1、.數學月刊元月號 陳忠懷 數學數思想方法例說（1） 特殊化與一般化思想指導高考解題:（一）用特殊化思想解客觀題的原理和方法一個問題在普遍意義上難以識別與掌握，在特殊情況下往往清楚明白.既如此，我們解題時，何不以退為進，由一般退到特殊呢？這種由一般退到特殊的解題思想，就是特殊化思想.用特殊化思想解客觀題是特別有效的.這是因為一個命題在普遍意義上成立時（這意味著這個命題的條件充分），在其特殊情況下也必然成立.根據這一點，我們可以直接確定客觀題中的正確選項.反之，一個命題在特殊情況下成立時（這意味著這個命題的條件必要），根據任一命題與其.逆否命題等價的原理，這個命題的反面在普遍意義上一定不成立.根據

2、這一點，我們又可以排除客觀題中不正確的選項. 故用特殊化思想解客觀題，說到底是在解題中正確且靈活的運用充要條件.以下我們略舉數例，說明如何用特殊化思想指導解客觀題.【例1】 以下是1999年曾經難倒大批考生的一道全國高考題：如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB,EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（ ） 【解析】 將圖形特殊化，如圖2所示，使ED平面ABCD，且使ED=2.連AF、DF.則EF面 ADE，為三角形，.于是，. 答D. 【評注】題目提供的圖形，除底面是正方形而外，其他沒有任何特殊之處.你如果直接用割補法求解，難度和計算量會增加幾

3、倍.【例2】 設復數的最大值為 .【解析】取特殊值.令z=-1，則u=.圖3【評注】若用直接解法是：當時，亦有，u=當z=a=-1時，umax=3.本題的幾何解釋是：|z|=1，說明動點Z(x,y)在圓x2+y2=1上運動，u=|z2z+1|的實質是u=|2x1|.故z=x=1時，u有最大值.如圖， umax=3.【例3】 如圖3，設為橢圓的兩個焦點，P在橢圓上，I為的內心，直線PI交長軸于Q，則I分所成的比為 【解析】如圖4，取圖形的特殊位置，使點P與短軸上端點B重合，則在直角中即FI分所成的比為.【評注】本題的條件并沒有限定點P在橢圓上的位置，說明所求的結論與點P在橢圓上的位置無關.既如此

4、，解題者當然可以選擇最便于自己計算的特殊點求解.本題的一般結論是：設F1、，F2為橢圓的兩個焦點，P在橢圓上，則I分所成的比為，證明如下：如圖不妨設點P在第一象限，令則在方程中，由于故.【例4】若A、B、C是的三個內角，且則下列結論中正確的是（ ） 【解析】取特殊角，令，都是正值，而都是負值，都不成立，故選A.【例5】直線l左移3個單位，再上移1個單位時，恰回到原來的位置，這直線的斜率是 （ ）A. B3 C. D.3【解析】取特殊點：將原點O（0，0）左移3個單位，上移一個單位得M（-3，1）.于是，選A.【評注】兩點確定一條直線，而斜率相等的一切直線都平行，這就是本題取特殊點解題的依據.試

5、問；什么樣的直線平移后，可以不經過原點呢？既如此，取特殊點原點，就是最實惠的選擇.本題若用直接法，需設直線方程，再討論求解，很繁.【例6】已知為非零常數，對xR,F(x+)=恒成立，則F(x)的最小正周期是 （ ）A. B2 C.3 D.4【解析】取特殊函數.中學教材中僅在三角函數中討論 “最小正周期”，觀察題干給出的性質，類似和角的正切公式.因而設，而的最小正周期為，選D.【評注】命題人常根據教材中某些具體函數的性質，改編成抽象函數型的考題，其思維方式是由特殊到一般；而解題人則反過來將抽象函數具體化，還其本來面目，從而達到解題目的，其思維方式是由一般到特殊.【例7】直三棱柱ABCA1B1C1

