1、.例談解題中“主元思想”的應用在數學解題中常用到“主元思想”,所謂“主元思想”,即是指在含有兩個或兩個以上字母的問題的解決過程中,選擇其中一個字母作為研究的主要對象,視為“主元”,而將其余各字母視作參數或常量,來指導解題的一種思想方法.這一思想方法運用的核心是確定“主元”選擇“主元”,在多變量問題的解題中一旦選對了“主元”,等價于戰斗中選擇準了主攻方向.下面利用兩道例題的分析和解題研究來簡單介紹一下應該如何運用“主元思想”和如何選擇解題中的“主元”:例1設不等式mx22x-m+10對滿足m2的一切m都成立,求x的取值范圍.分析1可以將原不等式化為(x2-1)m2x-1,采用分離變量法,視為主元

2、,通過討論x2-1的符號來求解.解答1(1)當x2-1=O即x=1時,成立2x-1O,x=1;(2)當x2-10即x-1或x1時,由式得m,由題意知2,由此得不等式組,解得1x;(3)當x210即-1x1時,由得m,由題意知-2,由此得不等式組,解得x1;綜上可知:x.分析2視m為主元,將原不等式看成關于m的不等式,進而將不等式的左邊看成關于m的函數,利用函數的性質解題.解答2設f(m)=(x2-1)m+1-2x,則m2時,恒有f(m)0,解得.點評上述兩種解法都運用了“主元思想”,但從解題過程來看,視m為主元比視x為主元要簡便得多.事實告訴我們,若能稍微改變一下思維習慣,在含有多個變量的問題

3、中,合理運用“主元思想”,優先考慮如何選擇主元是十分必要的.例2設abcd是實數,且滿足(a+b+c)22(a2+b2+c2)+4d,求證:ab+bc+ac3d.分析原不等式為關于abc的對稱輪換式,若能證明abd,則同理可證bcd,acd,從而命題得證.三個變量在解題中具有等同地位,誰可以作為主元?由于題設中的不等式可變形為c2-2(a+b)c+a2+b2-2ab+4d0,從變形的結構形式看,此時可以視c為主元,構造函數f(x)=x2-2(a+b)x+a2+b2-2ab+4d,進而通過研究該函數的性質來幫助尋找與的不等關系.解答如分析中所設,易知f(x)是開口向上的拋物線,f(c)0,從而拋

4、物線與x軸有交點,=4(a+b)2-4(a2+b2-2ab+4d)0,即 abd,同理,若分別視ab為主元,則可證得bcd,acd,ab+bc+ac3d,證畢.點評對于含有多個變量的等式或不等式,可以運用“主元思想”來指導對式子的整理和變形,從多個變元中選擇出一個作為主元,可以使我們的研究目標更加清晰,以便于在紛繁復雜的關系中理出頭緒.許多看似復雜困難的問題,運用這樣的思想方法去求解,常?？梢允盏健氨芴摼蛯嵶兎背珊?化難為易”的解題效果.最后給出兩個問題留給讀者作為練習:(1)已知abcR,a+b+c=0,abc=1,求證abc中至少有一個大于.(2)已知k=a+x=b+y=c+z,a,b,c,x,y,z均為正數,求證:ay+bz+cxk2.參考解答:(1)由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中,得-ac(a+c)=1ac2+a2c+1=0,將該式視C為未知數(主元)的方程,則=a4-4a0,a0,a,若在該式視a為主元,則可得c,故原命題成立.(2)由條件可知x=k-a,y=k-b,z=k-c,k0,abc (0,k),記f(a)=ay+bz+cx,則將x,y,z代入后得:f(a)=(k-b-c)a+bk+ck-bc(0ak),其中0b,ck,當b+ck時,f(a)f(o)=bk+ck-bc=k2-(