guān)系？則與之間存在怎樣的大小關(guān)系？變式：若以為圓心，在變式題圖的基礎(chǔ)上再畫(huà)一個(gè)變式：若以為圓心，在變式題圖的基礎(chǔ)上再畫(huà)一個(gè)

15、圓，則與，與之間存在怎樣的大小關(guān)系？圓，則與，與之間存在怎樣的大小關(guān)系？27變式：在變式題圖的基礎(chǔ)上，連結(jié)、變式：在變式題圖的基礎(chǔ)上，連結(jié)、，將大圓隱去，得到下圖，設(shè)，試，將大圓隱去，得到下圖，設(shè)，試證明。證明。變式：在變式題圖的基礎(chǔ)上，將小圓隱去，變式：在變式題圖的基礎(chǔ)上，將小圓隱去，得到下圖，設(shè)得到下圖，設(shè)CD，試證明。，試證明。OABCDOABCD變式題圖變式題圖 變式題圖變式題圖28學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)已知：已知：AB是是 O直徑，直徑，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求證：求證：ECDF.AOBECDF29如圖如圖,A、B、C在圓上在圓上,且且AB=AC=5厘米厘米, BC=8厘米，求

16、圓的半徑。厘米，求圓的半徑。試一試試一試BCAOD302.已知，已知， O的直徑的直徑AB和弦和弦CD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E，AE=6厘米，厘米，EB=2厘米，厘米，BED=30，求求CD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。說(shuō)明：說(shuō)明：解決有關(guān)圓的問(wèn)題，解決有關(guān)圓的問(wèn)題，常常需要添加輔助線(xiàn)，常常需要添加輔助線(xiàn)，針對(duì)各種具體情況，輔助線(xiàn)的添加有一定的規(guī)針對(duì)各種具體情況，輔助線(xiàn)的添加有一定的規(guī)律，本例和上例中作律，本例和上例中作“垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑”就是就是一個(gè)很好的例證。一個(gè)很好的例證。練習(xí)練習(xí)EOABCDF31在直徑是在直徑是20cm的的 O中，中，AOB的度數(shù)是的度數(shù)是60, 那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心

17、距是. 5 3cmDABO圓的圓的圓心圓心到圓上到圓上弦弦的的距離叫做弦心距。距離叫做弦心距。32如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條為互相垂直且相等的兩條弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEAC ADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.33問(wèn)題問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國(guó)隋代建造的石多年前我國(guó)隋代建

18、造的石拱橋拱橋, , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 34解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為

19、趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)槿鐖D，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O 作弦作弦AB 的垂線(xiàn)的垂線(xiàn)OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高7.218.735如圖，弓形如圖，弓形ABC中，弦中，弦AC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8厘米，弦厘米，弦的中點(diǎn)到劣弧中點(diǎn)間的長(zhǎng)度是的中點(diǎn)到劣弧中點(diǎn)間

20、的長(zhǎng)度是2厘米，厘米，求圓的半徑。求圓的半徑。練習(xí)練習(xí)ABCDOx42x-236ABOE)(2650mmOB D)(2600mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).(1) 在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后油后, ,油面寬油面寬AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。22EBOBOEOE=125(mm)(2)BAOED解：解：37如圖，某城市住宅社區(qū)，在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上面是半如圖，某城市住宅社區(qū)，在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的仿古通道，其中半圓拱的圓心距地面圓，下面是矩形的仿古通道，其中半圓拱的圓心距地面2米，米，半徑為半徑為1.3米，現(xiàn)有一輛高米，現(xiàn)有一輛高2.5米，寬米，寬2.3米的送家具的卡車(chē)，問(wèn)米的送家具的卡車(chē)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)通道，請(qǐng)說(shuō)明理由。這輛卡車(chē)能否通過(guò)通道，請(qǐng)說(shuō)明理由。O2米1.3米38解：如圖，用半圓O表示通道上面的半圓，AB為直徑，弦CD平行AB，過(guò)O作于E，連結(jié)OD，據(jù)垂徑定理知：ABOCDE這輛卡車(chē)能通過(guò)通道。米米米）（）（