6、中，P，Q分別是側棱AA1，CC1上的點，且A1P=CQ, 則四棱錐B1A1PQC1的體積與多面體ABCPB1Q的體積比值為 .即余數為零.【解析】取圖形的特殊位置 如圖7，令A1P=CQ=0.則多面體蛻變為四棱錐CAA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐CA1B1C1. 顯然，：【評注】本題若用直接法：則須通過“割補”去分別求各自的體積，再求兩個多面體體積之比，其思維量和計算量要大得多. 圖7 （二）如何用一般特殊化思想指導解主觀題解主觀題與解客觀題大不相同.客觀題重在結論，而主觀題重在過程.一方面，一個數學命題正確與否，沒有嚴格的理論與邏輯證明是不能亂下結論的，歷史上曾經有人聲稱：他發現了一個表示

7、某些質數的公式：當為任意自然數時，總表示質數.人們看到，當=0，1，2，3，4，5，時，的確都是質數.可是這個命題是錯誤的，因為至少=41時，不是質數.這說明，一個命題在特殊情況下成立時，在一般情況下未必成立.另一方面，有些命題明知道是正確的，只要未能從理論上給予證明，也還不能稱為定理，還須不斷進行探索以正其名。有名的哥德巴赫猜想經過幾百年了，到如今仍然只能稱為猜想就是明證.這就是說，為了破解主觀題，我們常常用特殊化手段弄清目標，探明道路，進而制定破題良策.但要特別注意的是：由特殊化手段得到的結論，其條件雖然必要但未必充分，因而還必須給于嚴密的推理論證.這種由一般指導特殊，又由特殊回到一般的論

8、證思想，就是一般特殊化思想.【例8】已知數列滿足，求數列的通項.【分析】解決遞推數列通項的基本手段，是先用特殊值探求，找出規律然后加以證明.【解析】依初始條件及遞推法則，求出這個數列的前幾項是：4，3，顯然，直接從這幾個數是難以發現規律的.為此我們將其改寫為：因此我們推測：.可以用數學歸納法證明這個結論.但是若注意到：若設，則有，已知.可見是首項和公差均為的等差數列，.【評注】原題給出的數列不是特殊數列，但我們解題的指導思想，不僅從特殊值出發，還借助了特殊數列等差數列的知識解決問題.所以解題思想還是特殊與一般思想.【例9】對于命題“設，是公比不相等的兩個等比數列，證明數列不是等比數列.”有人證

9、明如下：【證明1】取，.則顯然與都是等比數列且公比不等.不是常數，數列不是等比數列.僅從證明的過程來看，雖然無懈可擊.但從全局來看，問題并未解決. 公比不相等的兩個等比數列何止成千上萬？這個證明只否定了其中的個別特例，與證題的要求相去甚遠.于是又有人提出如下證明：【證明2】為證數列不是等比數列，只需證.設數列與的公比分別為和，且. （1）而.即有 （2）（2）（1）：，從而，即數列不是等比數列.證明2比證明1要強許多，但還是沒有完全處理好特殊和一般的關系，因為兩個數列的公比不等，但不一定同號，所以最后的推理是有問題的，應將其改為：“（2）（1）：，從而，即數列不是等比數列”就對了.這個事例說明

10、：解主觀題可以從特殊化上路，但最后必須給予普遍意義上的解答或證明.而在這個證明過程中，又須隨時注意擺脫特殊化的影響.【例10】在ABC中，A，B，C所對的邊長分別為，.設，滿足條件和，求A和的值.【分析】條件使人立即想到ABC中必有A=60，聯系到條件，我們有機會走特殊化的道路構造含30角的直角三角形.【解析】已知由余弦定理：比較對應系數得：.作CDAB于D，則在RtACD中，ACD=30，.由條件得：于是在直角三角形BCD中，故所求A=60，=.【例11】（05.石家莊.模擬考）在OAB的OA，OB上分別有一點P，Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，連結AQ，BP交于R，若OA=

