1、第二節直線的交點與距離公式1.能根據兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2 .能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3 .掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.主干顧整合01知識點一兩條直線平行與垂直的判定1 .兩條直線平行對于兩條不重合的直線丨1,丨2,其斜率分別為ki,k2,則有11/l2? _.特別地，當直線l1、I2的斜率都不存在時，l1與I2的關系為 _.2 .兩條直線垂直如果兩條直線丨1,丨2斜率存在，設為k1,k2,則丨1丄丨2? _.答案1.k1=k2平行 2.k1k2= 1對點快練對點快練1.判斷正誤(1) 當直線11和12的斜率都存在

2、時，一定有k1=k2?11/12.()(2) 如果兩條直線丨1與丨2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3) 已知直線1仁Ax+By+G= 0,12：Ax+By+C2= 0(A,B, C, A,B2,C2為常數)，若直線丨1丄丨2，貝UA1A2+ BR = 0.()答案：x(2)x(3)V2 .已知直線(k 3)x+ (4 k)y+ 1 = 0 與 2(k 3)x 2y+ 3 = 0 平行，那么k的值為()A. 1 或 3B. 1 或 5G. 3 或 5D. 1 或 2-2 -解析：法 1：把k= 1 代入已知兩條直線，得2x+ 3y+ 1 = 0 與4x 2y+ 3= 0，此時兩條直線的

3、斜率不相等，所以兩條直線不平行，所以k豐1,排除 A，B，D.心 3,法 2：因已知兩條直線平行，所以k= 3 或$k-34-k1解得k= 3 或k=2k_3工 3，5.答案：C知識點二兩條直線的交點設兩條直線的方程為11：Ax+Biy+C= 0,12：Ax+E2y+C2= 0，則兩條直線的 _Ax+By+C= 0,就是方程組的解.(AaX+E2y+C2= 0(1) 若方程組有唯一解，則兩條直線 _，此解就是 _;(2) 若方程組無解，則兩條直線 _ ，此時兩條直線 _ ，反之，亦成立.答案交點坐標(1)相交 交點的坐標(2)無公共點 平行對點快練對點快練3 .經過兩直線 2x+y 8= 0

4、與x 2y+ 1 = 0 的交點，且平行于直線 4x 3y 7 = 0 的直線方程為_ .答案：4x 3y 6 = 04.點(a,b)關于直線x+y+ 1= 0 的對稱點是_ .解析：設對稱點的坐標為(xo,yo),収0= b 1, 解之得即對稱點坐標為(b 1,a 1).|y0= a 1.答案：(b 1, a 1)知識點三兩種距離1.點到直線的距離點 Ri(X0,y)到直線I:Ax+Ey+C= 0 的距離d=_ .2 .兩條平行線間的距離兩條平行線Ax+Ey+C= 0 與Ax+Ey+C2= 0 間的距離d=_,答案ybX。一=1,則a+xb+y。.丁+丁y0b=X0a,即|x+y+a+b+

5、2= 0,-4 -|Ax)+By+C| Ci C2|1 ., 222 .22對點快練對點快練5 .直線 2x+ 2y+ 1 = 0,x+y+ 2= 0 之間的距離是1|2 -11121解析：先將 2x+ 2y+1 = 0 化為x+y+= 0，則兩平行線間的距離為d=-2花答案：4所以 |3 m+ 5| = | m- 7|.所以 3m+5 =m-7 或 3m+5 = 7-m1所以 m= 6 或 m=2-故應選 B.答案：B盟點葩題突檢02熱點一兩條直線的平行與垂直_ 2【例 1已知直線11:ax+ 2y+ 6= 0 和直線12：x+ (a 1)y+a 1 = 0 .(1)試判斷11與l2是否平行

6、;(2)丨1丄丨2時，求a的值.【解】(1)方法 1 ：當a= 1 時，11：x+ 2y+ 6 = 0,12：x= 0,I1不平行于丨2；當a= 0 時，1仁y= 3,12：x一y 1 = 0,11不平行于12；當al且a0時，兩直線可化為324 .6 .已知兩點A(3,2)和B( - 1,4)到直線m灶y+ 3= 0 的距離相等，則m的值為(1A. 0 或 21B.或6C- 2 或 2D. 0 或解析：依題意得|3m+ 2+ 3| m 4 + 3|m+1寸m+1強技提陡a111：y=2x3,12：y=17(a+1),-6 -?=丄,Ii/12?21a解得a=- 1.3a+1,綜上可知，a=

