1、函數的單調性 教學目標1使學生理解函數單調性的概念，并能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性2通過函數單調性概念的教學，培養學生分析問題、認識問題的能力通過例題培養學生利用定義進行推理的邏輯思維能力3通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育 教學重點與難點教學重點：函數單調性的概念教學難點：函數單調性的判定 教學過程設計一、引入新課師：請同學們觀察下面兩組在相應區間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區別是什么？（用投影幻燈給出兩組函數的圖象）第一組：第二組：生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x

2、的增大而減小師：（手執投影棒使之沿曲線移動）對他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區別當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質而這些研究結論是直觀地由圖象得到的在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節課的內容（點明本節課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意）

3、0;二、對概念的分析（板書課題：函數的單調性）師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區間的定義朗讀一遍（學生朗讀）師：好，請坐通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？生：我認為是一致的定義中的“當時，都有”描述了y隨x的增大而增大；“當時，都有”描述了y隨x的增大而減少師：說得非常正確定義中用了兩個簡單的不等關系“”和“或”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質這就是數學的魅力！（通過教師的情緒感染學生，激發學生學習數學的興趣）

4、師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數和的圖象，體會這種魅力（指圖說明）師：圖中對于區間a，b上的任意，當時，都有，因此在區間a，b上是單調遞增的，區間a，b是函數的單調增區間；而圖中對于區間a，b上的任意，當時，都有，因此在區間a，b上是單調遞減的，區間a，b是函數的單調減區間（教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解滲透數形結合分析問題的數學思想方法）師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應（不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師）生：較大的函數值的函數師：那么減函數

5、呢？生：減函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應較小的函數值的函數（學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整）師：好我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？（學生思索）學生在高中階段以至在以后的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題，認識問題的能力（教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣在學生感到無從下手時

6、，給以適當的提示）生：我認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區別它們之間的不同增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性請大家思考一個問題，我們能否說一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什么？生：不能因為此時函數值是一個數師：對函數在某一點，由于它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化那么，我們能不能脫離區間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？生：不能比如二次函數，在y軸左側它是

7、減函數，在y軸右側它是增函數因而我們不能說是增函數或是減函數（在學生回答問題時，教師板演函數的圖像，從“形”上感知）師：好他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區間”這說明函數的單調性是函數在某一個區間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數因此，今后我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區間師：還有沒有其他的關鍵詞語？生：還有定義中的“屬于這個區間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語師：你答的很對能解釋一下為什么嗎？（學生不一定能答全，教師應給予必要的提示）師：“屬于”是什么意思？生：就是說兩個自變量，必須取自給定的區間，不能從其他區間上取師：如果是閉區間的話，

8、能否取自區間端點？生：可以師：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要，就必須都小于，或都大于師：能不能構造一個反例來說明“任意”呢？（讓學生思考片刻）生：可以構造一個反例考察函數，在區間-2，2上，如果取兩個特定的值，顯然，而，有，若由此判定是-2，2上的減函數，那就錯了師：那么如何來說明“都有”呢？生：在-2，2上，當，時，有；當，時，有，這時就不能說，在-2，2上是增函數或減函數師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在

9、給定區間內任取兩個自變量，根據它們的函數值和的大小來判定函數的增減性（教師通過一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛煉學生的發散思維能力）師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區間上是增函數或是減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大小即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立這恰是辯證法中一般和特殊的關系（用辯證法的原理來解釋數學知識，同時用數學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內涵

10、和外延，培養學生學習的能力） 三、概念的應用例1 圖4所示的是定義在閉區間-5，5上的函數f（x）的圖象，根據圖象說出f（x）的單調區間，并回答：在每一個單調區間上，f（x）是增函數還是減函數？（用投影幻燈給出圖象）生甲：函數y=f（x）在區間-5，-2，1，3上是減函數，因此-5，-2，1，3是函數y=f（x）的單調減區間；在區間-2，1，3，5上是增函數，因此-2，1，3，5是函數y=f（x）的單調增區間生乙：我有一個問題，-5，-2是函數f（x）的單調減區間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調減區間呢？師：問得好這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹容易證明：若f（x

11、）在a，b上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說若f（x）在a，b上單調（增或減），且，a，b，則f（x）在，（增或減）反之不然例2 證明函數f（x）=3x+2在（-，+）上是增函數師：從函數圖象上觀察函數的單調性固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑（指出用定義證明的必要性）師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程（教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演學生可能會對如何比較和的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發）師

12、：對于和我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果ab，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差ab就等于零；如果ab，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系生：（板演）設，是（-，+）上任意兩個自變量，當時，所以f（x）是增函數師：他的證明思路是清楚的一開始設，是（-，+）內任意兩個自變量，并設（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“設”），然后看，這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”作差，變形”）但美中不足的是他沒能說明為什么0

13、，沒有用到開始的假設“”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號應寫明“因為x1x2，所以，從而0，即”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“定符號”）最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“下結論”）這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記住需要指出的是第二步，如果函數y=f（x）在給定區間上恒大于零，也可以小（對學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的）調函數嗎？并用定義證明你

14、的結論師：你的結論是什么呢？上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-，0）（0，+）上是減函數生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義比如取x1（-，0），取x2（0，+），顯然成立，而，顯然有，而不是，因此它不是定義域內的減函數生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-，0）和（0，+）上都是減函數域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-，0）和（0，+）每一個單調區間內都是減函數因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“”連接另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間上是減函數（教師巡視對學生證明中出現的問題給予點拔可依

15、據學生的問題，給出下面的提示：（1）分式問題化簡方法一般是通分（2）要說明三個代數式的符號：k，要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視） 四、課堂小結師：請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？（請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示）生：這節課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明函數的單調性時，應該注意證明的四個步驟 五、作業1課本P53練習第1，2，3，4題數（*）+b0由此可知（*）式小于0，即 課堂教學設計說明函數的單調性是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質并且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理另