11、a，OB=b，（）用a與b表示OR.（）若a=1，b=2，a與b夾角為60°，過R作RHAB于H，用a與b表示OH.【分析】R 既是AQ的分點，又是BR的分點，由此可利用平面向量基本定理，用a與b表示OR.然后在解決（）的基礎上，簡捷地解決（）【解析】（）OP=a，OQ=b.如圖（1），BP=a- b.設BR=bp=（a- b）OR=OB+BR= b+（a- b）=a+（1-）b （1）AQ=b- a，設AR=AQ=（-a+b） OR=OA+AR= a+（-a+b）=（1-）a+b （2）比較（1）與（2）的對應系數得： 于是OR = a +b.（）根據（），知R為BP的中點.如圖（

12、2），由條件知OAB為直角三角形，OAB=90°，已知RHAB，故RHOA，H為AB的中點，OH=（OA+OB）= a + b.【評注】求出，其實也是一種機遇，它使我們發現H為AB的中點，從而利用平面幾何知識迅速找到正確答案.可是，如果當初我們不是求出，而是，雖然一樣能找到正確答案，但運算過程就要繁瑣得多.這說明：在解題過程中，一旦發現對繼續解題有價值的特殊因素，馬上抓住機遇窮追猛打，常有意外的驚喜讓你享受.【例12】已知正方體ABCDA1B1C1D1的邊長為2，O為AC和BD的交點，M為DD1的中點.（）求三棱錐MACD的體積；（）求二面角B1MAC的正切值【解析1】（投影法）如圖

13、1-1，連，設二面角二面角二面角則.容易求出：.而.于是故所求二面角的大小為.【解析2】建立如圖的空間直角坐標系.有A（2，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），M（0，0，1）.AC，BD互相平分于O，且有 O（1，1，0）. 又而，于是平面AMC，作OHAM于H，連B1H，則B1HAM，OHB1是二面角B1-AM-C的平面角，設為.故所求二面角的大小為.【評注】本題兩解，都是發掘并充分運用了題中的特殊因素，從而使問題得以順利解決.【例13】.已知三個不等式：2x-45-x （1） （2） 2x2+mx-10 （3）（1） 若同時滿足（1）（2）的x也滿足（3），求m的取值范圍；（

14、2） 若滿足（3）的 x值至少滿足（1）和（2）中的一個，求m的取值范圍。分析：（1）與（2）的區別在哪里？若設（1）、（2）、（3）的解集分別是A、B、C，那么：（1），即A、B同時成立時C也成立；（2）.即C為A或B的子集.經過上面的審題，分析：方向明確了，心中有數了，可以開始解題了。略解：容易求出 A=（-1，3），B=，設，則的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為.（1） 為使時成立，只須：，即時，滿足（1），（2）的x也滿足（3）.（2） 為使的解集為，只須：綜合得：時，滿足（3）的x至少滿足（1）和（2）中的一個.【例14】.設定義在R上的單調函數 是奇函數。若對一切成立，求實數k的

15、范圍.【分析】：是R上的單調奇函數，則必且 【解析】：由條件得： 即有：已知 t0，在中令t=1，得。知 為關于 上的減函數。故有；，即有：再解： 關于 的不等式對一切都成立。必 0。也就是.【評注】（1）這個答案是否正確？我們不妨用特值對（*）式進行檢驗。設 ，令取 0， 即 k=0，則顯然 t從而log2t時，恒成立.而是R上的奇且減函數，（*）式也成立取 2 ， 即 k=2 ，則， 至少t=2時，=1-3+2=0，即不成立。由此可放心作出終審后的答案：因之，原題中實數K的取值范圍為.（2）解題中牽涉到三個不同的變量，其取值范圍各不相同：一是自變量二是x=log2t，三是參變量，這是絕不能搞混的。【小結】用特殊化思想解客觀題