7、1 時，I1/I2，否則Ii與|2不平行.2方法 2:由AB2A2B1= 0,得a(a 1) 1X2= 0.由AC2 AC豐0,得a(a 1) 1X6工 0.a2a 2 = 0,aa2 I H6故當a= 1 時，11/12，否則11與12不平行.方法 1 ：當a= 1 時，I1：x+ 2y+ 6 = 0,12：x= 0,I1與12不垂直，故a= 1 不成立；當a= 0 時，1仁y= 3,12：xy 1 = 0,11不垂直于12；,a1, a 1當al且a0時，I1：y=x 3,12：y=x (a+ 1)，由(一)= 1?a21 a21 a2 方法 2：由AA+BB= 0,得a+ 2(a 1)=

8、 0?a=-.3【總結反思】k =k2, (1)若直線11和12有斜截式方程I1：y=k1X+b1,12：y=k2x+b2,則直線11/12?b& b2,I1丄12的充要條件是k1k2= 1.如果有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意.設I1：Ax+By+G= 0,I2:Ax+ Ry+C2= 0,則I1/I2的必要條件是 AR= AB.(不充分);I1丄12?A1A2+ BB= 0.(1)若直線ax+ 2y+ 1 = 0 與直線x+y 2= 0 互相垂直，那么a的值等于()1A. 1B.32a a 1 I 4|2?；i1x2=0,1x6 工0.23.C-3D.

9、 2(2)直線axy= 0 與直線xay= 1 平行”是a= 1”成立的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：由a 1 + 2 1= 0 得a=- 2,故選 D.(2)由直線ax-y= 0 與Xay= 1 平行得a2= 1, 即a= 1,所以直線axy= 0 與xay= 1平行”是a= 1”的必要不充分條件.答案：(1)D(2)B熱點二兩條直線相交問題【例 2經過直線11：x+y+ 1 = 0 與直線I2：xy+ 3= 0 的交點P,且與直線I3： 2xy+ 2= 0 垂直的直線I的方程是_ .x +y+1=0,【解析法 1 ：由方程組卜一y+ 3

10、= 0,x=2,解得芒即點 R 2,1),y= 1,設直線I的方程為y 1 =k(x+ 2),11直線I的方程為y 1 = (x+ 2)，即x+ 2y= 0.法 2 : ：直線I過直線I1和I2的交點，可設直線I的方程為x+y+ 1+入(xy+ 3) = 0,即(1 + 入)x+ (1 入)y+ 1 + 3 入=0./I與I3垂直， - 2(1 + 入)一 (1 入)=0,解得 入=3.24直線I的方程為x+3= 0,即x+ 2y= 0.【答案x+ 2y= 0【總結反思1.兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交占八、2常見的三大直線系方

11、程(1)與直線Ax+By+C= 0 平行的直線系方程是-8 -Ax+By+m= 0(R 且rr C).與直線Ax+By+C= 0 垂直的直線系方程是BxAy+ m= 0( R).過直線11:Ax+By+G= 0 與I2：Ax+B2y+C2= 0 的交點的直線系方程為Ax+By+O+ 入(Ax+ Ry+ G) = 0(入 R)，但不包括12.(1)(2017 河南六市一聯)已知P(x。，yo)是直線L：Ax+By+G= 0 外一點，則方程Ax+By+C+ (Ax0+By)+G= 0 表示()A.過點P且與L垂直的直線B.過點P且與L平行的直線C.不過點P且與L垂直的直線D.不過點P且與L平行的直

12、線(2)對任意實數a,直線y=ax-3a+ 2 所經過的定點是()A. (2,3)B. (3,2)C. ( 2,3)D. (3 , - 2)解析：(1)因為點F(xo,yo)不在直線Ax+By+C= 0 上，所以Ax)+Byo+CM0,所以直線Ax+By+C+ (Ax)+By+C) = 0 不經過點 P,排除 A 和 B;又直線Ax+By+C+ (Ax)+By+C)= 0 與直線L：Ax+By+C= 0 平行，排除 C.x 3= 0,(2)直線y=ax 3a+ 2 變為a(x 3) + (2 y) = 0.又a R,解得2y= 0,x= 3,得定點為(3,2).y=2,答案：(1)D(2)B熱

13、點三距離問題【例 3】(1)若0(0,0) ,A(4 , 1)兩點到直線ax+a2y+ 6 = 0 的距離相等，則實數a=已知兩條平行直線I仁mx+8y+n= 0 與12： 2x+my-1 = 0 間的距離為.5,則直線I12 或 4 或 6.檢驗得a= 0 不合題意，所以a= 2 或 4 或 6./l1/l2,的方程為【解析】2|4aa+ 6|.a2+a42即 4aa+ 6 = 6,解之得a= 0 或 (1)由題意，得-10 -當 m= 4 時，直線11的方程為 4x+ 8y+n= 0,把12的方程寫成 4x+ 8y 2 = 0,m= 4,nM2m=或4,故所求直線l1的方程為 2x+ 4y

14、 11 = 0 或 2x+ 4y+ 9= 0.當m= 4 時，直線l1的方程為 4x 8yn= 0. 把I2的方程寫成為 4x 8y 2 = 0,1 *2|=5,解得n= 18 或 22.16+ 64故所求直線I1的方程為 2x 4y+ 9= 0 或 2x 4y 11 = 0.【答案】（1） 2 或 4 或 6(2)2x4y 11 = 0 或 2x4y+ 9= 0【總結反思】利用距離公式應注意的問題(1) 點P(xo,yo)到直線x=a的距離d= |xoa|，到直線y=b的距離d=|yob| ;(2) 兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數化為相等.已知直線I過點P(3,4)且與點A

15、 2,2) ,B(4 , 2)等距離，則直線I的方程為_ .解析：顯然直線I的斜率不存在時，不滿足題意；設所求直線方程為y 4 =k(x 3)，即kxy+ 4 3k= 0,由已知，得| 2k 2 + 4 3k|；1+ k|4k+ 2 + 4 3k|2F，k=2或k=3.所求直線I的方程為 2xy 2= 0 或 2x+ 3y 18= 0.答案：2x+ 3y 18= 0 或 2xy 2= 0熱點四對稱問題對稱問題是高考常考內容之一，也是考查學生轉化能力的一種常見題型，且主要有以下 幾個命題方向：考向 1 點關于線對稱、線關于線對稱、線關于點對稱【例 4】已知直線I: 2x 3y+ 1 = 0，點A

16、 1, 2).求：(1) 點A關于直線I的對稱點A的坐標；(2) 直線m3x 2y 6= 0 關于直線I的對稱直線 m的方程；(3) 直線I關于點A 1, 2)對稱的直線I的方程.【解】(1)設 A(x,y),|n+ 2|5,解得n= 22 或 18.-12 -y+ 2x+ 13313,解得4y =i?(334、所以A話池.在直線m上取一點，如M2,0),則M2,o)關于直線I的對稱點必在m上.設對稱點為M (a,b),X -=1.630解得M帀，池.2x 3y+ 1 = 0,設m與I的交點為N,則由得N(4,3).gx 2y 6= 0,又因為m經過點N(4,3)，所以由兩點式得直線m的方程為

17、 9x 46y+ 102 = 0.(3)設P(x,y)為I上任意一點，則P(x,y)關于點A 1, 2)的對稱點為P( 2 x,4y)，因為P在直線I上，所以 2( 2 x) 3( 4 y) + 1 = 0，即 2x 3y 9= 0.直線 3x 4y+ 5= 0 關于x軸對稱的直線方程為()A. 3x+ 4y+ 5 = 0B. 3x+ 4y 5 = 0C. 3x+ 4y 5= 0D. 3x+ 4y+ 5= 0解析：直線 3x 4y+ 5= 0 關于x軸對稱的直線方程是 3x 4( y) + 5 = 0,即卩 3x+ 4y+ 5 =0.故選 A.答案：A考向 2 對稱的應用【例 5】光線從點A

18、4, 2)射出，到直線y=x上的B點后被直線y=x反射到y軸再由已知2Xx1r3Xy21 = 0.2xa+ 223Xb+ 01 = 0,上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D( 1,6)，求BC所在直線的方程.-14 -設A關于直線y=x的對稱點為A,D關于y軸的對稱點為D,作出草圖，如圖所示,則易得A(- 2, 4),D(1,6).由入射角等于反射角可得y 6A D所在直線經過點B與點C,故BC所在的直線方程為-如圖，已知A(4,0)、B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線0B上,最后經直線0B反射后又回到點P,則光線所經過的路程是 _ .BNK .0P A x解析:【解】，即10 x-3y+ 8= 0.直線AB的方程為x+y= 4,點F(2,0)關于直線AB的對稱點為 Q4,2)，關于y軸的對稱B-16 -點為C( 2,0)，則光線經過的路程為 ICD= 62+ 22= 2 .10.答案：2 10【總結反思】對稱關系的兩類問題中，中心對稱的本質是“中點”，體現在中點公式的運用上；軸對稱的本質是“垂直、平分”，即“對稱點連線與對稱軸垂直，對稱點連線的中點在對稱軸上”.在使用這些關系解題時，如能充分